【人教A版】2012高三数学(理)《优化方案》总复习课件第7章第7课时

考点探究·挑战高考
考点突破 双曲线的定义
在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的 条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条 双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是 哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
例1 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与 圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹 方程． 【思路分析】 利用两圆内、外切的充要条件找 出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．
2 14
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式” 和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对 称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下， 焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设 双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义 法或待定系数法确定a，b的值．
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)虚轴长为 12，离心率为5；
A. 6
B. 5
C. 6 2
D. 5 2
【思路分析】 由渐近线方程过点(4，－2)寻找a 与b的关系；
【解析】 由题意知，过点(4，－2)的渐近
线方程为
y＝－bax，
∴－2＝－ba×4，∴a＝2b.设 b＝k，
则 a＝2k，
c＝ 5k，
∴ e＝ac ＝
5k＝ 2k
5 .
2
【答案】 D
【规律方法】 要解决双曲线中有关求离心率或求 离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等
名师预测
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( )
A. 22，0 C. 26，0
答案：C
B. 25，0
D．( 3，0)
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2，
焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.x2－y2 ＝1
(2)双曲线 渐近线的 斜率与 离心率的 互化：b＝ a
e2 － 1(e＝ca)． (3)椭圆与双曲线中 a，b，c 关系的区别：椭圆中 a2＝b2＋c2，双曲线中 c2＝a2＋b2.
例3 2010 年高考课标全国卷)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它 的离心率为( )
2 则 b 等于________．
答案：1
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＝ ∴－ 双曲1. 线方程为x2－y2 ＝1 或y2－x2＝1.
9 81
94
4 (3)设与x2－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为
2 x2－y2＝k(k≠0)，将(2，－2)代入得 k＝－2， 2 ∴双曲线方程为y2 －x2 ＝ 1.
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【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪条 坐标 轴上，可 设双曲线 方程为：m x2＋ ny2＝ 1(m n ＜ 0)．
c＝5且 c2＝a2＋b2， a4
∴ b＝ 6， c＝ 10， a＝ 8，
∴双曲线方程为x2 －y2 ＝1 或y2 －x2 ＝1.
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(2)设双 曲线方程为x2 －y2＝ λ(λ≠ 0)．
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当 λ＞0 时，4λ＝a2，∴2a＝2 4λ＝6，∴λ＝9； 4
当 λ＜0 时，a2＝－9λ，∴2a＝2 －9λ＝6，∴λ
x2 B.
－y2＝
1
4 12
12 4
C. x2 －y2＝1
D.x2－y2 ＝1
10 6
6 10
答案：A
3．设双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为 2，
焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝± 2x
B．y＝±2x
C．y＝± 2x 2
答案：C
D．y＝±1x 2
4．(2010 年高考福建卷)若双曲线x42－yb22＝1 (b＞0)的渐近线方程为 y＝±1x，
2．双曲线的标准方程及其简单几何性质
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
标准方程
xa22－by22＝1(a＞0，b＞ 0)
ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
范围 x_≥___a_或__x_≤__－___a_
对称轴：x 轴、y 轴
对称性 对称中心：
性质
顶点坐 标
__坐__标__原___点_____
A1(－a,0)，A2(a,0)
___y_≥___a_或__y_≤__－__a__
对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：坐标原点
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点坐 标
(±c,0)
(0，±c)
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
真题透析
例 (2010 年高考天津卷)已知双曲线xa22－yb22＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一 个焦点与抛物线 y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的 方程为________．
【解析】 由双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)的一条
渐近线方程为 y＝
3x
得b＝ a
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【误区警示】 容易用错双曲线的定义将 点 M 的轨迹误认为是整条双曲线从而得出 方程后没有限制 x≥ 2.
互动探究 若将例1中的条件改为：动圆M与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2及圆C2：(x－4)2＋y2＝2一个 内切、一个外切，那么动圆圆心M的轨迹方程如 何？
解：由例题可知： 当圆 M 与圆 C1 外切，与圆 C2 内切时， |MC1|－|MC2|＝2 2； 当圆 M 与圆 C1 内切，与圆 C2 外切时， |MC2|－|MC1|＝2 2. ∴||MC1|－|MC2||＝2 2＜|C1C2|＝8. ∴点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点 的双曲线． ∵a＝ 2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14， 故动圆圆心 M 的轨迹方程为x2－y2 ＝1.
渐近线 性
_____y_＝__±_ba_x___
y＝±abx
质
c
离心率 e＝__a_____，e∈_(_1_，__＋__∞__)_，其中 c＝ a2＋b2
标准方程
xa22－by22＝1(a＞0，b＞ 0)
ya22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
性质
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝
【解】 设动圆 M 的半径为 r， 则由已知
|MC1|＝r＋ 2，|MC2|＝r－ 2， ∴|MC1|－|MC2|＝2 2. 又 C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴ |C1 C2 |＝ 8， ∴2 2 <|C1C2|.
根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a＝ 2，c＝4， ∴ b2＝ c2－ a2＝ 14， ∴点 M 的轨迹方程是x2－y2 ＝1(x≥ 2)．
4 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝±3x；
2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【思路分析】 利用待定系数法，双曲线定义和 双曲线系等知识求双曲线标准方程．
【解】 (1)设双曲线方程为xa22－yb22＝1 或ya22－xb22＝1(a＞0，b＞0)．由题意知 2b＝12，
失误防范
1．区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a， b，c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝ a2＋ b2. 2．双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e∈ (0, 1)． 3．在双曲线的定义中，加一条 件“常数要大于 0 且小于|F1F2|”，若将定义中“差的绝对值” 中 的“ 绝对值 ”去 掉， 点的轨 迹为 双曲线 的一
支(如例 1)．
考向瞭望·把脉高考
考情分析
从近几年的广东高考试题来看，双曲线的定义、标 准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择 题、填空题，难度为中等偏高，主要考查双曲线的 定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思 想． 预测2012年广东高考仍将以双曲线的定义及几何性 质为主要考查点，重点考查学生的运算能力、逻辑 推理能力．
关系，构造出离心率 e＝ca的关系式，这里应和椭 圆中 a，b，c 的关系区分好，即 a2＋b2＝c2，同时 还应注意 e＞1 这一隐含条件．
方法感悟
1．方与法双技曲巧线xa22－yb22 ＝ 1(a>0， b>0)有公共 渐近线的双
曲线的方程可设为xa22－ yb22＝ t(t≠ 0)． 2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时， 只 要 令双 曲 线的 标 准方 程中 的 “1”为 “0”就 得 到两 渐 近线方程，即方程 xa22－yb22＝0 就是双曲线xa22－yb22＝1(a>0，b>0)的两条渐 近线方程(如例 3)．
实虚轴
___2__a__；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的
长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫
做双曲线的半虚轴长
a、b、c 间的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
3.等轴双曲线 ______实__轴__与_等虚长轴的双曲线叫做等轴双曲线， 其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，其离心率为 e＝________，2 渐近线方程为_______y_＝__±_.x
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 “六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的 端点)、“四线”(两条对称轴、两条渐近线)、 “两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三 角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形) 来研究它们之间的相互联系，明确a、b、c、e 的几何意义及它们的相互关系，简化解题过 程．
的
焦
点
是
__F_1_、__F_2__
，
焦
距
是
_|_F_1_F_2_| .
思考感悟
当2a＝|F1F2|和2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是什么？ 若2a＝0，动点的轨迹又是什么？ 提示：当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在； 当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
第7课时 双曲线
温故夯基·面对高考
第 课 时
考点探究·挑战高考
7
双
曲
线
考向瞭望·把脉高考
温故夯基·面对高考
1．双曲线的定义
(1)平面内动F2的距离的差__的__绝__对__值__等 于常数2a.
②2a_＜__|F1F2|. (2) 上 述 双 曲 线
3，b＝
3a.∵抛物线
y2＝16x 的焦点为 F(4,0)，∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2，
∴16＝a2＋( 3a)2，∴a2＝4，b2＝12. ∴所求双曲线的方程为x2－y2 ＝1.
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【答案】 x2－y2 ＝1 4 12
【名师点评】 本题考查了双曲线的性质及标 准方程，试题难度较小，若双曲线焦点与椭圆 x2 ＋y2＝1，焦点重合，试求双曲线方程． 25 9