2023年吉林省白山市高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年吉林省白山市高考数学二模试卷
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 的实部为( )
A. 37
B. 53
C. 31
D. 45
3. 已知椭圆C：的离心率为，则C的长轴长为( )
A. B. C. D. 4
4. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 在正方体中，E，F分别为AB，的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面
6. 已知函数的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为，且图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，则
( )
A. 1
B. 2
C. 3
D.
7. 若过点且斜率为k的直线l与曲线有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A. B. C. D. 2
8. 已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为( )
A. B. C. D.
9. 将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则( )
A. “甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为对立事件
B. “甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为互斥但不对立事件
C. 甲得到A卡片的概率为
D. 甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
10. 已知正四面体ABCD，E为CD的中点，则( )
A. 直线AB与CD所成的角为
B. 直线AC与BE所成的角为
C. 直线AB与平面BCD所成角的余弦值为
D. 直线BE与平面ACD所成角的余弦值为
11. 设函数的定义域为R，且满足，，当
时，，则( )
A. 是周期为2的函数
B.
C. 的值域是
D. 方程在区间内恰有1011个实数解
12. 装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较好的平均线膨胀系数简称：膨胀系数某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻璃
的膨胀系数，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数，则下列选项正确的是( )
附：若，则，
，
A. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在的概率约为
B. 甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D. 若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍
13.
已知向量，，，若，则______ .
14. 若正实数x、y满足，则的最小值为______ .
15. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人
称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，
是的导函数，则曲线在点处的曲率若曲线
和在处的曲率分别为，，则______ .
16. 已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C内侧一点，M为C 上的一动点，的最小值为，则______ ，该抛物线C上一点非顶点处的切线l与圆M：相切，则______ .
17. 已知等差数列中，，
求的通项公式；
若为正项等比数列，，求数列的前n项和
18. 某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得
到了销量单位：百万盒与单价单位：元/盒的如下数据：
x6
y5045454035
根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；
在所有顾客中随机抽取部分顾客人数很多进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值.
参考公式：回归方程，其中，
参考数据：，
19.
如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，
，，，E为棱的中点.
证明：
设，若到平面的距离为，求
20. 在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，且
求A；
若，D，E两点分别在边BC，AB上，且，求CD的最小值. 21. 法国数学家加斯帕尔蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线C：的实轴长为6，其蒙日圆方程为求双曲线C的标准方程；
设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且于G，证明：存在定点H，使为定值.
22. 已知函数
求在上的极值；
若，，求a的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合，
，
所以
故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：，
则其实部为
故选：
结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：椭圆C的离心率为，
，解得，
故椭圆C：的长轴长为，
故选：
根据椭圆的方程，即可得出答案．
本题考查椭圆的性质，考查对应思想，考查运算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：函数的定义域为R，恒成立．①当时，有恒成立，故符合条件；
②当时，由，解得，
综上，实数m的取值范围是
故选：
由题意，恒成立，再分类讨论m是否等于零，利用二次函数的性质求得m的范围．
本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：在正方体中，E，F分别为AB，的中点，
取的中点G，连接EG，FG，EF，如图，
因为E，F分别为AB，的中点，所以，
又EG，平面，所以平面，平面，
故平面EFG平面
又平面，所以平面，A正确，
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，与平面不平行，故B错误；
，，与BD不垂直，
不垂直于平面，EF不垂直于平面，故C，D均错误．
故选：
对于A，取的中点G，连接EG，FG，EF，推导出，，从而平
面，平面，进而平面EFG平面由此得到平面；对于BCD，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法判断．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】B
【解析】解：，
故有，，，即
由题意，可得，，
又，即，，
，，，
故
故选：
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出、，可得函数的解析式，从而求出的值．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
曲线即表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
因为直线l：即与半圆相切，所以，解得
，
因为，，所以，
又直线与曲线有且只有一个交点，所以或，
所以实数k的取值范围是
故选：
根据半圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解，然后根据图象即可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为，
所以圆锥的体积，
令则，所以
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为
因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径，
所以圆锥内切球的半径
故选：
设圆锥的底面半径为r，体积求导判断单调性求出r的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径．
本题考查圆锥的体积及其内切球，考查利用导数研究函数的最值，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，
对于A，“甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为互斥而不对立事件，故A错误；
对于B，“甲得到A卡片”与“乙得到A卡片”为互斥但不对立事件，故B正确；
对于C，甲得到A卡片的概率为，故C正确；
对于D，甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为，故D正确．
故选：
利用互斥而不对立事件的定义、古典概型直接求解．
本题考查互斥而不对立事件的定义、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：如图，
连接AE，BE，因为，，，所以平面ABE，所以
，故A正确；
取AD的中点F，连接EF，BF，设正四面体ABCD的棱长为2，则，，则，所以为直线AC与直线BE所成的角，故B错误；
因为为直线AB与平面BCD所成的角，，故C正确；
因为为直线BE与平面ACD所成的角，，故D错误．
故选：
连接AE，BE，可得出，，从而根据线面垂直的判定定理可得出平面ABE，从而得出，得出A正确；取AD的中点F，连接EF，BF，设正四面体ABCD的棱长为2，可得出为直线AC与直线BE所成的角，且，得出B错误；可得出
为直线AB与平面BCD所成的角，然后可求出，得出C正确；可得出
为直线BE与平面ACD所成的角，并求出，得出D错误．
本题考查了正四面体的定义，线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，异面直线所成角的定义及求法，线面角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，因为
，所以
，
又因为，所以
，所以是奇
函数，
由，可得以4为周期，故A错误；
对于B，因为是奇函数，且定义域为R，所以，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为为奇函数，所以当时，，
因为的图象关于直线对称，所以当时，，
又因为的周期为4，所以当时，，故C错误；
对于D，画出的大致图像，如图所示：
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
因为的周期为2，且当时，与有2个交点，
所以当时，与有1011个交点，故D正确．
故选：
根据题意可得，是奇函数，且周期为4，进而可判断AB，利用导数可知当时，
，结合的对称性和周期性可判断C，方程的解的个数，即
与的交点个数，数形结合可判断
本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：由，知，，由，知，
，
选项A，因为，即A错误；
选项B，因为，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，即B正确；
选项C，因为，，
所以，
所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，即C错误；
选项D，因为，
，
所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍，即D正确．
故选：
结合正态分布的性质与参考数据，逐一分析选项，即可得解．
本题考查正态分布的性质与应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知向量，，，
则，
又，
，
即，
则，
故答案为：
结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
14.【答案】49
【解析】解：因为正实数x、y满足，
所以
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为
故答案为：
将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，则，，
，，，
，则，，
，，，
则
故答案为：
由函数和，分别求出，以及和，代入曲率公式计算，化简求值即
可．
本题以新定义为载体，主要考查了导数的求解，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意，抛物线C：的准线方程为，
设点M在准线上的投影为D，
根据抛物线的定义可知，
则，当M，P，D三点共线时有最小值，
结合图像可知的最小值即为点P到准线的距离；可得抛物线C：，焦点，
在抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线的方程为，联立抛物线方程，，
所以切线的方程为，
整理得，
又因为切线与与圆M：相切，设切点为B，
由圆M的方程可知圆心，，
则，解得舍去或，所以，
同理，点A关于x轴的对称点也符合题意，
则，
故答案为：
设点M在准线上的投影为D，根据抛物线的定义可知，当M，P，D 三点共线时有最小值，结合图像列出方程即可求出p的值；进而可得抛物线方程和焦点坐标，在
抛物线上取一点，设抛物线在点A的切线的方程为，联立抛物线
方程，利用求出斜率，得到切线方程，再根据圆心到切线方程的距离等于半径，列出等式
求得a的值，得到A点坐标，同理，点A关于x轴的对称点也符合题意，利用两点间距离公
式即可求解
本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为d，
，，
，
故；
为正项等比数列，，
所以，，
故，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
即，
故，
……，①
……，②
①-②得，
……，
故
【解析】设等差数列的公差为d，结合等差数列的性质可得，从而写出通项公式；
由推导出数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而利用错位相减法
求数列的前n项和
本题考查了等差数列及等比数列，应用了分类讨论及错位相减法，属于中档题．
18.【答案】解：根据表格数据可得，，
，根据附注公式：
，
于是，
故经验回归方程为：；
依题意，可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，
由于顾客人数很多，可近似认为服从二项分布，即，
，其中
故，，，
，，，，
，
分布列为：
012345678
P
根据二项分布的期望公式，
【解析】先求出，结合附录的数据和公式即可计算出回归直线方程；
由题可知，近似服从二项分布，根据步骤写出每个取值对应的概率，然后根据二项分布的期望公式计算即可．
本题考查经验回归方程以及离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】证明：以A为坐标原点，分别以AD，，
AB所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图
所示：
则，，，，，，所以，
，
所以，
所以，即；
解：因为，，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，令，解得
，
因为，
所以到平面的距离，
由题意可知，解得
【解析】以A为坐标原点，AD，，AB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，求出相应的点的坐标，再利用即可证得；
先求出平面的一个法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可．
本题主要考查了利用空间向量证明两直线垂直，以及求点到平面的距离，属于中档题．
20.【答案】解：因为，且，
所以，
由正弦定理可得：，
又，且，
所以，
即，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
即；
因为，
又，
所以为等边三角形，
即，
则，，
由余弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以CD的最小值为
【解析】由正弦定理可得：，即，然后结合二倍角公式求解即可；
在中，，，由余弦定理得
，所以
，然后结合基本不等式求解即可．
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．
21.【答案】解：双曲线C：的实轴长为6，，
双曲线C的蒙日圆方程为，，
的标准方程为
证明：设，
当直线l的斜率存在时，设l：，
则消去x得，
则，即，
且，
，
，
化简得，
或，且均满足
当时，直线l的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线l的方程为，过定点
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：，
联立方程组得舍去或，此时直线l过定点
，点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，为该圆半径．
故存在定点，使为定值
【解析】由已知可得a，易求b，从而可求双曲线C的标准方程；
设，联立方程组可得，利用，可得
或，可得结论．
本题考查求双曲线的方程，考查运算求解能力，考查方程思想，属中档题．
22.【答案】解：，
令，解得，
在上，单调递减；在上，单调递增；
在上的极小值为，无极大值；
构造，
则，，，
令，则，
令，则，
在上，即单调递增；在上，即单调递减；
所以在处取极大值，
，即时，，则即单调递减，
又，所以在上，单调递增；在上，单调递减；
的极大值为，所以，符合题意；
，即时，此时，
所以存在，使在区间上，，即单调递增，
又，则在区间上，，
所以在上，单调递减，，不满足条件；
综上所述，a的最小值为
【解析】对函数求导，判断出单调性，可得函数的极值；
将不等式化简，构造函数，求导并对参数分类讨论，判断出单调性和极值，求得a的最小值．
本题考查导数的应用，考查导数解决函数的极值，以及导数解决恒成立问题，考查学生思维能力和计算能力，属于中档题．。