学年高中数学第章三角恒等变形二倍角的三角函数练习北师大版必修2
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(2)∵f ＝2cos ＝2cos
＝－2sinα＝ ，∴sinα＝－ .
又∵α∈ ，∴cosα＝ .
∴sin2α＝2sinαcosα＝2× × ＝－ .
cos2α＝2cos2α－1＝2× 2－1＝ .
∴f(2α)＝2cos
＝2
＝2×
＝ .
12．函数f(θ)＝－ ＋ (0＜θ＜π)．
(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；
解析：f(x)＝ ＝ ＝－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝－tanx ，
∴f(x)的最小值为－ ，无最大值．
答案：D
6．tanα＝ ，那么 ＝( )
A．2B．－2
C．3D．－3
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.
答案：C
二、填空题
7．sinx＝ ，且 <x<π，那么sin ＝________.
解析：∵ <x<π，sinx＝ ，∴cosx＝－ .
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：由条件知，sin[(α－β)－α]＝ ，即sinβ＝－ ，
∵β∈ ，∴cosβ＝－ ，
又 ∈ 且cosβ＝2cos2 －1＝－ ，
∴cos ＝－ .
答案：A
3．计算 的值为( )
A．－2B．2
C．－1D．1
解析：原式＝
＝
＝ ＝ ＝ ＝1.
答案：D
4. － ＝( )
A．－2cos5°B．2cos5°
∴sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
答案：
8．在△ABC中，假设cosA＝ ，那么sin2 ＋cos2A等于________．
解析：∵在△ABC中， ＝ － ，∴sin2 ＋cos2A＝sin2 ＋cos2A＝cos2 ＋cos2A＝ ＋2cos2A－1＝ ＋2× 2－1＝ ＋ －1＝－ .
答案：－
9．tan ＝ ，且－ <α<0，那么 ＝________.
解析：tan ＝ ＝ ，解得tanα＝－ .
原式＝ ＝2 sinα.
设α终边上一点P(3，－1)，那么sinα＝ ＝ .
∴2 sinα＝－ ＝－ .
答案：－
三、解答题
10．函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝ sin －1.所以函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π.
(2)试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时，a的取值范围．
解：(1)f(θ)＝－ ＋
＝－ ＋
＝－ ＋
＝－ ＋
＝2cos2θ＋cosθ－1.
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
所以cosθ＝ ，所以－1＜ ＜1，即－3＜a＜1.
13．求证：sin2α＋cosα·cos －sin2 的值与α无关，是一个定值．
证明：原式＝sin2α＋cosα·cos －sin2
＝ (1－cos2α)＋cosα·cos －
＝ ＋cosα
＝ ＋ cos2α－ sinαcosα
＝ cos2α＋ sin2α－ cos2α＋ (1＋cos2α)－
sin2α＝ ，
C．－2sin5°D．2sin5°
解析： － ＝
－
＝ cos50°－ sin50°
＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.
答案：C
5．函数f(x)＝ ，那么( )
A．函数f(x)的最大值为 ，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－ ，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为 ，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－ ，无最大值
所以sin2α＋cosα·cos －sin2 的值与α无关，为一个定值 .
(2)当2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
即kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
11．函数f(x)＝2cos ，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)假设f ＝ ，α∈ ，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2× ＝－ .
3 二倍角的三角函数(2)
课时跟踪检测
一、选择题
1．α是第三象限角，且sinα＝－ ，那么tan ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：∵α是第三象限角，且sinα＝－ ，
∴cosα＝－ ，∴tan ＝ ＝ ＝－ .
答案：C
2．假设sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝ ，且β∈ ，那么cos 为( )
＝－2sinα＝ ，∴sinα＝－ .
又∵α∈ ，∴cosα＝ .
∴sin2α＝2sinαcosα＝2× × ＝－ .
cos2α＝2cos2α－1＝2× 2－1＝ .
∴f(2α)＝2cos
＝2
＝2×
＝ .
12．函数f(θ)＝－ ＋ (0＜θ＜π)．
(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；
解析：f(x)＝ ＝ ＝－
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝－tanx ，
∴f(x)的最小值为－ ，无最大值．
答案：D
6．tanα＝ ，那么 ＝( )
A．2B．－2
C．3D．－3
解析：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.
答案：C
二、填空题
7．sinx＝ ，且 <x<π，那么sin ＝________.
解析：∵ <x<π，sinx＝ ，∴cosx＝－ .
A．－ B．±
C．－ D．±
解析：由条件知，sin[(α－β)－α]＝ ，即sinβ＝－ ，
∵β∈ ，∴cosβ＝－ ，
又 ∈ 且cosβ＝2cos2 －1＝－ ，
∴cos ＝－ .
答案：A
3．计算 的值为( )
A．－2B．2
C．－1D．1
解析：原式＝
＝
＝ ＝ ＝ ＝1.
答案：D
4. － ＝( )
A．－2cos5°B．2cos5°
∴sin ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
答案：
8．在△ABC中，假设cosA＝ ，那么sin2 ＋cos2A等于________．
解析：∵在△ABC中， ＝ － ，∴sin2 ＋cos2A＝sin2 ＋cos2A＝cos2 ＋cos2A＝ ＋2cos2A－1＝ ＋2× 2－1＝ ＋ －1＝－ .
答案：－
9．tan ＝ ，且－ <α<0，那么 ＝________.
解析：tan ＝ ＝ ，解得tanα＝－ .
原式＝ ＝2 sinα.
设α终边上一点P(3，－1)，那么sinα＝ ＝ .
∴2 sinα＝－ ＝－ .
答案：－
三、解答题
10．函数f(x)＝sin2x－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝sin2x－2sin2x＝sin2x＋cos2x－1＝ sin －1.所以函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π.
(2)试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时，a的取值范围．
解：(1)f(θ)＝－ ＋
＝－ ＋
＝－ ＋
＝－ ＋
＝2cos2θ＋cosθ－1.
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
所以cosθ＝ ，所以－1＜ ＜1，即－3＜a＜1.
13．求证：sin2α＋cosα·cos －sin2 的值与α无关，是一个定值．
证明：原式＝sin2α＋cosα·cos －sin2
＝ (1－cos2α)＋cosα·cos －
＝ ＋cosα
＝ ＋ cos2α－ sinαcosα
＝ cos2α＋ sin2α－ cos2α＋ (1＋cos2α)－
sin2α＝ ，
C．－2sin5°D．2sin5°
解析： － ＝
－
＝ cos50°－ sin50°
＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.
答案：C
5．函数f(x)＝ ，那么( )
A．函数f(x)的最大值为 ，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－ ，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为 ，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－ ，无最大值
所以sin2α＋cosα·cos －sin2 的值与α无关，为一个定值 .
(2)当2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，
即kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)单调递增．
∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
11．函数f(x)＝2cos ，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)假设f ＝ ，α∈ ，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2× ＝－ .
3 二倍角的三角函数(2)
课时跟踪检测
一、选择题
1．α是第三象限角，且sinα＝－ ，那么tan ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：∵α是第三象限角，且sinα＝－ ，
∴cosα＝－ ，∴tan ＝ ＝ ＝－ .
答案：C
2．假设sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝ ，且β∈ ，那么cos 为( )