精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第07课 二次函数图象性质
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第01课 二次函数及其图像
第 01 课 二次函数及其图像
知识点： (1)若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那 么就说 y 是 x 的 ，x 叫做 。 (2)形如 的函数是一次函数，当 时，它是 函数。 (3)定义：一般地，形如 ， （a,b,c常数，且 ）的函数为二次函数。 其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________． 注意：当 b、c 为零时，解析式分别为 均为二次函数。 二次函数 y ax 的图象
23.已知二次函数 y ax 2 c(a 0), 当 x=1 时，y= -1；当 x=2 时，y=2，求该函数解析式.
24.富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平 面图是一排大小相等的长方形. 2 (1)如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 ）与 x 有怎样的函数关系？ 2 (2)请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为 32 米 ，应该如何安排猪舍的长 BC 和宽 AB 的长 度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？
B.y=x－1
2.函数 y ax 2 与 y ax b 的图象可能是（
3.抛物线 y=-x 不具有的性质是（ ） A、开口向下 B、对称轴是 y 轴
2
C、与 y 轴不相交
D、最高点是原点
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4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 s= gt （g=9.8） ，则 s 与 t 的函数图像 大致是（ s ） s s s O t D
25.已知二次函数 y ax 2 (a 0) 与直线 y=4 交于 A、B 两点，顶点为坐标原点，连接 OA,OB，若△OAB 为 等腰直角三角形，求二次函数解析式并求出此△OAB 面积。
第07课 一元二次方程的应用(销售利润问题)(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
答：应定价 4 元/个，才可获得 800 元的利润.
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键．
考法 04 销量为一次函数类型
【典例 7】在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千克，售价不低于 20 元/千克，且不 超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量 y（千克）与该天的售价 x（元/千克）满足如下 表所示的一次函数关系．
总利润=（x-进价）×（一次函数）
能力拓展
考法 01 问“降价多少元”
【典例 1】一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店 采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均 每天可多售出 2 件. （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 【详解】 分析：（1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售出 2×3=6
解得 x1 10 ， x2 30 ．
经检验， x1 10 ， x2 30 都符合题意．
当 x 10 时， 50 x 60 ， 500 10x 400 ；
当 x 30 时， 50 x 80 ， 500 10x 200 ．
所以，要赚取 8000 元的利润，售价应定为 60 元或 80 元．售价定为 60 元时，应进货 400 件；售价定为 80
斤（用含 x 的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第04课二次函数的图象03
(4) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；
(5) 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；
时， y 随 x 的增大而减小 .
(6) 该函数图象可由 y 3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？
，对称轴是
，当 x=
时，
y 有最
值为
。当 x
时， y 随 x 的增大而增大 .
8. 若抛物线 y
a( x 1) 2
k 上有一点 A（ 3， 5），则点 A 关于对称轴对称点
/
A
的坐标为
____________
9. 一条抛物线的对称轴是 x=1，且与 x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式 为 ________________ 10. 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ，且抛物线过点 (3,0) ，则抛物线的关系式是 11. 若函数 y x2 mx m 2的图象经过 (3 ，6) 点，则 m=______
P 的坐标； P 的坐标；
P 的坐标。
课堂练习：
1. 要得到 y 2( x 2) 2 3 的图象，需将抛物线 y 2 x2 作如下平移 ( )
A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
1 x
2 2 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为
3
_______
，当 x＝
9. 若把函数 y
5x
2
2
3 的图象分别向下 , 向左移动 2 个单位 , 则得到的函数解析式为
。
10. 二次函数 y (x 1) 2 2的最小值为 ____________
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第09课 二次函数综合复习
第09课 二次函数综合复习1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）A.y=-(x-2 )2-2 B.y=-(x-2 )2+6 C. y =-(x+2 )2-2 D. y=-(x+2 )2+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2-2 3.把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A.21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.21722y x x =+-4.抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=126.二次函数522-+=x x y 有( )A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6 7.抛物线2)1(212+-=x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________10.方程ax 2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线__________11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第07课 二次函数图象性质
y ax 2 bx c 的值为 m 的自变量 x 的值．
例 2.如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，在下列说法中： ①ac＜0；②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上） ．
第 07 课 二次函数图象性质
知识点： ⑴ 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx c 0 的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数 y ax 2 bx c 与 的 .（即把 y 0 代入 y ax bx c ）
2
x 轴交点
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下： （一元二次方程的实数根记为 x1、x2 ）
例 5.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为 例 6.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 3 的解为
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。 。
课堂练习：
1.已知抛物线 y=ax +bx,当 a>0,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限
0
8.已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示，则 a___0，b___0，c___0， b 2 4ac ____0；
2
9.一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为____________
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10.抛物线 y ( x 2)( x 5) 与坐标轴的交点分别为 A、B、C，则△ABC 的面积为__________ 11.如图，是二次函数 y ax 2 x a 2 1 的图象，则 a=________
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
初中数学九年级数学上《二次函数》章节课堂基础同步练习(全章节整理含答案)
y=ax2的图象和性质
1.关于函数 的性质的叙述,错误的是()
A．对称轴是 轴B．顶点是原点
C．当 时, 随 的增大而增大D． 有最大值
2.在同一坐标系中,抛物线 的共同点是()
A．开口向上,对称轴是 轴,顶点是原点
B．对称轴是 轴,顶点是原点
C．开口向下,对称轴是 轴,顶点是原点
B.向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C.向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位，再向下平移1个单位
能力提升
4.抛物线 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为 ，则 、 的值为（）
A. B. C. D.
5.已知二次函数 的图象如图所示对称轴为x= ．下列结论中，正确的是（ ）
2.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数k的最小值是______.
3.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.
能力提升
4.关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（）
①当c=0时，函数的图象经过原点;②当b=0时，函数的图象关于y轴对称;
7.在直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A（1、-4），且经过点B（3,0）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当 时，函数值y的增减情况；
（3）将抛物线怎样平移才能使它的顶点为原点.
参考答案
1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
基础导练
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第06课 二次函数解析式求法
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10.已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积.
11.已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜， 从四月一日起开始上市的 30 天内， 大蒜每 10 千克的批发价 y （元）是上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
2
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日期：
1.已知 y mx m A.0，-3
课堂测试题 06 满分：100 分 姓名：
） C.0 ） B.x>0 时 y 随 x 增大而增大。 D.若 a>0 则 y 有最大值。
得分：
是二次函数，则 m 的值为（ B.0，3
D.-3
2.关于二次函数 y ax 2 b ，命题正确的是（ A.若 a>0,则 y 随 x 增大而增大 C.若 x>0 时，y 随 x 增大而增大
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9.如图：(1)求该抛物线的解析式；(2)根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0。
10.如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B=30°，若边长 AB=x(cm)。 (1)写出□ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。 (2)当 x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值。 (3)求二次函数的函数关系式
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例 4.已知二次函数 y
1 2 、B（0，－6）两点。 x bx c 的图象经过 A（2，0） 2
（1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连结 BA、BC，求△ABC 的面积。
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
第07讲 二次函数-2024年新九年级数学暑假提升讲义(人教版 学习新知)
第07讲二次函数（2个知识点+3个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式2.能根据概念判断函数是不是二次函数3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。
知识点1．二次函数1.二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．2.二次函数的一般式任何一个二次函数的解析式都可化成y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的形式,因此,把y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）叫做二次函数的一般式.判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．(1)1y x =-+；(2)22x y =-；(3)222y x x =+-；(4)21233y x x =+-；(5)2y ax bx c =++；(6)2243y m x x =+-(m 为常数)．【例1-4】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列每组变量之间的关系为二次函数的是（）A ．正方形周长y 与边长x 的关系B ．菱形面积s 一定时，两条对角线的长a 与b 的关系C ．速度v 一定时，路程s 与时间t 的关系D ．等边三角形的面积s 与边长x 的关系【变式5-1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列变量具有二次函数关系的是（）A ．正方形的周长y 与边长xB ．速度v 一定时，路程s 与时间tC ．正方形的面积y 与边长xD ．三角形的高一定时，面积y 与底边长x知识点2．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【例2】某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（）A ．y ＝x 2+aB ．y ＝a （x ﹣1）2C ．y ＝a （1﹣x ）2D ．y ＝a （1+x ）2【变式2-1】在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为()01x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数表达式为（）A ．2y x =B ．21y x =-C ．21y x =-D ．12y x=-【变式2-2】一件商品原价为50元，连续两次降价，降价率均为x ，两次降价后该商品的售价价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．()501y x =-B ．250(1)y x =-C ．250y x =-D ．502y x=-【变式2-3】半径是2的圆，如果半径增加x 时，增加的面积s 与x 之间的关系表达式为__________．易错点：根据二次函数的定义求字母参数的值式，容易忽略二次函数系数不为0这个条件而导致错误【例3】若y ＝（a +1）x |a +3|﹣x +3是关于x 的二次函数，则a 的值是（）A ．1B ．﹣5C ．﹣1D ．﹣5或﹣1考点1：根据二次函数的概念确定字母取值1.已知y 关于x 的二次函数解析式为y ＝（m ﹣2）x |m |，则m ＝（）A ．±2B ．1C ．﹣2D ．±12.若函数()2733my m x x -=--+是关于x 的二次函数，则m =____．3．已知函数21(1)53my m x x +=-+-是二次函数，求m 的值．4．若()22113mm y m x +-=-+．(1)m 取什么值时，此函数是二次函数？(2)m 取什么值时，此函数是一次函数？考点2：根据实际问题列二次函数的表达式5．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x 元时，获得的利润为y 元，则下列关系式正确的是（）A ．y ＝（x ﹣35）（400﹣5x ）B ．y ＝（x ﹣35）（600﹣10x ）C ．y ＝（x +5）（200﹣5x ）D ．y ＝（x +5）（200﹣10x ）6.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2019年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为．7．如图2所示，有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．8．某种产品现在的年产量是20t ，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？9．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m ．（1）长方体的长和宽用()m x 表示，长方体的表面积()2m S 的表达式是什么？（2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？考点3：根据动态问题列二次函数的表达式11.如图，在Rt △ABC 中，∠一、单选题1．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，y 一定是x 的二次函数的是（）A ．22y ax =B ．22y x a =+C ．221y x =-D ．21y x x=+2．（23-24九年级上·广东肇庆·期末）二次函数2243y x x =+-的常数项为（）A ．2B ．3C ．4D ．3-3．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为()05x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是（）A ．2y x =B ．225y x =-C ．225y x =-D ．252y x=-4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数()2211mm y m x --=+是关于x 的二次函数，则m 的值为（）A ．2B ．1-或3C ．3D ．m 不存在二、填空题5．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若||(2)23m y m x x =-++是关于x 的二次函数，则m 的值是．6．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y 元，设平均每次降价的百分率是x ，则y 关于x 的函数表达式为．7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数表达式为．8．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）正方形的边长是1，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 之间的关系式是．三、解答题9.把二次函数()()2313y x x =+--化为2y ax bx c =++的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项．10．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）若函数()211my m x +=-+是关于x 的二次函数，求m 的值．11．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)如果要围成面积为224m 的花圃，AB 的长是多少米？12．（22-23九年级上·河北张家口·期中）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，30cm AC =，60A ∠=︒，动点D 从点C 出发沿CA 方向以2cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时动点E 从点A 出发沿AB 方向以1cm /s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是s t ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接EF ．(1)若四边形AEFD 为菱形，则t 值为多少？(2)在点D 、E 的运动过程中，设四边形ADFE 的面积为y ，请求出y 与t 的函数关系式？第07讲二次函数（2个知识点+3个考点+易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解二次函数的概念，能将二次函数化为一般形式2.能根据概念判断函数是不是二次函数3.了解实际问题中存在的二次函数关系及对其自变量的要求。
初三数学讲义（二次函数）（含答案）
初三数学讲义（二次函数）（含答案）（含答案） 知识梳理：知识梳理：一、二次函数概念：二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的基本形式1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．轴交点的位置． 二次函数解析式的确定：三个独立条件 四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，． 当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．注意：当定义域是m x n ££时，要判断对称轴是否在定义域内时，要判断对称轴是否在定义域内..若对称轴在定义域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值. . 五、二次函数图象的平移1. 平移步骤：平移步骤：方法一：⑴方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．六、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：轴的交点个数：① 当240b ac D =->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0D =时，图象与x 轴只有一个交点；轴只有一个交点； ③ 当0D <时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++¹本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：内在联系：0D > 抛物线与x 轴有两个交点两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根 0D =抛物线与x 轴只有一个交点有一个交点二次三项式的值为非负二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根 0D < 抛物线与x 轴无交点交点二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图1 重要题型： 1.1.基本问题：基本问题：1. 已知函数26(2)my m x-=-是二次函数，则m 值为（值为（ ）A.2 B. ±2C. ﹣ 2 D 6±2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c ><>000，， B ．a b c <<>000，， C ．a b c <><000，， D ．a b c <>>000，，3. 抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 4. 已知二次函数223y x x =--．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 5. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（） A ．第四象限．第四象限 B ．第三象限．第三象限 C ．第二象限．第二象限 D ．第一象限．第一象限6. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 7. 已知二次函数y=﹣x 22﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是________________.8.二次函数y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）中的（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3 ﹣4 ﹣ 3 0512给出了结论：给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣有最小值，最小值为﹣33； （2）当时，时，y y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B B．．2个C C．． 3个D D．．0个9.9.已知二次函数已知二次函数y ＝ax2＋bx bx＋＋c 图象的一部分如图，图象的一部分如图， 则a 的取值范围是的取值范围是______________________________．．10. 二次函数y =ax 2+bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是（值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜0 11. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ¹)的图象如图的图象如图所示，有下列结论：（ ）①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠ 0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c >0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a <0；②c >0；③a +b +c <0；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是其中所有正确结论的序号是 ．13. 函数2(2)5(1)y x x m =-+££中y 的范围是56y ££，则m 的取值范围是_____. 3.3.易错易做题：易错易做题：14.已知22224+3=12x y x x y +，则的最大值是（ ） A.9 B.10 C.12 D.15 15. 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元．元．16. 设二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋1(32x -££)有最大值4，则实数a 的值为________. Ox y 1x =1-2-17. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣（﹣33，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．）求此抛物线的解析式． （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；点的坐标； ②连接PA PA，以，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN APMN，随着点，随着点P 的运动，的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，恰好落在抛物线对称轴上时， 求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）（结果保留根号）18. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C . （1）求点B 的坐标的坐标 (用含m 的代数式表示)；求证：无论m 取何值时，取何值时， B 都在直线y x =-上；（2）D 为BO 中点，中点，直线直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛求抛 物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的 坐标. 备用图备用图x x m y 222-=CAOBxyCAOBxy课后作业：课后作业：1. 如图为抛物线2yax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2aD ． ac <0 2. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 3. 已知二次函数)0(2¹++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
九年级上册二次函数专题讲义
1九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．例1、下列函数：① 23y x =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x=+；⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = .例2、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 练习1、当m = 时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数练习2、当m = 时，函数()2564mm y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数练习3、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿二、二次函数的基本形式 1. y=ax ²的图象与性质.画二次函数y=x 2的图象.(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x 2的图象如图所示：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点.像这样的曲线通常叫做抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．思考：(1)在同一直角坐标系中，画函数y=x 2与y=-x 2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?(2)在同一直角坐标系中，画函数y=2x 2与y=-2x 2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?(3)将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 …2结论：由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，得到结论.函数y=ax 2的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=ax 2开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y ＝ax 2取得最小值，最小值是y ＝______.当a ＜0时，抛物线y=ax 2开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y ＝ax 2取得最大值，最大值是y ＝______. a 的绝对值越大，图像的开口________.例1.（1）抛物线221x y =的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；练习1.对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 .练习2.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点例2.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?结论：函数y=ax 2+c 的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=ax 2+c 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_______是抛物线上位置最低的点.当x=_______时，函数值y ＝ax 2+c 取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=ax 2+c 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_______是抛物线上位置最高的点.当x=_______时，函数值y ＝ax 2+c 取得最大值，最大值是y ＝________.y=ax ²+c 的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向上（c ＞0）或向下（c ＜0）平移c 个单位得到的.例1.抛物线322--=x y 的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.练习1.将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .练习2.任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .练习3.将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最（填大或小）值，是 .练习4.已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________.4在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2与函数y ＝2(x 一1)2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别? 结论：函数y=a(x-h)²的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=a(x-h)²开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=a(x-h)²开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y ＝y=a(x-h)²取得最大值，最大值是y ＝______.y=a(x-h)²的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向左（h ＞0）或向右（h ＜0）平移h 个单位得到的.例1.抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .练习1.函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .练习2.抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上练习3.将抛物线y=3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）A ．y=3(x+2)2+4B ．y=3(x-2)2+4C ．y=3(x-2)2-4D ．y=3(x+2)2-454. y=a(x-h)²+k （顶点式）的图象与性质在同一直角坐标系中画出函数y=2(x －1)2＋1与函数y ＝y=2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?结论：函数y=a(x-h)²+k 的图象是一条________，它关于__________对称，它的顶点坐标是_________.当a ＞0时，抛物线y=a(x-h)²+k 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；_____是抛物线上位置最低的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²+k 取得最小值，最小值是y ＝________.当a ＜0时，抛物线y=a(x-h)²+k 开口______，对称轴左侧，y 随x______的而______；对称轴右侧，y 随x______的而______；______是抛物线上位置最高的点.当x=_____时，函数值y=a(x-h)²+k 取得最大值，最大值是y ＝______.y=a(x-h)²+k 的图象可以看成是将函数y ＝ax ²的图象向左（h ＞0）或向右（h ＜0）平移h 个单位，向上（k ＞0）或向下（k ＜0）平移k 个单位得到的.例1.请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上:练习1.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值.练习2.函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大.练习3.已知函数()9232+--=x y（1）当x= 时，抛物线有最 值，是 .（2）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.例2.二次函数有最小值为－1，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为65. 二次函数图象的平移 ①. 平移步骤：保持抛物线y=ax ²的形状不变，将其顶点平移到（ h , k ）处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位②. 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．6. 二次函数y=a(x-h)²+k 与y ＝ax 2＋bx ＋c 的比较从解析式上看，y=a(x-h)²+k 与y ＝ax 2＋bx ＋c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下.对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )例1.抛物线942++=x x y 的对称轴是 .练习1.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .练习2.写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=－2，与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解式 .练习3.函数x x y +-=22有最________值，最值为_________.练习4.抛物线2y ax bx c =++过点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb=例2.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝ .例3.把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是 .7中考链接：（2009昆明，15 , 3分）如图，四边形ABCD 是矩形，A 、B 两点在x 轴的正半轴上，C 、D 两点在抛物线y ＝－x 2＋6x 上．设OA ＝m (0＜m ＜3)，矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为 ．7. 二次函数解析式的求法（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）顶点式：y=a(x-h)²+k （a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.例1.求下列函数解析式（1）抛物线过点A ( 0 , 2 ) , B ( 1 , 2 ) , C ( 2 , 4 )三点（2）已知抛物线的顶点为A （ 1 , 2 ），过点B （ 3 , 4 ）（3）抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ( -1 , 0 ), B ( 3 , 0 ) , C ( 0 , 1 )三点8三、二次函数与一元二次方程（1）二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 当函数值y ＝0时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当Δ=b ²－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点； ② 当Δ=b ²－4ac =0时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当Δ=b ²－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点.（2）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0，c ）.例1.已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .练习1.抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对例2.关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_________象限；例3.二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a例4.12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、419四、二次函数图像题① 当0a >时，抛物线开口向上； 当0a <时，抛物线开口向下；b 的符号的判定：对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边则ab ＞0，在y 轴的右侧则ab ＜0，概括的说就是“左同右异”当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．② 当Δ=b ²－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当Δ=b ²－4ac =0时，图象与x 轴只有一个交点；当Δ=b ²－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点.③ a+b+c_____0，当x=1时；a-b+c_____0，当x=－1时.例1.满足a ﹤O ，b ＞0，c=0的函数y=ax 2+bx+c 的图象是图中的（ ）练习1.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个练习2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(acb M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限O xy10C. 第三象限D. 第四象限例2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y= -（x+1）2+2B ．y= -（x-1）2+4C ．y= -（x-1）2+2D ．y= -（x+1）2+4中考链接：（2011昆明，8,3分）抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A 、b 2﹣4ac ＜0B 、abc ＜0C 、12ba-<-错误!未找到引用源。
九上暑假先修班讲义二
九上先修班讲义二、二次函数的概念与性质（二）知识点：1、二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+4a24ac-b的形式,先确定顶点(-b2a,4a24ac-b),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2、理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y最小值=4a 24ac-b;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y最大值=4a24ac-b.例题精讲1、填空:根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.2、探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>03、归纳:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值巩固题组一1、巩固练习：（1）指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：222222)9(432)4(5.0 5)2(2143)1(5.2 5)3(2--=++=+-=--=+-=--=x y x y x y x y x y x y（2） 由抛物线y=2x ²向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3（3）函数y= 3(x - 2)2 +21的图象可以由抛物线 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到的。
暑假 九年级上册人教版数学衔接班讲义第7讲：二次函数及二次函数y=ax2的图象与性质
第七讲 二次函数及二次函数y=ax2的图象与性质1、二次函数一般地，形如y=ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．三点需注意：2、二次函数y=x 2和y=－x 2的图象和性质列表：在y=x 2和y=－x 2中自变量x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：描点：根据表中x ，y 的数值在坐标平面中描点（x ，y ）．连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x 2和y=－x 2的图象．3、二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质例1、填空：(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是________，对称轴是_______，在____________侧，y随着x的增大而增大；在____________侧，y随着x的增大而减小，当x=______时，函数y 的值最小，最小值是______，抛物线y=2x2在x轴的_______方(除顶点外)．x2在x轴的_______方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y随着x的(2)抛物线y=−23___________；在对称轴的右侧，y随着x的________，当x=0时，函数y的值最大，最大值是________，当x_______0时，y<0．例2、已知函数y=(m−2)x m2+m−4+3x−5是关于x的二次函数，求m的值．例3、已知抛物线y=ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．例4、二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？(3)写出抛物线的顶点坐标和对称轴．例5、如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．1、关于函数y＝3x2的性质表述正确的一项是( )A．无论x为任何实数，y的值总为正 B．它的图象关于y轴对称C．当x值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内2、若二次函数y＝ax2的图象过点(－2，4)，该图象必经过点( )A．(2，4) B．(－2，－4)C．(－4，2) D．(4，－2)3、已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y34、函数y=ax a2−2a−6是关于x的二次函数，当a＝______时，其图象开口向上；当a＝______时，其图象开口向下．x2的图象上，点A，B关于y轴对称，且5、如图，点A，B在二次函数y=−12AB=2，求点A，B的坐标．6、抛物线y=ax2经过点A(－2，4)，抛物线上纵坐标为4的另一个点为B．(1)写出点B的坐标；(2)求S△AOB；(3)在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于△AOB的面积的一半？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第07课 二次函数实际应用 三
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28.二次函数 yຫໍສະໝຸດ =ax -2bx+c 和 y=(a+1)x -2(b+2)x+c+3 在同一坐标系中的图象如图所示， 若 OB=OA， BC=DC， 且点 B，C 的横坐标分别为 1，3，求这两个函数的解析式．
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29.在平面直角坐标系中，二次函数 y = a ( x - 1) 2 + k 的图像与 x 轴相交于点 A、B，顶点为 C，点 D 在这 个二次函数图像的对称轴上，若四边形 ABCD是一个边长为 2 且有一个内角为 60°的菱形，求此二次函 数的表达式．
D. y=-(x+2 ) +6
2
1 2 (x+2 ) -2 2
B.y=
1 2 (x-2 ) -2 2
C. y = 2(x+2 ) -2
2
D. y= 2(x-2 ) -2
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3.把二次函数 y 式是（ ）
1 2 5 再向上平移 3 个单位， 所得到图象的函数解析 x 3 x 的图象向右平移 2 个单位， 2 2
17.在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格的矩形场地（如下图）已知砖墙在地面上占地总长度 160m， 问分隔墙在地面上的长度 x 为多少时所围场地总面积最大？并求这个最大面积。
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九年级数学上册同步教案
二次函数综合复习题
1.把 y = - x 2 - 4 x + 2 化成 y = a ( x - h) 2 + k 的形式是（
2 2
）
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A.y=-(x-2 ) -2 B.y=-(x-2 ) +6 C. y =-(x+2 ) -2 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=
九年级数学上册(二次函数2)同步练习 试题
轧东卡州北占业市传业学校暑期专题第四讲——二次函数〔2〕【回忆与思考】二次函数应用【例题经典】用二次函数解决最值问题例1某产品每件本钱10元，试销阶段每件产品的销售价x〔元〕•与产品的日销售量y〔件〕之间的关系如下表：假设日销售量y是销售价x的一次函数．〔1〕求出日销售量y〔件〕与销售价x〔元〕的函数关系式；〔2〕要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？【考点精练】1．二次函数y=x2+x-1，当x=______时，y有最_____值，这个值是________．2．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0〔m/s〕竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s〔m〕与抛出时间t〔s〕满足：S=V0t-12gt2〔其中g是常数，通常取10m/s2〕，假设V0=10m/s，那么该物体在运动过程中最高点距离地面________m．3．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．•有研究说明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V〔km/h〕的汽车的刹车距离S〔m〕可由公式S=1100V2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V2．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．4．〔〕在2006年崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：〔1〕在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对〔x，y〕所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；〔2〕假设樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？6．〔〕“健益〞超购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y〔千克〕•与销售单价x〔元〕〔x≥30〕存在如以下图所示的一次函数关系式．〔1〕试求出y与x的函数关系式；〔2〕设“健益〞超销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？〔3〕根据场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超确定绿色食品销售单价x的范围〔•直接写出答案〕．7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系〔如以下图〕．〔1〕直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；〔2〕求出这条抛物线的函数解析式；〔3〕施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．8．〔〕一条隧道的截面如以下图，它的上部是一个以AD•为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．〔1〕当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；〔2〕矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．①求隧道截面的面积S〔米〕关于半径r〔米〕的函数关系式〔不要求写出r的取值范围〕；②假设2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值〔 取4，结果精确到0.1米〕9．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米，〔1〕建立如以下图的直角坐标系，求此抛物线的解析式；〔2〕现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，甲地到此桥280千米，〔桥长忽略不计〕货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，突然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时.0米的速度持续上涨，〔货车接到通知时水位在CD处〕，当水位25到达桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否平安通过此桥？假设能，请说明理由；假设不能，要使货车平安通过此桥，速度应超过多少千米？10．数学活动小组接受的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数 第02课 函数的图象与性质01
第02课 函数k ax y +=2的图象与性质知识点：函数k ax y +=2图象性质（1）形状：二次函数k ax y +=2的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标：（4）对称轴： 或（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象上下平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>+=k k ax y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（02>-=k k ax y例1.分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。
(1)22222-=-=x y x y 与； (2)131322-=+=x y x y 与例2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象.22132212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（ 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。
试说出函数22132212211222-=+==x y x y x y ）；（）；（）（的图象所具有的共同性质。
上下平移与 有关平移规律：例3.抛物线y=2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线解析式为__________________； 抛物线y=2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线解析式为__________________． 例4.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴求该函数的表达式； ⑵若点)m ,2(-C ,)7n (，D 也在函数的上，求m 、n 的值。
例5.已知抛物线42+-=x y ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC,BC.（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点P 在此抛物线上，且△PAB 的面积是△ABC 的面积的23，求P 点坐标。
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第07课 二次函数图象性质
知识点：
⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x
轴交点
的 .（即把0=y 代入c bx ax y ++=2）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为21x x 、）
⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⇒++=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⇒++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒++=⎪⎩⎪⎨
⎧⇔++=轴有无交点，则
与轴有一个交点，则
与轴有两个交点，则
与决定轴的交点个数由
与抛物线轴，则若对称轴是符号，轴右侧，则若对称轴在符号
，轴左侧，则若对称轴在的对称轴是直线
抛物线若交点在坐标原点，则
轴的负半轴，则
若交点在轴的正半轴，则
若交点在），
轴的交点坐标是（
与抛物线当开口向下时，则
当开口向上时，则
决定的开口方向由
抛物线x x x x y b a y b a y y y y 2222
c bx ax y c bx ax y c bx ax y c bx ax y
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧+-+-+-⇒-=+-⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧++++++⇒=++c
b a c
b a
c b a c b a c b a c
b a
c b a c b a 轴上，则点在轴下方，则点在轴上方，则点在确定时抛物线上的点的位置的符号：由轴上，则点在轴下方，则点在轴上方，则点在确定时抛物线上的点的位置的符号：由x x x 1x x x x 1x
例1.二次函数x x y 42+-=的函数值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ．反之,解一元二次方程342=+-x x 又可以看作已知二次函数 的函数值为3的自变量x 的值．
一般地：已知二次函数c bx ax y ++=2的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程 ．反之，解一元二次方程 又可以看作已知二次函数
c bx ax y ++=2的值为m 的自变量x 的值．
例2.如图为二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象，在下列说法中：
①ac ＜0；②方程ax 2
+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=3；③a+b+c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．
例3.已知函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象如图所示，则关于x 的方程 02=++c bx ax 的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根 例4.观察图象：
(1)二次函数22-+=x x y 的图象与x 轴有____个交点，则一元二次方程022=-+x x 的根的判别式△=_____0；
(2)二次函数962+-=x x y 的图像与x 轴有____个交点，则一元二次方程0962=+-x x 的根的判别式△=_______0；
(3)二次函数12+-=x x y 的图象与x 轴______公共点，则一元二次方程012=+-x x 的根的判别式△_______0．
例5.如图，一元二次方程02=++c bx ax 的解为 。
例6.如图，一元二次方程32=++c bx ax 的解为 。
课堂练习：
1.已知抛物线y=ax 2
+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )
A.一、二、三象限
B.一、二、四象限
C.一、三、四象限
D.一、二、三、四象限 2.已知二次函数2
y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ）
A.0,0,0a b c >>>
B.0,0,0a b c <<=
C.0,0,0a b c <<>
D.0,0,0a b c >>= 3.已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）
4.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点),(bc ac 在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列结论：①a>0;②c>0;③b 2
-4ac>0，其中正确的个数是（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 6.已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.a ＞0，c ＞0
B.a ＜0，c ＜0
C.a ＜0，c ＞0
D.a ＞0，c ＜0 7.如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线x=1，且经过点P （3，0），则a-b+c 的值为 （ ）
A.0
B.-1
C.1
D.2
8.若A （-134 ，y 1），B （-1，y 2），C （53 ，y 3）为二次函数542+--=x x y 图象上的三点，则y 1、y 2、y 3
的大小关系是（ ）
A.y 1＜y 2＜y 3
B.y 3＜y 2＜y 1
C.y 3＜y 1＜y 2
D.y 2＜y 1＜y 3
9.二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.
10.二次函数232+-=x x y ，当x=1时，y=______；当y=0时，x=______． 11.已知抛物线122-+=x kx y 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_______
12.已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：
(1)a,b 同号；(2)当x=1和x=3时，函数值相同；(3)4a+b=0；(4)当y=-2时，x 的值只能为0；其中正确的是
13.根据图象填空：
（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△=b 2
－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2
＋bx ＋c=0的根为__________； （9）当y>0时，x 的范围为___________； （10）当y<0时，x 的范围为___________； 14.已知二次函数图象顶点坐标（-3，21）且图象过点（2，2
11），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。
15.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
16.已知二次函数23212++=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于D 点，顶点为C ，求四边形
ACBD 的面积。
课堂测试题07
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ） A.(-1，-2) B.(1，-1) C.(1，1) D.(-1，1)
2.函数322+-=x x y 经过的象限是（ ）
A.一、二、三象限
B.一、二象限
C.三、四象限
D.一、二、四象限
3.二次函数)3(22m mx mx y --+=的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＞0
B ．m ＞3
C ．m ＜0
D ．0＜m ＜3
4.函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A.0,0>>c ab B.0,0><c ab C.0,0<>c ab D.0,0<<c ab
5.二次函数)0(122<++=k x kx y 的图象可能是（ ）
6.已知抛物线n mx x y ++-=2的顶点坐标是（-1，-3 )，则m 和n 的值分别是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0
7.已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如下图所示，那么a 0，b 0，c 0
8.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0； 9.一元二次方程02=++c bx ax 的解为____________
10.抛物线)5)(2(+-=x x y 与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________ 11.如图，是二次函数122-+-=a x ax y 的图象，则a=________
12.特殊代数式求值：如图,看图填空：
（1）a+b+c_______0;（2）a-b+c_______0;（3）2a-b _______0;(4)2a+b _______0;4a+2b+c_______0 13.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式: （1）方程ax 2+bx+c=0的根为___________； （2）方程ax 2+bx+c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2+bx+c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2+bx+c ＜0的解集为________．
14.求二次函数的解析式:过（-1，0），（3，0），（1，-5）三点；
15.如图:已知抛物线322+-=x x y 与直线x y 2=相交于A 、B ，抛物线与y 轴相交于C 点，求△ABC 的面积。