会泽县高二期末卷数学试卷

考试时间：120分钟满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 下列函数中，是奇函数的是（）
A. \( f(x) = x^2 - 1 \)
B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
C. \( f(x) = \sin x \)
D. \( f(x) = |x| + 1 \)
2. 若复数 \( z \) 满足 \( |z - 1| = |z + 1| \)，则复数 \( z \) 的实部为（）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
3. 已知 \( \triangle ABC \) 的内角 \( A \)、\( B \)、\( C \) 的对边分别为 \( a \)、\( b \)、\( c \)，若 \( a = 3 \)，\( b = 4 \)，\( c = 5 \)，则 \( \cos A \) 的值为（）
A. \( \frac{1}{3} \)
B. \( \frac{1}{4} \)
C. \( \frac{1}{5} \)
D. \( \frac{1}{2} \)
4. 下列不等式中，恒成立的是（）
A. \( x^2 + y^2 \geq 2xy \)
B. \( x^2 - y^2 \geq 2xy \)
C. \( x^2 + y^2 \leq 2xy \)
5. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的单调递增区间是（）
A. \( (-\infty, -1) \)
B. \( (-1, 0) \)
C. \( (0, 1) \)
D. \( (1, +\infty) \)
6. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，若 \( S_5 = 50 \)，\( S_8 = 100 \)，则 \( a_6 \) 的值为（）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
7. 若 \( \log_2 (3x - 1) = \log_2 (2x + 1) \)，则 \( x \) 的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 下列命题中，正确的是（）
A. 对于任意实数 \( x \)，\( x^2 \geq 0 \)
B. 对于任意实数 \( x \)，\( x^3 \geq 0 \)
C. 对于任意实数 \( x \)，\( \sqrt{x} \geq 0 \)
D. 对于任意实数 \( x \)，\( \frac{1}{x} \geq 0 \)
9. 函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 的定义域为（）
A. \( \{x | x \neq 1\} \)
C. \( \{x | x \neq -1\} \)
D. \( \{x | x \neq 2\} \)
10. 若 \( \sin A + \sin B = 1 \)，\( \cos A + \cos B = 1 \)，则 \( \sin
A \sin
B \) 的值为（）
A. 0
B. 1
C. \(-1\)
D. 2
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
11. 已知 \( \tan \alpha = 2 \)，则 \( \sin \alpha \cos \alpha \) 的值为
_______。

12. 设 \( \overrightarrow{a} = (2, -3) \)，\( \overrightarrow{b} = (1, 2) \)，则 \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \) 的值为 _______。

13. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值为 _______。

14. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的公差为 \( d \)，若 \( a_1 = 2 \)，
\( a_5 = 10 \)，则 \( d \) 的值为 _______。

15. 若 \( \log_3 (2x - 1) = 2 \)，则 \( x \) 的值为 _______。

16. 函数 \( f(x) = \frac{x^2}{x + 1} \) 的反函数为 _______。

17. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \)，\( \cos A = \frac{4}{5} \)，则
\( \tan A \) 的值为 _______。

18. 等差数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，若 \( S_3 = 18 \)，\( S_6 = 54 \)，则 \( a_4 \) 的值为 _______。

19. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的图像与 \( x \) 轴的交点个数为
_______。

20. 若 \( \log_2 (x + 1) = \log_2 (3x - 1) \)，则 \( x \) 的取值范围为
_______。

三、解答题（本大题共3小题，共50分）
21. （本题共20分）已知函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的图像开口向上，对称轴为 \( x = -1 \)，且 \( f(1) = 3 \)，\( f(-3) = 6 \)，求 \( a \)、\( b \)、\( c \) 的值。

22. （本题共20分）已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，\( c = 2 \)，求 \( \sin C \) 的值。

23. （本题共10分）已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和为 \( S_n \)，若 \( S_5 = 25 \)，\( S_8 = 60 \)，求 \( a_6 \) 的值。