承德县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

承德县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若当时，函数（且）始终满足，则函数的图象大致是R x ∈|
|)(x a x f =0>a 1≠a 1)(≥x f 3
|
|log x x y a =（
）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．2． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ）
A ．{0}∈M
B ．{0}M
C ．0∈M
D ．0M
∉⊆3． 某程序框图如图所示，则输出的S 的值为（
）
A ．11
B ．19
C ．26
D ．57
4． 集合，，，则，
{}|42,M x x k k Z ==+∈{}|2,N x x k k Z ==∈{}|42,P x x k k Z ==-∈M ，的关系（ ）
N P A ．
B ．
C ．
D ．M P N =⊆N P M =⊆M N P =⊆M P N
==5． 如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离1111ABCD A B C D -P 11BB C C P BC 11C D 相等，则动点的轨迹所在的曲线是（
）
P
A 1 C
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.6． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（
）
A ．x ＞1
B ．x ＜1
C ．x ＞3
D ．x ＜3
7． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．6
8． “
”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的（
）
A ．充分非必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
9． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣
ABC 的体积为V ，则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．复数Z=
（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（
）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（3，﹣1）
D ．（2，4）
11．数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣1
D ．1
12．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得e 1[,1]x e
∈[1,1]y ∈-2ln 1y
x x a y e -++=成立，则实数的取值范围是（
）
a
A.
B.
C.
D.1[,]e e
2(,]e e
2(,)e
+∞21(,)
e e e
+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．
二、填空题
13．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线；⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
14．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．
15．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
16．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的
▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）17．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为 ．
18．设变量满足约束条件，则的最小值是，则实数y x ,22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
22
(1)3(1)z a x a y =+-+20-a =
______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
三、解答题
19．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连
接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。

20．已知函数f （x ）=xlnx+ax （a ∈R ）．（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x ∈（1，+∞），f （x ）＞k （x ﹣1）+ax ﹣x 恒成立，求正整数k 的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）　
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点．
（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D=，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值．
22．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．　
23．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：
（1）；()f x =
（2）()f x =
24．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=（a 1x xe -．∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在上无零点，求a 的最小值；10,
2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
（Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．
承德县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由始终满足可知．由函数是奇函数，排除；当时，|
|)(x a x f =1)(≥x f 1>a 3
|
|log x x y a =
B )1,0(∈x ，此时，排除；当时，，排除，因此选．0||log <x a 0|
|log 3
<=
x
x y a A +∞→x 0→y D C 2． 【答案】C
【解析】解：对于A 、B ，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；对于C ，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D ，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用　
3． 【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1k=2，S=4
不满足条件k ＞3，k=3，S=11不满足条件k ＞3，k=4，S=26
满足条件k ＞3，退出循环，输出S 的值为26．故选：C ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的k ，S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．　
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知，所以.{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±± M P N =⊆考点：两个集合相等、子集．15． 【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
6．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
7．【答案】C．
【解析】解：∵2a=3b=m，
∴a=log2m，b=log3m，
∵a，ab，b成等差数列，
∴2ab=a+b，
∵ab≠0，
∴+=2，
∴=log m2，=log m3，
∴log m2+log m3=log m6=2，
解得m=．
故选C
【点评】本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用．
8．【答案】A
【解析】解：由x2+x+m=0知，⇔．
（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），
反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，
因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．
9．【答案】C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选C．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
10．【答案】A
【解析】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】解：∵a1=3，a n﹣a n•a n+1=1，
∴，得，，a4=3，
…
∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1，
∵2016=3×672，
∴A2016 =（﹣1）672=1．
故选：D．
12．【答案】B
【解析】
二、填空题
13．【答案】　①②④　
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，②
正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
14．【答案】　2：1　．
【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，
所以圆锥的侧面积为：=πrl
圆柱的侧面积为：2πrl
所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1
故答案为：2：1
15．【答案】　30°　．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．　
16．【答案】必要而不充分【解析】
试题分析：充分性不成立，如2
y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．17．【答案】　A ．
【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ．故答案为：A ．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．　
18．【答案】2±【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】（1）1
（2）60°
【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V A﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）
设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），
∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，
20．【答案】
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．
令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，
又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设h（x）=，则h′（x）=．
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．
∴k＜h min（x）=x0．
∵3＜x0＜4，
∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
21．【答案】
【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1，
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD．
解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点，
四边形BCC1B1是正方形，且A1D=，
∴CD⊥AB，CD==，AD=1，
∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，
∵，∴，
∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），
=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=，α∈（0，）．
∴tan θ=tan （α+）==，
∴由解得，
∴点A 的坐标为（，）．
（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+
cos2x
=
sin （2x+
）
由x ∈[0，]，可得2x+∈[
，
]，
∴sin （2x+
）∈[﹣
，1]，
∴函数f （x ）的值域为[﹣
，
]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．　
23．【答案】（1）；（2）．()[),11,-∞-+∞ [)(]1,23,4- 【解析】
考
点：函数的定义域. 1
【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.
24．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在 10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是.3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝
⎦
【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
）上无零点，只需要对x ∈（0，）时f （x ）＞121
2
0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，由f ′（x ）＞0，得x ＞2；由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的
，f （x ）＞0恒成立，即对
恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在
上为增函数，所以
，
故要使恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在 上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；10,
2⎛⎫
⎪⎝
⎭
（3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增；当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减．又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0，所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；
当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]
当x=
时，f ′（x ）=0．
由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即
①
此时，当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如下：
x （0，）
（，e]
f ′（x ）﹣0+f （x ）
↘
最小值
↗
又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，
，
所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：
即
令h （a ）=，
则h
，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，
故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；当
时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．
所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是 时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝
⎦
x i （i=1，2），使f （x i ）=g （x 0）成立．。