数学讲义：第3章 章末复习课 Word版含答案

的是( )
A ．ab >ac
B ．c (b －a )>0
C ．cb 2<ab 2
D ．ac (a －c )<0
(2)已知2<a <3，－2<b <－1，求ab ，b 2
a 的取值范围． (1)C [因为c <a ，且ac <0，所以c <0，a >0. A 成立，因为c <
b ，所以a
c <ab ，即ab >ac ． B 成立，因为b <a ，b －a <0，所以c (b －a )>0. C 不一定成立，当b ＝0时，cb 2<ab 2不成立． D 成立，因为c <a ，所以a －c >0，所以ac (a －c )<0.] (2)解：因为－2<b <－1，所以1<－b <2.
又因为2<a <3，所以2<－ab <6，所以－6<ab <－2.
因为－2<b <－1，所以1<b 2<4. 因为2<a <3，所以13<1a <12，所以13<b 2
a <2.
不等式比较大小的常用方法
(1)作差比较法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． (2)作商比较法：常用于含分数指数幂的代数式． (3)乘方转化的方法：常用于根式比较大小． (4)分子分母有理化． (5)利用中间量．
1．已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2
a 与a ＋
b 的大小．
[解] 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2
b ＋b 2a －(a ＋b )
＝a 2
b －b ＋b
2
a －a ＝a 2－
b 2b ＋b 2－a 2
a ＝(a 2
－b 2
)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b －1a ＝(a 2－b 2
)a －b ab
＝(a －b )2(a ＋b )
ab ，
因为a >0，b >0，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2
b ＋b 2a －(a ＋b )>0，
即a 2b ＋b 2
a >a ＋
b ．
立，求实数 a 的取值范围．
[思路探究] 因为(x －1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y ＝x 2＋ax ＋3－a ．
[解] 设 f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x ≤2的一切实数 x 恒有f (x )>0，只需满足：
(1)Δ＝a 2－4(3－a )<0；
(2)⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝a 2－4(3－a )≥0，
f (－2)＝7－3a >0， f (2)＝7＋a >0，－a 2
－2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝a 2－4(3－a )≥0，
f (－2)＝7－3a >0， f (2)＝7＋a >0，－a 2
＋2<0.
解(1)(2)得，当－7<a <2时，不等式x
2＋
ax ＋3－a >0对于满足－2≤x ≤2的一
切实数x 恒成立．
对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： (1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元．
(2)分离参数法
若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . (3)数形结合法
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．
2．在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a b c d ＝ad －bc ．若不等式⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1a ＋1
a －2x ≥1对任意实数 x 恒成立，则实数a 的最大值为( )
A ．－1
2 B ．－3
2 C ．1
3
D ．32
D [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122－5
4≥－54，所以－54≥a 2－a －2，
－12≤a ≤3
2.故选D ．]
【例3】 设函数 f (x )＝x ＋
a
x ＋1
，x ∈[)0，＋∞. (1)当a ＝2时，求函数 f (x ) 的最小值； (2)当0<a <1时，求函数 f (x ) 的最小值．
[思路探究] (1)将原函数变形，利用均值不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入 f (x ) ＝x ＋
a x ＋1
，
得f(x)＝x＋
2
x＋1
＝(x＋1)＋
2
x＋1
－1，
∵x∈[)
0，＋∞，
∴x＋1>0，
2
x＋1
>0，
∴x＋1＋
2
x＋1
≥22，当且仅当x＋1＝
2
x＋1
，
即x＝2－1时，f (x) 取最小值，此时f (x) min＝22－1.
(2)当0<a<1时，f (x) ＝x＋1＋
a
x＋1
－1，
若x＋1＋
a
x＋1
≥2a，
则当且仅当x＋1＝
a
x＋1
时取等号，
此时x＝a－1<0(不合题意)，
∴上式等号取不到．
f (x) 在[)
0，＋∞上单调递增，
∴f (x) min＝f (0)＝a．
均值不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．
(1)均值不等式通常用来求最值，一般用a＋b≥2ab(a>0，b>0)解“定积求和，
和最小”问题，用ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
解“定和求积，积最大”问题． (2)在实际运用中，经常涉及函数f (x )＝x ＋k
x (k >0)，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．
3．(1)若x ，y 都是正数，且满足4x ＋16
y ＝1，求x ＋y 的最小值； (2)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1
y ＝5，求x ＋y 的最大值． [解] (1)∵x ＋y ＝1·(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
4x ＋16y (x ＋y )
＝20＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4y x ＋16x y ≥20＋2
4y x ·16x
y ＝36，
当且仅当x ＝12，y ＝24时，等号成立， ∴x ＋y 的最小值为36. (2)∵xy ≤(x ＋y )2
4，x >0，y >0， ∴1xy ≥4(x ＋y )2，x ＋y xy ≥4
x ＋y ， ∴x ＋y ＋
4x ＋y
≤5.设x ＋y ＝t ，即t ＋4
t ≤5，得到t 2－5t ＋4≤0.
解得1≤t ≤4.∴x ＋y 的最大值为4.
【例4】 某人上午7时，乘摩托艇以v 海里/时(4≤v ≤20)的速度从A 港出发匀速驶到距离A 港50海里的B 港去，然后乘汽车以u 千米/时(30≤u ≤100)的速度从B 港向距离B 港300千米的C 市匀速驶去，应该在同一天下午4时至9时到
达C 市．设乘汽车、摩托艇所花费的时间分别是x ，y 小时．如果已知所需经费p ＝[100＋3(5－x )＋2(8－y )](元)，那么v ，u 分别是多少时最经济？此时需花费多少元？
[思路探究] 由题设知v ＝50y ，u ＝300x ，4≤v ≤20,30≤u ≤100.所以4≤50
y ≤20,30≤300x ≤100，所以3≤x ≤10，52≤y ≤25
2，又由于乘汽车、摩托艇所需时间的和x ＋y 应在9小时至14小时之间，也就是9≤x ＋y ≤14，由此说明x ，y 满足
⎩⎪⎨⎪⎧
3≤x ≤10，52≤y ≤252，9≤x ＋y ≤14，
所以问题就转化为一个线性规划问题．
[解]
分析题中条件可知约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
3≤x ≤10，
52≤y ≤25
2，
9≤x ＋y ≤14，
目标函数为p ＝100
＋3(5－x )＋2(8－y )，即p ＝－3x －2y ＋131.作出可行域，如图中阴影部分．
设131－p ＝k ，则k 最大时，p 最小．作一组平行直线l ：3x ＋2y ＝k ，当直线过可行域上的点A (10,4)时，k 最大，即当x ＝10，y ＝4时，p 最小，此时v ＝50
y ＝12.5，u ＝300
x ＝30，p 的最小值为p min ＝－3×10－2×4＋131＝93(元)．
故当v 为12.5海里/时，u 为30千米/时时最经济，此时需花费93元．
1．线性规划在实际中的类型主要有：
(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；
(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
2．解答线性规划应用题的步骤：
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数． (2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解． (5)答：作出答案．
4．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －1≥0，
x －y ≤0，
x ＋y －4≤0，
则y
x 的最大值为_______．
3 [画出可行域如图阴影所示，∵y
x 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y
x 最大． 由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧
x ＝1，y ＝3.
∴A (1,3)，∴y
x 的最大值为
3.]
a 的取值范围．
[思路探究] 由题意，知方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根均在区间[1,4]内，由此可知，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象与x 轴的交点在区间[1,4]内，因此可得函数的系数应满足的条件不等式，即可求解．
[解] 当M ＝∅时，满足M ⊆[1,4]，有Δ＝4a 2－4(a ＋2)＜0，所以－1＜a ＜2. 当M ≠∅时，因为M ⊆[1,4]，所以方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根x 1，x 2均在区间[1,4]
内．
因此函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2与x 轴的两交点均在区间[1,4]内，如图所示．
则有⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)≥0，
f (4)≥0，Δ≥0，
1≤2a 2
≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧
3－a ≥0，
18－7a ≥0，4a 2
－4(a ＋2)≥0，
1≤a ≤4，
即⎩⎪
⎨
⎪⎧
a ≤3，a ≤187，a ≤－1或a ≥2，1≤a ≤4，
解得2≤a ≤18
7.
综上可知，实数a
的取值范围是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪⎪⎪
－1＜a ≤18
7
.
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况．一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示其解(或解集)的几何特征．
5．若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围． [解] 法一：令2x ＝t ，则t ＞0，方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解转化为方程t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋∞)上有实数解．
令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.
①若方程t 2＋at ＋a ＋1＝0有一正一负两根，则必须只需f (0)＜0，即a ＋1＜0，a ＜－1；
②若方程t 2
＋at ＋a ＋1＝0有两个正根，则必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f (0)＞0，－a 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4a －4≥0，a ＋1＞0，
a ＜0，
解得－1＜a ≤2－22；
③若方程t 2＋at ＋a ＋1＝0有零根，则a ＝－1，方程变为t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，符合题意．
综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2－22]．
法二：令2x ＝t ＞0，原方程化为t 2＋at ＋a ＋1＝0.
所以a ＝－t 2＋11＋t ＝－(t 2－1)＋2t ＋1
＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t －1)＋2t ＋1＝－⎣
⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1－2 ≤－22＋2＝2－2 2.
当且仅当t ＋1＝
2t ＋1，即t ＝2－1时，取等号，所以实数a 的取值范围是(－
∞，2－22].
【例6】 若不等式组⎩⎨⎧x －x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围．
[思路探究] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不等
式，取交集判断．
[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.
对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解，
x 1＝－52，x 2＝－k .
(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －k <x <－52，显然－2∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52. (2) 当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.
(3)当－52<－k ，即k <52时，
不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－52<x <－k .
∴不等式组的解集由⎩⎨⎧ x <－1，
－52<x <－k
或⎩⎨⎧ x >2，
－52<x <－k 确定．
∵原不等式组整数解只有－2，
∴－2<－k ≤3，
故所求k 的范围是[－3,2)．
含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤：
(1)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．
(2)对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况并加以讨论．
(3)若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x 1，x 2表示的形如a (x －x 1)(x －x 2)的形式时，往往需要对其根分x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2三种情况进行讨论或用根与系数的关系帮助求解．
6．解关于x 的不等式a (x －1)x －2
>1(a ≠1)． [解] 原不等式可化为
a (x －1)
x －2－1>0， 即(a －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0(*)， (1)当a >1时，(*)式即为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x －a －2a －1(x －2)>0，而a －2a －1－2＝－a a －1<0，所以a －2a －1<2，此时x >2或x <a －2
a －1.
(2)当a <1时，(*)式即为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫x －a －2a －1(x －2)<0，而2－a －2a －1＝a a －1， ①若0<a <1，则a －2
a －1>2，此时2<x <a －2
a －1；
②若a ＝0，则(x －2)2<0，此时无解；
a－2 a－1<2，此时
a－2
a－1
<x<2.
③若a<0，则。