2022年中考数学试卷分类汇编专项46相似和位似

2022年中考数学试卷分类汇编专项46相似和位似
专题46：相似和位似
一、选择题
1. （2020海南省3分）如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．
的是【 】
A ．∠ABD =∠C
B ．∠ADB =∠AB
C C ．AB
CB BD CD = D ．AD AB AB AC
=
【答案】C 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】由∠ABD =∠C 或∠ADB =∠ABC ，加上∠A 是公共角，依照两组对应相等的两三角形相似的判定，可得△ADB ∽△ABC ；由AD
AB AB AC
=，加上∠A 是公共角，依照两组对应边
的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB ∽△ABC ；但AB
CB BD CD
=，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB 与△ABC 相似。

故选C 。

2. （2020陕西省3分）如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则EDC
ABC S
S :∆∆=【 】
A ．1∶2
B ．2∶3
C ．1∶3
D ．1∶4
【答案】D 。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，
DE =12
AB 。

∴△EDC ∽△ABC 。

∴
()2
EDC ABC S :S ED:AB =1:4
∆∆=。

故选D 。

3. （2020浙江湖州3分）△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ，则△ABC 的周长为【 】
A ．60cm
B ．45cm
C ．30cm
D ．152
cm
【答案】C 。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的性质。

【分析】∵三角形的中位线平行且等于底边的一半，
∴△ABC 三条中位线围成的三角形与△ABC 相似，且相似比是12。

∵△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ， ∴△ABC 的周长为30cm 。

故选C 。

4. （2020湖北咸宁3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，
点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为【 】．
A ．(2，0)
B ．(2
3，2
3) C ．(2，2) D ．(2，2)
【答案】C 。

【考点】坐标与图形性质，位似变换，正方形的性质。

【分析】∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为12，
∴OA ：OD =12。

∵点A 的坐标为（1，0），即OA =1，∴OD 2。

∵四边形ODEF 是正方形，∴DE =OD 2。

∴E 点的坐标为：2，
2）。

故选C 。

5. （2020湖北荆州3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是【】
A．B．C．
D．
【答案】B。

【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】依照勾股定理，AB=22，BC=2，AC=10，
∴△ABC的三边之比为2:22:10=1:2:5。

A、三角形的三边分别为2，10，32，三边之比为2:5:3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，25，三边之比为1:2:5，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，13，三边之比为2：3：13，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为5，13，4，三边之比为5：13：4，故本选项错误．
故选B。

6. （2020贵州毕节3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原先的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是【】
A.（2，4）
B.(1
-,1
-) D.( 2
-)
-,2
-) C.(2
-,4
【答案】C 。

【考点】位似变换，坐标与图形性质。

【分析】依照以原点O 为位中心，将△ABO 扩大到原先的2倍，即可得出对应点的坐标应应乘以－2，即可得出点A ′的坐标：
∵点A 的坐标是（1，2），∴点A ′的坐标是（－2，－4），故选C 。

7. （2020贵州安顺3分）某一时刻，身髙1.6m 的小明在阳光下的影长是0.4m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，则该旗杆的高度是【 】 A ． 1.25m B ． 10m
C ． 20m
D ．
8m 【答案】C 。

【考点】相似三角形的应用。

【分析】设该旗杆的高度为xm ，
依照题意得，1.6：0.4=x ：5，解得x =20（m ）。

∴该旗杆的高度是20m 。

故选C 。

8. （2020贵州黔南4分）如图，夏季的一天，身高为1.6m 的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA 由B 到A 走去，当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC =3.2m ，CA =0.8m ，因此得出树的高度为【 】
A ．8m
B ．6.4m
C ．4.8m
D ．10m 【答案】A 。

【考点】相似三角形的应用。

【分析】因为人和树均垂直于地面，因此和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x 米，则AC 1.6=
AB
x
，即
0.8 1.6=
0.8+3.2x
，解得，x =8。

故选A 。

9. （2020贵州遵义3分）如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE 1EB 2
，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =【 】
A ．9
B ．10
C ．12
D ．13 【答案】A 。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】∵AE
1EB 2=，∴AE AE 11==AB AE+EB 1+23
=。

又∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC 。

∴2
AEF ABC S 11
=S 39
∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭。

∴9S △AEF =S △ABC 。

又∵S 四边形BCFE =8，∴9（S △ABC ﹣8）=S △ABC ，解得：S △ABC =9。

故选A 。

10. （2020山东东营3分） 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边
OA 在x 轴上，
OC 在y 轴上，假如矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩
形OABC 面
积的14
，那么点B ′的坐标是【 】
A ．（－2，3）
B ．（2，－3）
C ．（3，－2）或（－2，3）
D ．（－2，3）或（2，－3） 【答案】D 。

【考点】位似，相似多边形的性质，坐标与图形性质。

【分析】假如两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互
相平行或在一
条直线上，那么这两个图形叫做位似图形。

把一个图形变换成与之位似的图形是位似
变换。

因此，
∵矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，∴矩形OA ′B ′C ′∽矩形OABC 。

∵矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，∴位似比为：12。

∵点B 的坐标为（－4，6），∴点B ′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）。

故选D 。

11. （2020山东德州3分）为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，依照实际情形，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能依照所测数据，求出A ，B 间距离的有【 】
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组 【答案】C 。

【考点】解直角三角形的应用，相似三角形的应用。

【分析】此题比较综合，要多方面考虑：
①∵明白∠ACB 和BC 的长，∴可利用∠ACB 的正切直截了当求AB 的长； ②可利用∠ACB 和∠ADB 的正切设方程组
AB tan ACB=CB AB tan ADB=CD+CB ⎧
∠⎪⎪⎨
⎪∠⎪⎩
求出
AB ；
③∵△ABD ∽△EFD ，∴可利用相似三角形对应边成比例EF
FD AB BD
=，求出AB ；
④无法求出A ，B 间距离。

因此共有3组能够求出A ，B 间距离。

故选C 。

12. （2020山东聊城3分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是【 】
13. （2020广西钦州3分）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是【】
A．点M B．点N C．点O D．点P
【答案】D。

【考点】网格问题，位似变换。

【分析】依照位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点确实是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上：∵点P在对应点M和点N所在直线上，∴点P是它们的位似中心。

故选D。

14. （2020广西玉林、防城港3分）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角
坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图形，已知AC =23，若点A ′的坐标为（1，2），则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是【 】
A . 6
1 B . 31 C . 21 D . 3
2
【答案】B 。

【考点】位似变换，坐标与图形性质，正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理。

【分析】∵在正方形ABCD 中，AC =32，∴BC =AB =3。

延长A ′B ′交BC 于点E ，
∵点A ′的坐标为（1，2），∴OE =1，EC =A ′E =3－1=2。

∴依照正方形的对称性，正方形A ′B ′C ′D ′的边长为1。

∴正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是13。

故选B 。

15. （2020广西柳州3分）小张用手机拍照得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段
AB 在乙图中对 应线段是【 】
A ．FG
B ．FH
C ．EH
D ．EF 【答案】D 。

【考点】相似图形。

【分析】观看图形，先找出对应顶点，再依照对应顶点的连线即为对应线段解答：
由图可知，点A 、E 是对应顶点，点B 、F 是对应顶点，点D 、H 是对应顶点，因
此，甲图中的
线段AB 在乙图中的对应线段是EF 。

故选D 。

16. （2020黑龙江大庆3分）如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且满足AE
AF 1EB FC 2
==，则 △EFD 与△ABC 的面积比为【 】
A ．9
1 B ．9
2 C ．31 D ．3
2
【答案】B 。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】设△AEF 的高是h ，△ABC 的高是h ′，
∵AE
AF 1EB FC 2==，∴AE AF 1AB AC 3
==。

又∵∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC 。

AEF ABC S h 11,h 3S 9
∆∆'
== 。

∴h ′=3h 。

∴△DEF 的高
=2h 。

设△AEF 的面积是s ，EF =a ，∴S △ABC =9s ，
又∵S △DEF = 12•EF •2h =ah =2s ，∴DEF
ABC S 2S 9
∆∆=。

故选B 。

17. （2020黑龙江牡丹江3分）如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有【 】．
A ．4对
B ．5对
C ．6对
D ．7对 【答案】B 。

【考点】平行四边形的性质，平行的性质，相似三角形的判定。

【分析】依照平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE ∽△ABC ，△BGE ∽△BAF ，△AEF ∽△CEB ，△ACB ∽△CAD ，△AGE ∽△CDA 5对。

故选B 。

二、填空题
1. （2020北京市4分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，
他调整自己的
位置，设法使斜边DF 保持水平，同时边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边
DE =40cm ，
EF =20cm ，测得边DF 离地面的高度AC =1.5 m ，CD =8 m ，则树高AB = ▲ m ．
【答案】5.5。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】利用Rt △DEF 和Rt △BCD 相似求得BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高
AB ：
∵∠DEF =∠BCD =90°，∠D =∠D ，∴△DEF ∽△DCB 。

∴BC
DC EF DE
=。

∵DE =40cm =0.4m ，EF =20cm =0.2m ，AC =1.5m ，CD =8m ，∴BC 80.20.4
=。

∴BC =4（m ）。

∴AB =AC +BC =1.5+4=5.5（m ）。

2. （2020上海市4分）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠AED =∠B ，假如AE =2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，那么AB 的长为 ▲ ．
【答案】AB =3。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】∵∠AED =∠B ，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB 。

∴
2ADE ACB S AE S AB ∆∆⎛⎫
⎪⎝⎭
=。

∵△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，∴△ABC 的面积为9。

又∵AE =2，∴
2529AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭
=，解得：AB =3。

3. （2020重庆市4分）已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 与△DEF 的面积之比为 ▲ ． 【答案】9：1。

【考点】相似三角形的性质。

【分析】∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，
∴三角形的相似比是3：1。

∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9：1。

4. （2020湖北随州4分）如图,点D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC =∠AED .若DE =4，AE =5,BC =8；则AB 的长为 ▲ .
【答案】10。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】依照已知条件可知△ABC ∽△AED ，通过两三角形的相似比可求出AB 的长：
在△ABC 和△AED 中，∵∠ABC =∠AED ，∠BAC =∠EAD ，∴△AED ∽△ABC 。

∴AB AE =BC ED 。

又∵DE =4，AE =5，BC =8，∴AB =10。

5. （2020湖南张家界3分）已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4：25，则△ABC 与△DEF 的相似比为 ▲ ． 【答案】2：5。

【考点】相似三角形的性质。

【分析】∵△ABC ∽△DEF ，∴△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，
∵2ABC
DEF
S
42S 255
∆∆==（），∴△ABC 与△DEF 的相似比为2：5。

6. （2020湖南岳阳3分）如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上的一点，且AD =23
AB ，
DF ∥BC ，E 为BD 的中点．若EF ⊥AC ，BC =6，则四边形DBCF 的面积为 ▲ ．
【答案】15。

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。

【分析】如图，过D 点作DG ⊥AC ，垂足为G ，过A 点作AH ⊥BC ，垂足为H ，
∵AB =AC ，点E 为BD 的中点，且AD =23
AB ，
∴设BE =DE =x ，则AD =AF =4x 。

∵DG ⊥AC ，EF ⊥AC ， ∴DG ∥EF ，∴AE
DE =AF GF ，即5x x =4x GF ，解得4GF=x 5。

∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴DF
AD =BC AB ，即DF 4x =66x
，解得DF =4。

又∵DF ∥BC ，∴∠DFG =∠C ， ∴Rt △DFG ∽Rt △ACH ，∴DF
GF =AC HC ，即4x 45=6x 3
，解得25x =
2。

在Rt △ABH 中，由勾股定理，得
2
2
2
2
5
AH=AB BH 36x 3=369=9
2
-=-⨯-。

∴
ABC
11
S BC AH 692722
∆=⋅⋅=⨯⨯=。

又∵△ADF ∽△ABC ，∴
22
ADF ABC S DF 44
S BC 69
∆∆⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴
ADF
4
S 27=129
∆=⨯ ∴ABC ADF DBCF
S
S S 271215∆∆=-=-=四形边。

7. （2020湖南娄底4分）如图，在一场羽毛球竞赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA =1.52米，OB =4米，OM =5米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM = ▲ 米．
【答案】3.42。

【考点】相似三角形的应用。

【分析】依照题意得：AO ⊥BM ，NM ⊥BM ，∴AO ∥NM 。

∴△ABO ∽△NAM 。

∴OA
OB NM BM
=。

∵OA =1.52米，OB =4米，OM =5米，∴BM =OB +OM =4+5=9（米）。

∴1.52
4NM 9
=，解得：NM =3.42。

∴林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM 为3.42米。

8. （2020辽宁阜新3分） 如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A 1B 1C 1的面积是 ▲ ．
【答案】12。

【考点】位似变换的性质。

12。

【分析】∵△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1。

∵位似比是1：2，∴相似比是1：2。

∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为：1：4。

∵△ABC 的面积为3，∴△A 1B 1C 1的面积是：3×
4=12。

9. （2020辽宁沈阳4分）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为▲ _.
【答案】8。

【考点】相似三角形的性质。

【分析】依照相似三角形的周长等于相似比的性质，得△ABC的周长∶△A′B′C′的周长=3∶4，
由△ABC的周长为6，得△A′B′C′的周长为8。

10. （2020山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。

已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）。

若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为▲ .
【答案】（3，4）或（0，4）。

【考点】网格问题，位似。

【分析】如图，作出位似中心，即可得出△A1B1C1的第三个顶点的坐标（3，4）或（0，4）。

11. （2020山东滨州4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：▲ （用相似符号连接）．
【答案】△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】（1）在△BDE 和△CDF 中，∵∠BDE =∠CDF ，∠BED =∠CFD =90°，∴△BDE ∽△CDF ；
（2）在△ABF 和△ACE 中，∵∠A =∠A ，∠AFB =∠AEC =90°，∴△ABF ∽△ACE 。

12. （2020新疆区5分）如图，∠C =∠E =90°，AC =3，BC =4，AE =2，则AD = ▲ ．
【答案】103。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】∵∠C =∠E =90°，∠BAC =∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE 。

∴AC
BC AE DE
=。

∵AC =3，BC =4，AE =2，∴3
42DE =，解得8DE=3。

∴
2
222810AD AE DE 2+33⎛⎫
=+==
⎪⎝⎭。

13. （2020吉林长春3分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =4，点D 在边AB 上，∠ACD =∠B ，则AD 的长为 ▲ .
【答案】3.2。

【考点】三角形的相似的判定和性质，解一元一次方程。

【分析】∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ACD 。

∴AD
AC AC AB
=。

又∵AB =5，AC =4，∴AD
445
=，解得AD =3.2。

14. （2020青海省2分）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB =2m ，BC =14cm ，则楼高CD 为 ▲ m ．
【答案】12。

【考点】相似三角形的应用。

【分析】∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB ∥DC ，∴△ABE ∽△ACD 。

∴BE
AB CD AC
=。

∵BE =1.5，AB =2，BC =14，∴AC =16。

∴1.5
2CD 16
=，解得CD =12。

15. （2020黑龙江牡丹江3分）在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点．若△ABC 的面积是l 6，则△DEF 的面积为 ▲ ． 【答案】4。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】如图，∵点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点， ∴DE =12
AC ，DF =12BC ，EF 12
=BA （三角形中位线定理）。

∴DE
DF EF 1AC BC BA 2
===。

∴△DEF ∽△ABC （相似三角形的判定）。

∴
2
DEF ABC S 11
S 24
∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭（相似三角形的性质）。

又∵ABC S
=16
∆，∴
DEF 1S =16=4
4
∆⨯。

三、解答题
1.（2020安徽省12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB 上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF;
（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.
【答案】解：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DE1
2AB，DF1
2
AC。

又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，
∴BG=AC+AG。

∵BG=AB－AG，∴BG=AB AC b+c
=
22
+。

（2）证明：BG=b+c
2，FG=BG－BF=b+c c b
=
222
-
，∴FG=DF。

∴∠FDG=∠FGD。

又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。

∴∠FDG=∠EDG。

∴DG平分∠EDF。

（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。

∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。

∴∠B=∠BGD。

∴BD=DG。

∴CD= BD=DG。

∴B、G、C三点共圆。

∴∠BGC=90°。

∴BG⊥CG。

【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理。

【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，易得
BG =AC +AG ，又由BG =AB －AG 即可得BG =AB AC b+c =
2
2
+。

（2）由点D 、F 分别是BC 、AB 的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF =FG ，
又由DE ∥AB ，即可求得∠FDG =∠EDG 。

（3）由△BDG 与△DFG 相似和（2）得DG =BD =CD ，可得B 、G 、C 三点在以BC 为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG ⊥C 。

2. （2020江苏徐州8分）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB 的高度，小亮在操场上点C 处直立高3m 的竹竿CD ，然后退到点E 处，现在恰好看到竹竿顶端D 与电线杆顶端B 重合；小亮又在点C 1处直立高3m 的竹竿C 1D 1，然后退到点E 1处，现在恰好看到竹竿顶端D 1与电线杆顶端B 重合。

小亮的眼睛离地面高度EF =1.5m ，量得CE =2m ，EC 1=6m ，C 1E 1=3m 。

（1）△FDM ∽△ ▲ ，△F 1D 1N ∽△ ▲ ； （2）求电线杆AB 的高度。

【答案】解：（1）FBG ，F 1BG 。

（2）依照题意，∵D 1C 1∥BA ，∴△F 1D 1N ∽△F 1BG 。

∴1
1
1D N F N BG FG =。

∵DC ∥BA ，∴△FDNN ∽△FBG 。

∴DM
FM BG FG
=。

∵D 1N =DM ，∴
11
F N FM F
G FG =
，即
32GM+11GM+2=。

∴GM =16。

∵
111
D N F N BG FG =
，∴1.5
3BG 27=。

∴BG -13.5。

∴AB =BG ＋GA =15（m ）。

答：电线杆AB 的高度为了15m 。

【考点】相似三角形的应用。

【分析】由D1C1∥BA和DC∥BA可得△F1D1N∽△F1BG和△FDNN∽△FBG，依照相似三角形对应边成比例的性质列式求解。

3. （2020福建厦门7分）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
（1）求AD
AB的值；
（2）若BD＝10，求sin∠A的值.
4.（2020辽宁锦州8分）如图所示，图中的小方格差不多上边长为1的正方形，△ABC
与△A＇B＇C＇是以
点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
（2）直截了当写出△ABC与△Ａ′Ｂ＇Ｃ＇的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A＇Ｂ＇Ｃ＇关于点O中心对称的△Ａ″Ｂ″Ｃ″，并直截了当写出△Ａ″Ｂ″Ｃ″各顶点的坐标.
【答案】解：（1）图中点O为所求：
（2）△ABC与△A＇B＇C＇的位似比等于2:1 。

（3）△A＇＇B＇＇C＇＇为所求，A＇＇（6，0）；B＇＇（3，-2）；C＇＇（4，-4）。

【考点】作图（位似和中心对称变换），平面直角坐标系和点的坐标。

【分析】（1）对应点连线的交点即为位似中心点。

（2）依照网格中的距离即可写出△ABC与△Ａ′Ｂ＇Ｃ＇的位似比。

（3）作出△A＇Ｂ＇Ｃ＇关于点O中心对称的△Ａ″Ｂ″Ｃ″，依照平面直角坐标系中的位置写出△Ａ″Ｂ″Ｃ″各顶点的坐标。

5. （2020山东菏泽6分）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条
件：，使△ABC∽△ADE．
【答案】解：∠D =∠B 或∠AED =∠C 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】依照相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可。

6. （2020山东菏泽10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC 为直角三角形；
（2）判定△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点同时与△ABC 相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
【答案】解：（1）依照勾股定理，得AB 5，AC 5，BC =5；
明显有AB 2+AC 2=BC 2，
∴依照勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形。

（2）△ABC 和△DEF 相似。

理由如下：
依照勾股定理，得AB 5，AC 5，BC =5，DE 2DF 2EF 10 ∴AB AC BC 5DE DF EF 22
===。

∴△
ABC ∽△DEF 。

（3）如图：
【考点】勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，相似变换作图。

【分析】（1）利用网格借助勾股定理得出AB =25，AC =5 ，BC =5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可。

（2）求出AB =25，AC =5，BC =5，DE =42，DF =22，EF =210，利用三角形三边比值关系得出即可。

（3）依照△P 2P 4 P 5三边与△ABC 三边长度得出答案即可：
连接P 2P 5，P 2P 4，P 4P 5，
∵P 2P 5=10，P 2P 4=2，P 4P 5=22，AB =25，AC =5，BC =5，DE =42，
∴25
4524P P P P P P 10BC AB AB 5===。

∴△ABC ∽△P 2P 4 P 5。

7. （2020河北省9分）如图，点E 是线段BC 的中点，分别BC 以为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰三角形，且在BC 同侧．
（1）AE 和ED 的数量关系为 ；AE 和ED 的位置关系为 ；
（2）在图1中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH ，HD ．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比1：2，H 是EC 的中点．求证：
GH =HD ，GH ⊥HD ．
②在图3中，点F 在的BE 延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k ：1，若BC =2，请直截了当写CH 的长为多少时，恰好使GH =HD 且GH ⊥HD （用含k 的代数式表示）．
【答案】解：（1）AE=ED；AE⊥ED。

（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF与△EAB的相似比1：2，∴∠GFE=∠B=90°，GF=1
2
AB，
EF=1
2
EB。

∴∠GFE=∠C。

∴EH=HC=1
2
EC。

∴GF=HC，
FH=FE+EH=1
2EB+1
2
EC=1
2
BC=EC=CD。

∴△HGF≌△DHC（SAS）∴GH=HD，∠GHF=∠HDC。

∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠GHF+∠DHC=90°。

∴∠GHD=90°。

∴GH⊥HD。

（3）k．
【考点】位似变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED：∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，∴△ABE≌△DCE（SAS）。

∴AE=DE，∠AEB=∠DEC=45°。

∴∠AED=90°。

∴AE⊥ED。

（2）①依照△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=1
2
EC，从而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD。

②依照恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，从而得出CH 的长：
依照题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，∴∠FHG+∠DHC=90°。

∵∠FHG+∠FGH=90°，∴∠FGH=∠DHC。

∵DH=GH，∠FGH=∠DHC，∠DCH=∠GFH，∴△GFH≌△HCD（AAS）。

∴CH=FG。

∵EF=FG，∴EF=CH。

∵△EGF 与△EAB 的相似比是k ：1，BC =2，∴BE =EC =1。

∴EF =k 。

∴CH 的
长为k 。

8. （2020江西南昌8分）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB ．CD 相交于点O ，B ．D 两点立于地面，经测量：
AB =CD =136cm ，OA =OC =51cm ，OE =OF =34cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条直线，且EF =32cm ．
（1）求证：AC ∥BD ；
（2）求扣链EF 与立杆AB 的夹角∠OEF 的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过运算说明理由．
（参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 61.9°≈0.553；可使用科学记算器）
【答案】（1）证明：∵AB ．CD 相交于点O ，∴∠AOC =∠BOD 。

∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =12（180°﹣∠BOD ）。

同理可证：∠OBD =∠ODB =12
（180°﹣∠BOD ）。

∴∠OAC =∠OBD 。

∴AC ∥BD 。

（2）解：在△OEF 中，OE =OF =34cm ，EF =32cm ；
作OM ⊥EF 于点M ，则EM =16cm
∴cos ∠OEF =EM 16OE 34
≈0.471。

用科学记算器求得∠OEF =61.9°。

（3）小红的连衣裙会拖落到地面。

理由如下：
在Rt △OEM 中，
OM 30==（cm ）。

过点A 作AH ⊥BD 于点H ，同（1）可证：EF ∥BD ，
∴∠ABH =∠OEM ，则Rt △OEM ∽Rt △ABH ∴OE OM OM AB 30136AH 120AB AH OE 34
⋅⨯====，（cm ）。

∴小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm ＞晒衣架的高度AH （120cm ）。

【考点】相似三角形的应用，解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义。

【分析】（1）依照等角对等边得出∠OAC =∠OCA =12
（180°﹣∠BOD ）和∠OBD =∠ODB =1
2
（180°﹣∠BOD ），从而利用平行线的判定得出即可。

（2）第一作OM ⊥EF 于点M ，则EM =16cm ，求得cos ∠OEF ，即可得出∠OEF 的度数。

（3）第一证明Rt △OEM ∽Rt △ABH ，进而得出AH 的长即可。