2022年天津宝坻艺术中学高二数学文联考试卷含解析

2021-2022学年天津宝坻艺术中学高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
参考答案：
A
作出可行域如下图所示，
当过点时纵截距最小，此时也最小．由可得，所以
．故选A．
3. 集合则是
“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：
A
4. 复数等于( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据复数的除法运算得到结果.
【详解】＝2－i.
故选D.
【点睛】这个题目考查了复数除法运算，复数常考的还有几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．
5. 已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b?β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，
②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．
【解答】解：根据题意，分两步来判断：
①当α∥β时，
∵a⊥α，且α∥β，
∴a⊥β，又∵b?β，
∴a⊥b，
则a⊥b是α∥β的必要条件，
②若a⊥b，不一定α∥β，
当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，
即a⊥b不是α∥β的充分条件，
则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，
故选B．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．
6. 在等比数列中，且前n项和，则项数n等于（）
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
B
略
7. 已知，则
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】根据已知求出，再求.
【详解】因为，
故，
从而.
故选：C
【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8. 在等差数列{a n}中，，，则a1=（）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
参考答案：
D
9. 已知点P（x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为( )
A．B．2C．5 D．2
参考答案：
C
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】直线与圆．
【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．
【解答】解：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，
即为原点到该直线的距离平方d2，
由点到直线的距离公式易得d==．
∴x2+y2的最小值为5，
故选：C
【点评】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．
10. 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（）
A.假设正确，再推正确； Ks5u
B. 假设正确，再推正确；
C. 假设正确，再推正确；
D. 假设正确，再推正确。

参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线的焦点到直线的距离是
．
参考答案：
1
12. 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A=，cos C=，a=1，则
b=_________.
参考答案：
因为cosC=，所以，因为，所以
因为，所以，所以
【点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
13. 以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程
是▲．
参考答案：
略
14. 某无人机运动过程中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h=15t﹣t2，当t=3秒时的瞬时速度是（米/秒）．
参考答案：
9
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】根据已知中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式，求出导函数的解析式，将t=3代入导函数解析式可得当t=3秒时的瞬时速度
【解答】解：∵物体运动过程中位移h（米）与时间t（秒）的函数关系式为h=15t﹣t2，
∴h′=15﹣2t，
当t=3时
h′|t=3=15﹣2×3=9，
故答案为：9．
15. 方程表示曲线C，
给出以下命题：
1曲线C不可能为圆；
2若曲线C为双曲线，则或；
3若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则；
4 曲线C 可能为抛物线.
其中正确命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
参考答案：
②③ 16. 若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围
是
.
参考答案：
略
17. 用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则中至少有一个小于2”时，假设的内
容应为
.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 求过曲线
上的点
的切线方程．(12分)
参考答案：
解：设
为切点，则切线的斜率为 ．
切线方程为
．
．
又知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得
，或
．
故所求切线方程为，或
，
即，或
．
略
19. （本题满分10分）在中，角所对的边为，且满足
（1）求角的值； （2）若
且
，求的取值范围．
参考答案：
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；三角形大边对大角.
【答案解析】（Ⅰ）
或
.（Ⅱ）
解析 ：解：（Ⅰ）由已知
得
，得
，故
或
.
（Ⅱ）由正弦定理
，得
，因为
，所以
，则
，所以
. 【思路点拨】（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式把已知条件变形，解之即可；（Ⅱ）先由正弦定理得到
，再由
判断出
的值，最后求出的取值范围．
20. 如图,四边形为矩形,且, ,为的中点.
(1)求证:;
(2)求三棱锥
的体积;
(3)(文科考生做)探究在上是否存在点,使得,并说明理由.
(3)(理科考生做)在线段上存在点N,使得二面角的平面角大小为.试确定点N的位置.
参考答案：
解:(1)证明:连结,∵为的中点,,∴为等腰直角三角形,
则,同理可得,∴,∴, …………2分
又,且, ∴, …………………3分
又∵,∴,又
,∴.………5分
(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,
∴,而是三棱锥的高,
∴.………8分
(3)(文科考生做)
在上存在中点,使得.理由如下:
取的中点,连结.………9分
∵是的中点, ∴,且, ………10分21. 已知圆过点，且与圆外切于点．
（I）求两个圆的内公切线的方程(如果两个圆位于公切线的异侧，则这条公切线叫做两个圆的内公切线)；
（II）求圆的方程．
参考答案：
（1）
（2）令，则为所求圆圆心）直线方程是，
线段的中垂线是，
，得点坐标，半径，
圆方程是．
略
22. (本小题满分12分)对于函数若存在,使得成立,则称为的不动点.已知
(1)当时,求函数的不动点;
(2)若对任意实数,函数恒有两个相异的不动点,求的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若图象上、两点的横坐标是函数的不动点,且、两点关于直
线对称,求的最小值.
参考答案：
(1)时,,
函数的不动点为-1和3;
(2)即有两个不等实根,转化为有两个不等实根,
需有判别式大于0恒成立
即,
的取值范围为;
(3)设,则,
A,B的中点M的坐标为,即
两点关于直线对称,
又因为A,B在直线上,
,A,B的中点M在直线上.
利用基本不等式可得当且仅当时,b的最小值为.。