高中数学 3.4.2《换底公式》精品学案 北师大必修1

对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=
b c c a a a b b c c a 二、常用关系：
1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =
2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a a
b b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a a
b b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m
5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m b
a m a n 三、例题：
例1、求证：1log log =⋅a b b a
例2、求下列各式的值。

(1)、log 98•log 3227
(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)
(3)、log 49•log 32
(4)、log 48•log 39
(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)
例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.
解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。

例4、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值。

练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；
例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？
解：设15年后约有木材A 方，则
A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515
lgA=lg22000+15×lg1.025
=4.3424+15×0.0107
=4.5029
∴ A=131840
答：15年后约有木材131840方。

练习：
1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）个。

2、在一个容积为a 升的容器里满盛着酒精。

先向外倒出x 升，再用水注满；第二次又倒出x 升溶液，再用水注满；如此操作t 次后，容器里剩余的纯酒精为b 升，试用含有a 、b 、t 的式子表示x 。

四、作业
1．若M =⋅⋅32log 4log 3log 432，则M 的值是（ ）．
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）无法确定
2．适合7log 7log log 55=x x 的x 的集合是（ ）．
（A ）{5，7} （B ）{0，1以外的实数} （C ）{不为1的正数} （D ）R
3．若1,0≠>a a ，则b c
b c a a log log log =成立的条件是（ ）． （A ）b ＞0、c ＞0 （B ）b ＞1、c ＞1
（C ）b ＞0、c ＞0、且c≠1 （D ）b ＞0、b≠1且c ＞0，c≠1
4．若b M a log =，则)0(log ≠p b q a p
化简的结果是（ ）． （A ）p qM （B ）M pq （C ）q
pM （D ）M p q ⋅ 5．比值N N
M a a log log 应等于（ ）
． （A ）a M a log （B ）M （C ）a M log 1+ （D ）M
a log 11+ 6．若
b a ==7log ,5log 39，则=9log 35 ．
7．若518,9log 18==b a ，则=45log 36 ．
8．若n m ==25log ,27log 34，则=2lg ．
9．=++)4.0log 2)(log 2.0log 5(log 25442 ．
10．若1>>a b ，311log 2log =+a b b a 则=+-+b
b a b a 263 ．
11．证明不等式：219
log 319log 219log 1235<++． 12．化简：)324324(log )324324(log 99--+--+
+． 13．已知：0,632≠==xyz z y x ，求证：z
y x 111=+． 14．已知：a y a x a a 2log ,log 32==，求证：xy y xy --=32
1． 五、作业答案
1——5：A C C A B
6——10：b a +22；a b a -+2；33+mn ；4
1；2． 11．左=2361log 360log )895(log 191919=<=⨯⨯；
12．4
1； 13．提示：令)1(632≠>===k o k k z y x 且 则2
log 1log 2k k x ==,3log 1log 3k k y ==,6log 1log 6k k z ==， z
y x k k k 16log 3log 2log 11==+=+∴ 14．提示：2lg 3lg 2lg 3lg 2lg )2log log 1(2lg )1(2lg 321+⋅=-=-=-a a xy a a xy 同理，2lg 3lg 2lg 3lg 3
lg +⋅=-xy y ,xy y xy --=∴321。