高中数学 第2章 平面向量 2.3.2 第2课时 向量平行的坐标表示学案 苏教版必修4-苏教版高二必

第2课时 向量平行的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．
知识点 向量平行的坐标表示 已知下列几组向量： (1)a ＝(0，3)，b ＝(0，6)； (2)a ＝(2，3)，b ＝(4，6)； (3)a ＝(－1，4)，b ＝(3，－12)；
(4)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－1. 思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？
答案 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a . 思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？ 答案 共线．
思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 答案 坐标不为0时成比例． 梳理 (1)向量平行的坐标表示
①条件：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ≠0.
②结论：如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . (2)若P 1P →＝λPP 2→
，则P 与P 1，P 2三点共线．
①当λ∈(0，＋∞)时，P 位于线段P 1，P 2的内部，特别地，当λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点． ②当λ∈(－∞，－1)时，P 在线段P 1P 2的延长线上． ③当λ∈(－1，0)时，P 在线段P 1P 2的反向延长线上．
1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2
y 2
.( × ) 提示 当y 1y 2＝0时不成立．
2．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1－x 2y 2＝0，则a ∥b .( × ) 3．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2－x 2y 1＝0，则a ∥b .( √ )
类型一 向量共线的判定与证明
例1 (1)下列各组向量中，共线的是________． ①a ＝(－2，3)，b ＝(4，6)； ②a ＝(2，3)，b ＝(3，2)； ③a ＝(1，－2)，b ＝(7，14)； ④a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)． 答案 ④
解析 ①中(－2)×6－3×4＝－24≠0， ∴a 与b 不平行；
②中2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a 与b 不平行； ③中1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a 与b 不平行； ④中(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a ∥b .
(2)已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →
是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 AB →
＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →
＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0， ∴AB →与CD →
共线且方向相反．
方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →
共线且方向相反．
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝
13
BC →，求证：EF →∥AB →. 证明 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．
∵AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →
＝(4，－1)， ∴AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，1.
∴(x 1，y 1)－(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， (x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1， ∴(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0. ∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8
3，－23.
∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.
类型二 利用向量平行求参数
例2 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？ 解 方法一 k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，
a －3
b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．
由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)．
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k －3＝10λ，
2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－1
3
.
方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，
a －3
b ＝(10，－4)，
∵k a ＋b 与a －3b 平行，
∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－1
3.
引申探究
1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？ 解 由例2知当k ＝－1
3时，k a ＋b 与a －3b 平行，
这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－1
3(a －3b )，
∵λ＝－1
3
<0，
∴k a ＋b 与a －3b 反向．
2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何
求k 的值？
解 a ＋k b ＝(1，2)＋k (－3，2)＝(1－3k ，2＋2k )， 3a －b ＝3(1，2)－(－3，2)＝(6，4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－1
3
.
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝
λb (b ≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解．
跟踪训练2 设向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 答案 2
解析 λa ＋b ＝λ(1，2)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)， ∵λa ＋b 与c 共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.
类型三 三点共线问题
例3 已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →
＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？
解 AB →＝OB →－OA →
＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →
＝(10－k ，k －12)， 若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →
， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11， 又AB →，AC →
有公共点A ，
∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．
反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．
跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． 证明 AB →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，
AC →
＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
∵7×4－7
2
×8＝0，
∴AB →∥AC →，且AB ，AC →
有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．
1．已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是________． 答案 －4
解析 ∵a ∥b ，∴(－1)×y －2×2＝0，∴y ＝－4.
2．与a ＝(6，8)平行的单位向量为____________________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5
，－45
解析 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2
＝1，6y －8x ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝35
，
y ＝4
5
，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
5
，
y ＝－4
5
.
3．已知三点A (1，2)，B (2，4)，C (3，m )共线，则m 的值为________． 答案 6
解析 A B →
＝(2，4)－(1，2)＝(1，2)．
A C →
＝(3，m )－(1，2)＝(2，m －2)．
∵A ，B ，C 三点共线，即向量A B →
，A C →
共线， ∴存在实数λ使得A B →＝λA C →
，
即(1，2)＝λ(2，m －2)＝(2λ，λm －2λ)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2λ＝1，λm －2λ＝2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝12，
m ＝6.
即m ＝6时，A ，B ，C 三点共线．
4．已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1，2)，(－1，1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD 是梯形．
证明 ∵A (3，－1)，B (1，2)，C (－1，1)，D (3，－5)． ∴AB →＝(－2，3)，CD →
＝(4，－6)． ∴CD →＝－2AB →，即|AB →
|＝12|CD →|，
∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ， ∴四边形ABCD 是梯形．
5．已知A (3，5)，B (6，9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →
|，求点M 的坐标． 解 设点M 的坐标为(x ，y )．由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →
. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →
＝(6－x ，9－y )． 当AM →＝3MB →
时，(x －3，y －5)＝3(6－x ，9－y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝214，
y ＝8.
当AM →＝－3MB →
时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝152，
y ＝11.
故点M 的坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭
⎪⎫152，11.
1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.
(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1
y 2
，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共
线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行． (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
一、填空题
1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案 －6
解析 因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.
2．设向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x ＝________. 答案 －2 解析 因为a
与b 方向相反，所以b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x ，1)，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
4＝mx ，
x ＝m ，解
得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.
3．已知三点A (－1，1)，B (0，2)，C (2，0)，若AB →和CD →
是相反向量，则D 点坐标是________． 答案 (1，－1)
4．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________． 答案 1
5．已知a ＝(2，1)，b ＝(x ，－2)，且a ＋b 与2a －b 平行，则x ＝________. 答案 －4
解析 因为(a ＋b )∥(2a －b )，又a ＋b ＝(2＋x ，－1)，2a －b ＝(4－x ，4)，所以(2＋x )×4－(－1)×(4－x )＝0，解得x ＝－4.
6．若三点A (－2，－2)，B (0，m )，C (n ，0)(mn ≠0)共线，则1m ＋1
n
的值为________．
答案 －1
2
解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →，因为AB →＝(2，m ＋2)，AC →
＝(n ＋2，2)，所以4－(m ＋2)(n ＋2)＝0，所以mn ＋2m ＋2n ＝0，因为mn ≠0，所以1m ＋1n ＝－1
2
.
7．已知e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ＝________. 答案 －2
解析 ∵e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，
∴a ＝2(1，0)＋(0，1)＝(2，1)，b ＝λ(1，0)－(0，1)＝(λ，－1)． 又∵a ∥b ，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.
8．已知向量OA →＝(k ，6)，OB →＝(4，5)，OC →
＝(1－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝________. 答案
17
6
解析 AB →＝OB →－OA →
＝(4－k ，－1)， BC →＝OC →－OB →
＝(－3－k ，5)． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，
即(4－k )×5＋(－3－k )＝0，
k ＝17
6
.
9．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________． 答案 (0，－2)
解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设
D (x ，y )，则有AB →＝DC →
，即(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)，
即D 点的坐标为(0，－2)．
10．已知A (－1，4)，B (x ，－2)，若C (3，3)在直线AB 上，则x ＝________. 答案 23
11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 答案 λ＝μ
12．设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →
＝(m ，3)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数m 的取值范围是________． 答案 {m |m ∈R 且m ≠6}
解析 ∵A ，B ，C 三点能构成三角形． ∴AB →，AC →
不共线． 又∵AB →＝OB →－OA →
＝(1，1)，
AC →
＝(m －2，4)，
∴1×4－1×(m －2)≠0. 解得m ≠6.
∴m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠6}． 二、解答题
13．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1，3)，B (2，－2)，C (4，－1)． (1)若AB →＝CD →
，求点D 的坐标；
(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →
，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． 解 (1)设点D 的坐标为(x ，y )．
由AB →＝CD →
，得(2，－2)－(1，3)＝(x ，y )－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4＝1，
y ＋1＝－5，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，y ＝－6.
所以点D 的坐标为(5，－6)．
(2)因为a ＝AB →
＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，
b ＝BC →
＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，
所以k a －b ＝k (1，－5)－(2，1)＝(k －2，－5k －1)，
a ＋3
b ＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．
由k a －b 与a ＋3b 平行，
得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0，解得k ＝－1
3.
三、探究与拓展
14．已知直角坐标平面内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)，使得平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋b ，则m 的取值范围是____________． 答案 {m |m ∈R 且m ≠－3}
解析 根据平面向量的基本定理知，a 与b 不共线，即2m －3－3m ≠0，解得m ≠－3. 所以m 的取值范围是{m |m ∈R 且m ≠－3}．
15．如图所示，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →
，AD 与
BC 相交于点M ，求点M 的坐标．
解 ∵OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，54，
∴C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，54.
∵OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32.
设M (x ，y )，则AM →
＝(x ，y －5)， AD →
＝⎝
⎛⎭⎪⎫2－0，32
－5＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－72.
∵AM →∥AD →
，
∴－7
2x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①
又∵CM →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，CM →∥CB →，
∴74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，
即7x －16y ＝－20.
②
联立①②，解得x ＝12
7，y ＝2，
故点M 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫127，2.。