高中数学高一第一学期题库-集合

1. 集合的含义及其表示
（一）集合元素的互异性
1. 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 变式：已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 的值为_______
2. {}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形
（二）集合的表示方法
1. 用列举法表示下列集合
（1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________
变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成的集合为 ___
（2） },36|),{(*N x Z x
y y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ⎧
⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭
变式2：()⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6, （3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B
（4）已知集合M=}56|
{*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a
∈∈-，则集合M 中的元素为 2. 用描述法表示下列集合
（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________
变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________{}
R x x y y x ∈=,),（
（2）能被3整除的整数 _______________________ {}Z n n x x ∈=,3.
3. 已知集合{}10，=A ，{}A x x B ⊆=，{}A x x C ∈=
（1）用列举法写出集合C B ,；（2）研究集合C B A ,,之间的包含或属于关系
4. 命题 (1) {}200x ∈=；(2)(){}
00,0∈；(3)0∈∅；(4)0N ∈表述正确的是 . （三）空集的性质
1. 若∅ {x |x 2≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________
2. 已知a 是实数，若集合｛x | ax ＝1｝是任何集合的子集，则a 的值是 _______ .0
3. 下列三个集合中表示空集的是
(1) {0}； (2) {(x , y )|y 2=-x 2,x ∈R ，y ∈R }；(3) {x ∈N |2x 2+3x -2=0}.
变式1：若集合B A x y x B x y y A 则},1|{},|{-===== _______
变式2：若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B =_____{}1,1-
（四）集合相等
1. 已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，B={}
0,,2b a a + ，若A=B ，则=+20032004b a _____ 2. 已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}
21,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值. 3. 已知22{2,2010,1},{0,2010,3},A x B x x A B =--=-=且，则x 的值为________
4. 已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．
5. 已知集合{}{}
21,1,12,1,,P d d Q q q =++=,且P Q =，则__,__d q == 2. 集合方程问题
1. 若集合{}
2|10,A x ax bx x R =++=∈ （1）若{}1,1A =-，求,a b 的值；（2）若{}1A =-，求,a b 的值
2. 若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为 .
3. 设{}{}2,y x ax b A x y x a =++===，求,a b .
4. 已知集合{}
2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数.
（1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
5. 已知集合241x A a x x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A 为 . 变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何？
3. 子集、全集、补集
1. 集合=A {01|=-kx x }，集合}0|{=-=k x x B ，若B A ⊆，k 的取值集合．．．．
为______ 2. 设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|1
2--x y =3}，则C U A = . 3. M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}.若M ⊇N ，实数a 的取值范围为 .
4. 若{}
01)1(222=-++-=a x a x x A ，B={x|x 2-4x=0}，C={x|x 2-8x+16=0}，若A B ⊆ＵC,求实数a 的取值范围 5. 1{-<=x x A 或}2>x ，}04{<+=a x x B ，当A B ⊆时，实数a 的取值范围为_____
6. 已知集合}21{<<=ax x A ，}1{<=x x B ，满足B A ⊆，则实数a 的取值范围为____ 变式：已知集合{}510≤+<=ax x A ，集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤<-=221x x B （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围
（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围
（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由
7. 已知集合{}|312M x a x a =-<<，{}|13N x x =-<<，若N ⊂≠M C R
，实数a 的取值范围为____________
8. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，},9,1{)()(},2{==B C A C B A U U }8,6,4{)(=B A C U ，则=A , =B .
9. 设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}
2|(1)0B x x m x m =+++=, 若 φ=B A C U )(，m = ________
10. 已知全集}3,2,1,0{=U ，若},3,1{2a a M C u -=，则a 的值为____________
11. 若集合}20|{≤<=x x A .分别求出当全集为下列集合时的U A
ð. (1)R U =； (2)}1|{-≥=x x U ；(3)=U }30|{≤≤x x .
12. 若集合}06{2=-+=x x x M ，}0))(2({=--=a x x x N ，且M N ⊆，则实数a
的值为 _______
13. 已知集合}9,8,6,4,2{=A ，}8,5,3,2,1{=B ，是否存在集合C ，使C 中的每个元素加 上2就变成了A 的一个子集，且C 中的每个元素减去2就变成了B 的一个子集？若存在， 求出集合C ；若不存在，说明理由
14. }2,1{=U ，}0{2=++=q px x x A ，}1{=A C u ，则=+q p ____
15. 写出满足条件{a }⊆M ≠
⊂{a ，b ，c ，d }的集合M 16. 已知A={0，2，4}，C U A={-1，1}，C U B={-1，0，2}，求B=
17. 设集合{}1,2,3,4,5,6A =,{}4,5,6,7B =,则满足S A ⊆且S
B ≠∅的集合S 的个数为____________ 56
18. 已知集合{}{}220,10A x x px q B x qx px =++==++=同时满足：,A B ≠∅ -2A ∈，求实数,p q 的值.
解：两式相减，得5,11,23,22
p q p q p q ====-==或或 19. 已知集合{}[]{}21,01,()(3)0A y y x x B x x a x a ==-<≤=--+<，分别根据下列条件，求实数a 的取值范围.
（1）A B A =；（2）A B ≠∅ （1）(]-2-1，；
（2）()-4,1 20. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=04a x ax x A ，{}0342<+-=x x x B ，{}
0822>++=mx x x C （1）若A ∈3，求a 的取值范围；（2）若4A ∉，求a 的取值范围；
（3）若C C B = ，求m 的取值范围. （4）若∅=C B ，求m 的取值范围
4. 交集、并集运算
1. 已知{{},21,A x y B y y x x R ====+∈，则A B =_________ 变式1：若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P= :
2. 设集合{|10A x x =+≤或40},{|22}x B x a x a -≥=≤≤+
（1）若A
B φ≠，则实数a 的取值范围为____________ （2）若A B B =，则实数a 的取值范围为____________
3. 已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A =
4. 已知集合{}14A x a x a =+≤≤+，{}25B x x x =<->或，全集U R =
（1）若A
B =∅,求实数a 的取值范围
（2）若A B C u ，求实数a 的取值范围
5. 集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}
2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠，,A C φ=实数a 的值为
6. 已知全集{}{}|09,|1U x x A x x a =<<=<<，若非空集合A U ⊆，则实数a 的取值范围是_________
7. 若集合12{<<-=x x A 或}1>x ，}{b x a x B ≤≤=，且}2{->=x x B A ， }31{≤<=x x B A ，则=a ___________，=b ___________
8. 已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A
C B =R R ，则实数a 的取值范围
是
9. 已知非空集合A ＝{x ｜2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x ｜3≤x ≤22}，则能使A ⊆(A ∩B )成立的所有a 值的集合是
10. 已知A={a 1，a 2，a 3 ，a 4}，B={22221234,,,a a a a }，其中a 1<a 2<a 3<a 4 ，a 1，a 2，a 3 ，a 4∈N ，若A ∩B={a 1，a 4} ，a 1+a 4=10，且A ∪B 所有元素和为124，则集合A= B=
11. 设集合{}{}圆，直线==B A ，则B A 的元素个数为____________
12. 设集合{}R a x a a x x A ∈+=+=,)4(42，{}
x x x B 542=+= （1）若A B A = ，求实数a 的值（2）求B A ,B A .
13. 如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
14. 若全集,R I =)()(x g x f 与都为二次函数，{}0)(<=x f x P ，{}0)(≥=x g x Q ，则不等式⎩
⎨⎧<<0)(0)(x g x f 的解集可用Q P ,表示为______________ 15. 已知集合(]2 1A =-，
，[)1 2B =-，，则A B = ____ 16. 若集合{|20}P x x a =-<，{|30}Q x x b =-> ，,a b N ∈，且{1}P Q N =，
则满足条件的整数对(,)a b 的个数为 ____
变式：已知集合A ＝{}{}a x x x B x x x 223|,15352|+<+=->+,且B A 只有5个整数解，则a 的取值范围是 ___________ .6-a < ≤2
11- 17. 设A ={2, －1, a 2－a +1}，B ={b , 7, a + 1} ，M ={－1, 7}，A ∩B =M ．
（1）设全集U A =，求M C U ； （2）若N a ∈,求a 和b 的值．
18. 集合{},0M a =，{}2230,N x x x x =-<∈Z ，如果M N ≠∅，则a =
19. 集合}2log |{2
1>=x x A ，),(+∞=a B ，若A B A ≠⋂时a 的取值范围是(,)c +∞，
则c =___
20. 已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn) 图是________．
21. 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 22. (2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元 素. 若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．
23. 已知函数f (x )＝ 6x ＋1
－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域 为集合B .（1）当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；（2）若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．
24. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．
（1）若A ＝∅，求实数a 的取值范围；
（2）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；
（3）求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．
25. 设集合}0)5()1(2|{},023|{2
22=-+++==+-=a x a x x B x x x A
（1）若{}2=⋂B A ，求实数a 的值；（2）若A B A =⋃，求实数a 的取值范围；
（3）若A B C A R U U =⋂=,，求实数a 的取值范围
解：（1）3,1a a =-=-；（2）3a ≤-
（3）3a ≠-或1a ≠-或a ≠-或1a ≠-
26. 集合{}{}2250,21,P x x Q x x n n Z =-<==-∈,若,S P S Q ⊆⊆且则S 的子集个数最多为_________ 16 27. 66,,,,,11M x x N N Q x x t N x N x t ⎧
⎫⎧⎫=∈∈==∈∈⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭则____M Q ={}1,2
28. 已知*N A =,{}
0322≤+-=x x x B ,则()______=A B C U
5. 简单的数论问题
1. 设b a ,均为整数，把形如5b a +的一切数构成的集合记作M ，设M y x ∈,，试判断
y
x xy y x y x ,,,-+是否属于集合M ，并说明理由. 2. 已知集合}{
Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22，
求证：(1) 3A ∈；(2) ()21,k A k Z +∈∈ (3) 偶数()42k k Z -∈不属于A .
3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：
① P 中的元素有正数，有负数；② P 中的元素有奇数，有偶数；
③ 1P -∉；④若x ，y P ∈，则x y P +∈．
试判断实数0和2与集合P 的关系．
4. 设集合A=},2|{Z k k x x ∈=，B=},12|{Z k k x x ∈+=，C=},14|{Z k k x x ∈+=，若B b A a ∈∈,，则∈+b a （填集合A 或B 或C ）
变式1: 若B b C a ∈∈,，则∈ab （填集合A 或B 或C ）
变式2: 已知A=},,2|{N n N m n a a m
∈∈=
，若A b A a ∈∈,，则下列元素属于集合A 的为 （填序号）①b a +；②ab ；③b a -④0,≠b b a 变式3: Z b a ∈,，集合A=}63)(|),{(2y b a x y x ≤+-，点A A A ∉∉∈)2,3(,)0,1(,)1,2(，求a 与b 的值
5. 已知m ∈A ，n ∈B ，且集合A ＝{x |x ＝2a ，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝2a ＋1，a ∈Z }，又 C ＝{x |x ＝4a ＋1，a ∈Z }，判断m ＋n 属于哪一个集合？
6. 已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16
，c ∈Z }，则 A 、B 、C 之间的关系是________．
6. 新定义集合问题
1. 给定集合A 、B ，定义一种新运算：A*B=},|{B A x B x A x x ∉∈∈但或，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列举法写出=B A *
2. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是 A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个
3. 整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
[k]={5n+k 丨n ∈Z}，k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论：
① 2011∈[1]；② -3∈[3]；③ Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] ;
④“整数a ，b 属于同一“类”，则“a-b ∈[0]”
其中正确结论的序号是________________（填写所有满足条件的序号）
4. 设集合{12}n P n =，，，
…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；② 若x A ∈，则2x A ∉；③ 若A C x n p ∈，则A C x n
p ∉2，(4)f =_______
5. 设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）22(),()(1)(1)x bx c g x ax cx bx ++=+++.记集合S=()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．
的是______________（填满足条件的字母） A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且 C ．S =2且T =2 D ．
S =2且T =3 6. 如图所示的韦恩图中，,A B 是非空集合，定义集合#A B 为阴影部
分表示的集合，即#A B ＝},|{B A x B x A x x ⋂∉∈∈，且或. 若}3|{x x y x A -+=＝，}1,1|{2≥+==x x y y B ,则#A B =_______
7. 集合{}0,1A =,{}2,2B a a =，其中a R ∈,我们把集合{}
1212,,x x x x x A x B =+∈∈, 记作A B ⨯，若集合A B ⨯中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是 .
8.（2010四川）设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集下列命题：
① 集合S ＝{a ＋a,b 为整数}为封闭集；② 若S 为封闭集，则一定有0S ∈；
③ 封闭集一定是无限集；④ 若S 为封闭集，则满足S T R ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
9. 已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤,{}(,)4,B x y y x m m R =≥-+∈，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N ，若点 (,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则DMN ∆的面积的最大值为_____
10. 设集合{}1,2,3,4P =，{}32Q x x =-≤≤，则集合{
}_____A x x P x Q =∈∉=且 （用列举法表示） 变：设集合{}2log 1P x x =<，{}13Q x x =<<，则集合{}_____A x x P x Q =∈∉=且
变：对任意两个集合X 和Y ,定义{},()()X Y x x X x Y X Y X Y Y X -=∈∉∆=--且, 设{}21,0,2cos ,A y y x R x B y y x x R x ⎧
⎫==∈≠==-∈⎨⎬⎩⎭
且,则______A B ∆= []()2,02,-+∞
7. 集合中一类动态问题的研究
1. 某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21 人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的取值范围是
2. [][]？=d c b a ,, 2. [][]？=d c b a ,,
3. 对于集合{}b x a x A ≤≤=，定义a b -为其长度，已知数集⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≤≤-=m x m x P 43，⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+≤≤=31n x n x Q 都是集合[]1,0=U 的子集 （1）若43=
m 且2
1=n ，求集合Q P 的长度；（2）求集合Q P 长度的最小值 8. 集合计数问题研究
1. 集合{}1,2,3,,9S =，
集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，且326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为_____________83
2. 记集合P = { 0，2，4，6，8 }，Q = { m | m = 100a 1 +10a 2 + a 3，且a 1，a 2，a 3∈P }，将 集合Q 中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_______．464
3.（13年南通学科基地密卷）设n 为给定的正整数，数集{
}n M ,,3,2,1 =的两个子集B A ,构成一个有序对),(B A
（1）记n a 为满足B A ≠的有序对),(B A 的个数，求n a ；
（2）记n b 为所有满足集合B 是集合A 的真子集的有序对),(B A 的个数，求n b
4. (13年南通学科基地密卷）设j P P P ,,21 ，
为集合{}i P ,4,3,2,1 =的子集，其中j i ,为正整数，记ij a 为满足∅=j P P P P 321的有序子集组),,,(21j P P P 的个数.
（1）求22a 的值；（2）求ij a 的表达式。