2021年安徽省志诚教育十校联盟中考数学三模试卷(解析版)

2021年安徽省志诚教育十校联盟中考数学三模试卷
一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各数中比﹣1小2的数是（）
A．﹣1B．﹣2C．1D．﹣3
2．下列各式计算正确的是（）
A．3m2+4m2＝7m4B．（﹣3mn）3＝﹣9mn3
C．（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2D．m4•（﹣2m）＝﹣2m4
3．2021年4月25日，全国各省第一季度GDP发布，安徽省一季度GDP实现总量9529.1亿元，位列全国第十名，成功跻身全国十强阵营．将9529.1亿元用科学记数法可表示为（）
A．9.5291×103B．95.291×1011
C．9.5291×1011D．9.5291×1012
4．如图所示几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2），（﹣1，y1），（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系为（）
A．y1＜2＜y2B．y1＞2＞y2C．y1＜y2＜0D．y1＞y2＞0
7．某中学为了提高学生的跳远成绩进行了强化锻炼，锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试，成绩如表：
跳远成绩（cm）160170180190200220
人数3969153
这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是（）
A．15，9B．9，9C．190，200D．185，200
8．根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了9.75%，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了44%，则这两年平均增长率是（）
A．8%B．12%C．14%D．21%
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，PA+PB+PC的最小值为（）
A．B．3+C．D．3+
10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），连接AE，∠BAE的平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC 于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝．
12．方程+1＝的解是x＝．
13．已知如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，A在x轴上，B在反比例函数
上，则△ABO的面积是．
14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D、E分别在AC、BC边上，DC ＝EC，连接DE、AE、BD．点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是；
（2）若CB＝6，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、
E、D三点在一条直线上时，则MN的长度是．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）若平移后的△ABC与△A′B′C′成轴对称，请画出一种平移后的图形△A2B2C2，并写出平移方法．
四、（本题2小题，每小题8分，共16分）
17．观察下列不等式：
①；
②；
③；
④；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个不等式：；
（2）写出你猜想的第n个不等式：（用含n的等式表示）；
（3）比较和的大小．
18．图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，DC＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾在机身附着处的轴线AB的长．
五、（本题2小题，每题10分，共20分）
19．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
20．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，＝，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）填空：
①若AE＝，BE＝5，则BF的长为；
②当∠E的度数为时，四边形OACD为菱形．
六、（满分12分）
21．国内生产总值（GDP）是衡量国家（或地区）经济状况的最佳指标，根据安徽省统计局发布的2021年一季度安徽各市GDP统计数据结果，现把GDP值用m亿元表示，并将其GDP分成了A（100≤m＜300）、B（300≤m＜500）、C（500≤m＜700）、D（m ≥700）四个等级，其中GDP由高到低前五名分别是合肥2356.3亿元，芜湖995.68亿元，滁州759.8亿元，阜阳694.8亿元，安庆597.2亿元，根据调查结果绘制了统计表和扇形统计图，部分信息如下：
等级GDP值区间频数
A100≤m＜3004
B300≤m＜500c
C500≤m＜7005
D m≥700d
请根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝，b＝，c＝，d＝；
（2）某同学来自以上地区中的某一城市，他知道自己所在城市2021年一季度的GDP值，若他想知道自己所在城市2021年一季度GDP是否处于中上游，他需要知道什么统计量，请说明理由；
（3）若从GDP值不低于700亿元的城市中任选两个，了解其近两年GDP值的变化情况，求同时选中合肥和芜湖的概率．
七、（本题满分12分）
22．某企业投资120万元人民币生产甲、乙两种商品，经调查发现：甲商品获得的年利润y1（万元）与投入的资金x1（万元）之间的关系如表：
投入的资金x1（万元）10203040…
年利润y1（万元）7141922…
乙商品获得的年利润y2（万元）与投资的资金x2（万元）之间的关系满足y2＝
．
（1）请你根据表中数据，在三个函数模型：①y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）；②y＝
（k为常数，k≠0）；③y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中，选取一个适合的函数模型，求出y1关于x1的函数关系式（不需写出x1的取值范围）；
（2）在投资保证甲商品获得最大年利润的前提下，将剩下的资金投给乙商品，会取得多少总利润；
（3）要想获得的年总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大年总利润．
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP＝CQ；②求证：PA2＝AF•AD；
（2）若AP：PC＝1：3，求tan∠CBQ．
参考答案
一、选择题（本题10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各数中比﹣1小2的数是（）
A．﹣1B．﹣2C．1D．﹣3
【分析】可借助数轴直接得结论，也可运用减法计算出结果．
解：﹣1﹣2＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的减法．方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；
二是减数的性质符号（减数变相反数）．
2．下列各式计算正确的是（）
A．3m2+4m2＝7m4B．（﹣3mn）3＝﹣9mn3
C．（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2D．m4•（﹣2m）＝﹣2m4
【分析】直接利用整式的混合运算法则分别判断得出答案．
解：A.3m2+4m2＝7m2，故此选项错误；
B．（﹣3mn）3＝﹣27m3n3，故此选项错误；
C．（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2，故此选项正确；
D．m4•（﹣2m）＝﹣2m5，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
3．2021年4月25日，全国各省第一季度GDP发布，安徽省一季度GDP实现总量9529.1亿元，位列全国第十名，成功跻身全国十强阵营．将9529.1亿元用科学记数法可表示为（）
A．9.5291×103B．95.291×1011
C．9.5291×1011D．9.5291×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：9529.1亿＝952910000000＝9.5291×1011．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4．如图所示几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：从上面看，是一个圆，圆的内部是一个由虚线围成的同心圆．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式3+x≥﹣2，得：x≥﹣5，
解不等式＞1，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣5≤x＜2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2），（﹣1，y1），（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系为（）
A．y1＜2＜y2B．y1＞2＞y2C．y1＜y2＜0D．y1＞y2＞0
【分析】根据点（﹣3，2）在反比例函数的图象上，求得k＝﹣6＜0，即可得到反比例函数的图象在二、四象限，根据图象上点的坐标特征即可判断y1与y2的大小．解：∵点（﹣3，2）在反比例函数的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限y随x的增大而增大，
∵点（﹣3，2），（﹣1，y1），（2，y2）都在反比例函数的图象上，
∴点（﹣3，2），（﹣1，y1）在第二象限，点（2，y2）在第四象限，
∴y1＞2＞y2，
故选：B．
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，在每个象限内，y随x的增大而增大．
7．某中学为了提高学生的跳远成绩进行了强化锻炼，锻炼一个月后，学校对九年级一班的45名学生进行测试，成绩如表：
跳远成绩（cm）160170180190200220
人数3969153
这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是（）
A．15，9B．9，9C．190，200D．185，200
【分析】根据中位数和众数的定义，第23个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．解：这组数据的中位数是第23个数据，而第23个数据是190cm，
所以这组数据的中位数是190cm，
这组数据中200cm出现次数最多，
所以这组数据的众数为200cm，
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
8．根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了9.75%，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了44%，则这两年平均增长率是（）
A．8%B．12%C．14%D．21%
【分析】设这两年的平均增长率是x，由题意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．解：设这两年的平均增长率是x，由题意可得，
（1+x）2＝（1﹣9.75%）（1+44%），
解得：x＝0.14＝14%或x＝﹣2.14（舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，PA+PB+PC的最小值为（）
A．B．3+C．D．3+
【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．易证PA+PB+PC ＝PC+PF+EF，因为PC+PF+EF≥EC，推出当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，求出EC的长即可解决问题．
解：将△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，连接PF，EC．
由旋转的性质可知：AB＝BE＝3，BP＝BF，∠PBF＝60°＝∠ABE，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵PA＝EF，
∴PA+PB+PC＝PC+PF+EF，
∵PC+PF+EF≥EC，
∴当P，F在直线EC上时，PA+PB+PC的值最小，
∵∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，BE＝BC，
∴EC＝BC＝3，
∴PA+PB+PC的最小值为3，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），连接AE，∠BAE的平分线交BC于点P，过P作PF⊥AE于点F，∠FPE的平分线交DC 于点Q，设PF＝x，CQ＝y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】证明△ABP≌△AFP（AAS），AP⊥PQ，进而求解．
解：∵∠BAE的平分线交BC于点P，PB⊥AB，PF⊥AE，
∴BP＝PF＝x，
∵∠BAP＝∠FAP，∠ABP＝∠AFP＝90°，PB＝PF，
∴△ABP≌△AFP（AAS），
∴∠APB＝∠APF，
∵PQ平分∠FPC，故∠FPQ＝∠CPQ，
∵∠APB+∠APF+∠FPQ+∠CPQ＝180°，
∴∠APF+∠QPF＝90°，即AP⊥PQ，
∵∠APB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠PQC，
∴tan∠APB＝tan∠PQC，则，
∴，
∴y＝﹣x（x﹣2），
故选：C．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、三角形全等、解直角三角形等知识，确定PA、PQ相互垂直是本题解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
11．因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2．
【分析】直接提取公因式（x﹣y）分解因式，即可得出答案．
解：x（x﹣y）+y（y﹣x）
＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）（x﹣y）
＝（x﹣y）2．
故答案为：（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．方程+1＝的解是x＝0．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：2+x﹣3＝﹣1，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x﹣3≠0，
所以：x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．13．已知如图，在△ABO中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，A在x轴上，B在反比例函数
上，则△ABO的面积是．
【分析】过B点作BD⊥OA于D，由反比例函数系数k的几何意义得到S△BOD＝4，解直角三角形求得＝，然后通过证得△AOB∽△BOD，根据相似三角形的性质即可求得S△AOB＝S△BOD＝．
解：过B点作BD⊥OA于D，
∵B在反比例函数上，
∴S△BOD＝×|﹣8|＝4，
在△ABO中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，
∴cos30°＝＝，
∵∠ABO＝∠BDO＝90°，∠AOB＝∠BOD，
∴△AOB∽△BOD，
∴＝（）2＝，
∴S△AOB＝S△BOD＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解直角三角形以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D、E分别在AC、BC边上，DC
＝EC，连接DE、AE、BD．点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是BE＝MN；
（2）若CB＝6，CE＝2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，则MN的长度是﹣1或+1．
【分析】（1）证明△PMN的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）分两种情形由勾股定理和直角三角形的性质分别求解即可．
解：（1）∵点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴AM＝ME，AP＝PB，
∴PM∥BE，PM＝BE，
∵BN＝DN，AP＝PB，
∴PN∥AD，PN＝AD，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴AD＝BE，
∴PM＝PN，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵PM∥BC，PN∥AC，
∴PM⊥PN，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴MN＝PM，
∴MN＝•BE，
∴BE＝MN，
故答案为：BE＝MN．
（2）①如图3中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，
∴BE＝BG﹣GE＝﹣，
∴MN＝BE＝﹣1．
②如图4中，作CG⊥BD于G，则CG＝GE＝DG＝，
当D、E、B共线时，在Rt△BCG中，BG＝＝＝，
∴BE＝BG+GE＝+，
∴MN＝BE＝+1．
综上所述，MN＝﹣1或+1．
故答案为﹣1或+1．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
解：原式＝×﹣1﹣（2﹣）
＝1﹣1﹣2+
＝﹣2+．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）请画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）若平移后的△ABC与△A′B′C′成轴对称，请画出一种平移后的图形△A2B2C2，并写出平移方法．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
（2）把△ABC向下平移6个单位得到△A2B2C2，则△A2B2C2满足条件．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
把△ABC向下平移6个单位得到△A2B2C2．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称和平移变换．
四、（本题2小题，每小题8分，共16分）
17．观察下列不等式：
①；
②；
③；
④；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个不等式：＜；
（2）写出你猜想的第n个不等式：＜（用含n的等式表示）；
（3）比较和的大小．
【分析】（1）观察以上规律，写出第6个不等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出第n个不等式即可；
（3）利用作差法计算可再结合n大于0得结论．
解：（1）根据规律可得第6个不等式为：，
故答案为：；
（2）根据规律可得第n个不等式为：，
故答案为：；
（3）∵﹣＝﹣＝﹣＜0，
∴＜．
【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键．
18．图1是我国某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一，图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，DC＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾在机身附着处的轴线AB的长．
【分析】过点C作CF⊥AB，过点D作DE⊥AB分别交AB的延长线与点F、点E，根据解直角三角形知识求出AE、EF、BF的长，再根据AB＝AE+EF﹣BF得出AB的长即可．解：过点C作CF⊥AB，过点D作DE⊥AB分别交AB的延长线与点F、点E，
∵AB∥CD，
∴∠CBF＝∠BCD＝60°，∠A＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
在Rt△BCF中，sin60°＝，cos60°＝，
∴CF＝4，BF＝4，
∵CF⊥AB，DE⊥AB，
∴CF∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∵CF⊥AB，
∴四边形DCFE是矩形，
∴EF＝CD＝2，DE＝CF＝4，
在Rt△ADE中，tan45°＝＝，
∴AE＝4，
∴AB＝AE+EF﹣BF＝4+2﹣4＝4﹣2．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．五、（本题2小题，每题10分，共20分）
19．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
【分析】设6210文能买x株椽，依题意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出分式方程，解方程即可．
解：设6210文能买x株椽，
依题意，得：3（x﹣1）＝，
解得：x＝46或x＝﹣45（舍去），
经检验，x＝46或x＝﹣45是原方程的解，
但x＝﹣45不合题意舍去，
∴x＝46，
答：6210文能买46株椽．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．20．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，＝，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）填空：
①若AE＝，BE＝5，则BF的长为3；
②当∠E的度数为60°时，四边形OACD为菱形．
【分析】（1）利用弧相等，得到∠D＝∠CAD，∠B＝∠D，进而可得∠B＝∠CAD，再利用等角的余角相等证明∠AFC＝∠E，从而证得△AEF为等腰三角形；
（2）①先利用勾股定理求出AB长度，然后分别证明△EAB∽△ACB以及△ACF∽△BCA，进而求的BC和CF的长度，BF＝BC﹣CF也就求出来了；
②根据四边形OACD为菱形，逆推△AOC为等边三角形，从而求的∠ABE的度数，最后
求出∠E的度数．
解：（1）∵，
∴∠D＝∠CAD，
又∠B＝∠D，
∴∠B＝∠CAD，
∵AB是直径，
∴∠CAD+∠AFC＝90°，
∵AE为半圆O的切线，
∴∠EAB＝90°，
∴∠B+∠E＝90°，
∴∠AFC＝∠E，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）①∵AE＝，BE＝5，
∴AB＝，
在△EAB和△ACB中，
∵∠EAB＝ACB＝90°，且∠B＝∠B，
∴△EAB∽△ACB，
∴，
∴BC＝4，
∴AC＝2，
同理可证：△ACF∽△BCA，
∴，
∴CF＝1，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
故答案为：3；
②如图，
∵四边形OACD为菱形，
∴OA＝OD＝CD＝AC，
又∵OC＝OD＝OA，
∴AC＝OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABE＝30°，
∴∠E＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题是圆综合题，熟练运用相似三角形的判定与性质以及菱形的性质是解题的关键．
六、（满分12分）
21．国内生产总值（GDP）是衡量国家（或地区）经济状况的最佳指标，根据安徽省统计局发布的2021年一季度安徽各市GDP统计数据结果，现把GDP值用m亿元表示，并将其GDP分成了A（100≤m＜300）、B（300≤m＜500）、C（500≤m＜700）、D（m ≥700）四个等级，其中GDP由高到低前五名分别是合肥2356.3亿元，芜湖995.68亿元，滁州759.8亿元，阜阳694.8亿元，安庆597.2亿元，根据调查结果绘制了统计表和扇形统计图，部分信息如下：
等级GDP值区间频数
A100≤m＜3004
B300≤m＜500c
C500≤m＜7005
D m≥700d
请根据图表中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝25，b＝31.25，c＝4，d＝3；
（2）某同学来自以上地区中的某一城市，他知道自己所在城市2021年一季度的GDP值，若他想知道自己所在城市2021年一季度GDP是否处于中上游，他需要知道什么统计量，请说明理由；
（3）若从GDP值不低于700亿元的城市中任选两个，了解其近两年GDP值的变化情况，求同时选中合肥和芜湖的概率．
【分析】（1）设样本容量为m，则b＝25%m，d＝18.75%m，由题意得4+25%m+5+18.75%m ＝m，解得m＝16，即可解决问题；
（2）由中位数的意义求解即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，同时选中合肥和芜湖的结果有2个，再由概率公式求解即可．
解：（1）设样本容量为m，则b＝25%m，d＝18.75%m，
由题意得：4+25%m+5+18.75%m＝m，
解得：m＝16，
∴b＝25%×16＝4，d＝18.75%×16＝3，
a%＝4÷16×100%＝25%，b%＝5÷16×100%＝31.25%，
∴a＝25，b＝31.25，
故答案为：25，31.25，4，3；
（2）若他想知道自己所在城市2021年一季度GDP是否处于中上游，他需要知道中位数，理由如下：
中位数是一组数据按照从大到小或从小到大排序后最中间的数或最中间两个数据的平均数，知道了中位数，再与自己所在城市2021年一季度GDP进行比较即可；
（3）GDP值不低于700亿元的城市有3个，分别是合肥2356.3亿元，芜湖995.68亿元，滁州759.8亿元，记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，同时选中合肥和芜湖的结果有2个，
∴同时选中合肥和芜湖的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了统计表和扇形统计图．
七、（本题满分12分）
22．某企业投资120万元人民币生产甲、乙两种商品，经调查发现：甲商品获得的年利润y1（万元）与投入的资金x1（万元）之间的关系如表：
投入的资金x1（万元）10203040…
年利润y1（万元）7141922…
乙商品获得的年利润y2（万元）与投资的资金x2（万元）之间的关系满足y2＝
．
（1）请你根据表中数据，在三个函数模型：①y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）；②y＝（k为常数，k≠0）；③y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中，选取一个适合的函数模型，求出y1关于x1的函数关系式（不需写出x1的取值范围）；
（2）在投资保证甲商品获得最大年利润的前提下，将剩下的资金投给乙商品，会取得多少总利润；
（3）要想获得的年总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大年总利润．
【分析】（1）根据表中数据，在三个函数模型中满足二次函数关系，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）把（1）中解析式化为顶点式，再根据函数性质求出函数取最大值时投资金额，剩余的即为投资给乙的金额，从而求出总利润；
（3）年总利润为y万元，分当0≤x2≤50时，70≤x1≤120和当50＜x2≤120时，0≤x1＜70，两种情况讨论，根据二次函数的性质求最值即可．
解：（1）根据表中数据，在三个函数模型中，①②都不符合，因此选③，
即，
把表中的数据代入得：
，
解得：，
∴y1＝﹣0.01+x1﹣2；
（2）y1＝﹣0.01+x1﹣2
＝﹣0.01（x1﹣50）2+23，
∵﹣0.01＜0，
∴当投入资金x1＝50时，甲商品获得的年利润y1最大，最大利润23万元，
此时x2＝120﹣50＝70，
此时乙获得利润：y2＝x2+12＝×70+12＝29.5，
∴总利润：y1+y2＝23+29.5＝52.5（万元），
答：在投资商保证甲商品获得最大年利润的前提下，将剩下的资金投给乙商品，会取得
52.5万元总利润；
（3）设年总利润为y万元，根据题意知，
①当0≤x2≤50时，70≤x1≤120，
y＝y1+y2＝﹣0.01+x1﹣2+0.6x2
＝﹣0.01+x1﹣2+0.6（120﹣x1）
＝﹣0.01（x1﹣20）2+74，
∵﹣0.01＜0，x1＞20时，y随x1的增大而减小，
∴x1＝70时，y有最大值，最大值为﹣0.01×（70﹣20）2+74＝49，
②当50＜x2≤120时，0≤x1＜70，
y＝y1+y2＝﹣0.01+x1﹣2+x2+12
＝﹣0.01+x1+（120﹣x1）+10
＝﹣0.01（x1﹣37.5）2+54.0625，
所以当x＝37.5时，y最大值为54.0 625万元，此时x2＝120﹣x1＝82.5，
∵49＜54.0625，
∴要想获得年利润最大，应这样分配投资金额：投资甲商品37.5万元，乙商品82.5万元时，所获利润最大，最大利润为54.0625万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用以及用待定系数法求二次函数的解析式，关键根据二次函数的性质求函数最值．
八、（本题满分14分）
23．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP＝CQ；②求证：PA2＝AF•AD；
（2）若AP：PC＝1：3，求tan∠CBQ．
【分析】（1）①证出∠ABP＝∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC＝∠BAC，∠APF＝∠ABP，根据AA证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BCQ＝∠BAC＝45°，可得∠PCQ＝90°，根据三角函数和已知条件得到tan∠CPQ＝，由②中∠CBQ＝∠CPQ即可求解．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°，
∴∠PBC+∠CBQ＝90°
∴∠ABP＝∠CBQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP＝CQ；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵∠PQB＝45°，∠CEP＝∠QEB，
∴∠CBQ＝∠CPQ，
由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP＝∠CBQ
∵∠CPQ＝∠APF，
∴∠APF＝∠ABP，
∴△APF∽△ABP，
∴，
∴AP2＝AF•AB＝AF•AD；
（本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP）
（2）由①得△ABP≌△CBQ，
∴∠BCQ＝∠BAC＝45°，
∵∠ACB＝45°，∠PCQ＝45°+45°＝90°，
∴tan∠CPQ＝，
由①得AP＝CQ，
又∵AP：PC＝1：3，
∴tan∠CPQ＝，
由②得∠CBQ＝∠CPQ，
∴tan∠CBQ＝tan∠CPQ＝．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．。