越秀区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

越秀区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧ 2． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）
A ．1
B ．±2
C ．或3
D ．1或2
3． 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f （x ）对应的
解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]
6． 若，[]0,1b ∈，则不等式22
1a b +≤成立的概率为（ ） A ．
16π B ．12π C ．8π D ．4
π
7． 已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（1，+∞）
D ．（2，+∞）
8． 已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，
）时，f （x ）=e x
+sinx ，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． sin 3sin1.5cos8.5，
，的大小关系为（ ） A ．sin1.5sin 3cos8.5<< B ．cos8.5sin 3sin1.5<< C.sin1.5cos8.5sin 3<<
D ．cos8.5sin1.5sin 3<<
10．图
1是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数=3， =2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A ． =﹣0.2x+3.3
B ． =0.4x+1.5
C ． =2x ﹣3.2
D ． =﹣2x+8.6
12．在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1 D ．x=﹣
二、填空题
13．已知tan()3αβ+=，tan()24
π
α+
=，那么tan β= .
14．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()3
2f x x x =-，若曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线经
过圆()2
2
:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．
15．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 ．
16．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f（x）的命题中：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上为减函数；
⑤f（2）=f（0）．
正确命题的个数是．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=
⊥，
3
BC=，E在AC上，若BE AC
则ED的长=____________
18．设α为锐角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=，则sin（α+）=．
三、解答题
19．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）
在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．
20．已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R）
（1）求m和t的值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
21．已知全集U为R，集合A={x|0＜x≤2}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}
求：（I）A∩B；
（II）（C U A）∩（C U B）；
（III）C U（A∪B）．
22．已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别
交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求B、C两点间的距离．
23．（本小题满分12分）
2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．
（Ⅰ）确定x，y，p，q的值；
（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．
（参考公式：
()
()()()()
2
n ad bc
a b c d a c b d
-
K=
++++
，其中n a b c d
=+++）
24．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
越秀区一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：命题的真假.
2．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值；
当2≤x≤4时，
f（x）=1﹣|x﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x≤8时，2＜≤4，
则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），
此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
3．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：
当x=时，sin（2×﹣）=0；
∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
4．【答案】A
【解析】解：由函数的图象可得A=1，=•=﹣，
解得ω=2，
再把点（，1）代入函数的解析式可得sin（2×+φ）=1，
结合，可得φ=，
故有，
故选：A．
5．【答案】B
【解析】解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=6，
∴=6，
∴b=．
当q＞0时，=2，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，2]；
当q＜0时，b=﹣6，当且仅当q=﹣1时取等号，此时b∈[﹣6，0）．
∴b的取值范围是[﹣6，0）∪（0，2]．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【答案】D
【解析】
考点：几何概型．
7．【答案】C
【解析】解：令F（x）=，（x＞0），
则F′（x）=，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）为定义域上的减函数，
由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，
得：＞，
∴＜x，∴x＞1，
故选：C．
8．【答案】D
【解析】解：由f（x）=f（π﹣x）知，
∴f（）=f（π﹣）=f（），
∵当x∈（﹣，）时，f（x）=e x+sinx为增函数
∵＜＜＜，
∴f （）＜f （
）＜f （），
∴f （
）＜f （
）＜f （
），
故选：D
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为8.522
π
ππ<-<，所以cos8.50<，又()sin3sin 3sin1.5π=-<，
∴cos8.5sin 3sin1.5<<． 考点：实数的大小比较. 10．【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念. 11．【答案】A
【解析】解：变量x 与y 负相关，排除选项B ，C ； 回归直线方程经过样本中心，
把=3， =2.7，代入A 成立，代入D 不成立．
故选：A ．
12．【答案】C
【解析】解：由题意可得抛物线y 2=2px （p ＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C ．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
二、填空题
13．【答案】
43 【解析】 试题分析：由1tan tan()241tan π
ααα++==-得1tan 3α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα
+-=++ 1
34313133-
==+⨯． 考点：两角和与差的正切公式．
14．【答案】2-
【解析】结合函数的解析式可得：()3
11211f =-⨯=-， 对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2
'13121k f ==⨯-=， 则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，
圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.
15．【答案】 7 ．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，i=3
不满足条件S ≥100，S=8，i=5
不满足条件S ≥100，S=256，i=7
满足条件S ≥100，退出循环，输出i 的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S ，i 的值是解题的关键，属于基础题．
16．【答案】 3个 ．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ），∴f （x ）=f （﹣x ）；
∵f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ），f （﹣x+1）=﹣f （x ） 即f （x+2）=f （x ），f （﹣x+1）=f （x+1），周期为2，对称轴为x=1
所以①②⑤正确，
故答案为：3个
17．【答案】
212
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32
，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212
. 18．【答案】：
．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=
， ∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cos α﹣sin α=
⇒α∈（0，），从而cos2α取正值， ∴cos2α=
=， ∵α为锐角，sin （α+
）＞0，
∴sin （α+）
=
===
．
故答案为：． 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点
∴≤1⇒a 2≥1，即a ≥1或a ≤﹣1，
命题p 为真命题时，a ≥1或a ≤﹣1；
∵点（a ，1）在椭圆
内部，
∴
，
命题q 为真命题时，﹣2＜a ＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题
即p真q假，则⇒a≥2或a≤﹣2．
故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
20．【答案】
【解析】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=，
由题意可得，f（）=，f′（）=，
即=，且=，
由m∈N，则m=1，t=8；
（2）设h（x）=ax+﹣，x≥．
h（）=﹣≥0，即a≥，
h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，①
若≤x≤，设g（x）=a﹣，
g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0，
则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．②
由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0，
则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立；
当a＜时，h（）＜0，不合题意．
综上可得a≥．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．
21．【答案】
【解析】
解：如图：
（I ）A ∩B={x|1＜x ≤2}；
（II ）C U A={x|x ≤0或x ＞2}，C U B={x|﹣3≤x ≤1}
（C U A ）∩（C U B ）={x|﹣3≤x ≤0}；
（III ）A ∪B={x|x ＜﹣3或x ＞0}，C U （A ∪B ）={x|﹣3≤x ≤0}．
【点评】本题考查集合的运算问题，考查数形集合思想解题．属基本运算的考查．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C
的参数方程为（y 为参数），消去参数t 得，y 2=4x ． （Ⅱ）依题意，直线l
的参数方程为（t 为参数），
代入抛物线方程得
可得，
∴，t 1t 2=14．
∴|BC|=|t 1﹣t 2
|=
==8．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为40.，
所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯=40
所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分
15=x ，……………………2分
所以10150.,.==q p ……………………4分
⑵由题设列联表如下
……………………7分
所
以
)
)()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2
2=5656040257554020351002.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯…………9分 因为0245565..>……………………10分
所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关． ……………………12分
24．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f （x ）=4x ﹣22x +2，
f （x ）﹣1=（2x ）2﹣2•（2x ）+1=（2x ﹣1）2=0，
∴2x =1，解得：x=0；
（2）4x ﹣a •（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，
a •（2•2x ﹣1）＜4x +1，
∵2x+1＞1，
∴a ＞，
令2x =t ∈（1，2），g （t ）=，
则g ′（t ）==
=0， t=t 0，∴g （t ）在（1，t 0）递减，在（t 0，2）递增，
而g （1）=2，g （2）=，
∴a ≥2；
（3）若函数f （x ）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g （t ）=0，解得：t=
， 故a ≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．。