专题01数与式问题(解析版)
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【分式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解析】（1）原式＝2 4 1
＝2 2 1
＝1；
（2）（x+y）2﹣x（x+2y）
＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy
＝y2．
【考点3】分式的求值问题
【例3】（2020•衢州）先化简，再求值： ，其中a＝3．
【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．
【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
【解析】圆圆的解答错误，
正确解法： 1
．
【变式3.2】（2020•湖州）化简： ．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解析】
．
故答案为： ．
【变式3.3.】（2019•舟山）小明解答“先化简，再求值： ，其中x 1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【分析】根据分式的减法法则进行化简，代入计算即可．
A．2B．﹣2C．±2D．
【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
【解析】∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
【变式1.2】（2020•绍兴）实数2，0，﹣2， 中，为负数的是（ ）
A．2B．0C．﹣2D．
【分析】根据负数定义可得答案．
【解析】法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy ，
则P ．
法二：由题可得 ，
解之得： ，
∴P＝xy ，
故答案为： ．
【变式2.3】（2020•绍兴）（1）计算： 4cos45°+（﹣1）2020．
（2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）．
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（浙江专版）
专题01数与式问题
【考点1】实数的有关概念
【例1】（2020•台州）无理数 在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】由 可以得到答案．
【解析】∵3 4，
∴无理数 在3和4之间．
故选：B．
【变式1.1】（2020•湖州）数4的算术平方根是（ ）
【解析】步骤①②有误，
原式
，
当x 1时，原式 ．
【考点4】二次根式与实数的计算
【例4】（2020·湖州）计算： | 1|．
【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可．
【解析】原式＝2 1＝3 1．
【变式4.1】（2020•台州）计算：|﹣3| ．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由分析可得an ．
故答案为： ．
【变式5-2】（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2aB．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣aD．2a2+a
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．
【解析】原式 •（a﹣1）
，
当a＝3时，原式 ．
【变式3.1】（2019•杭州）化简： 1
圆圆的解答如下：
1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．
【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．
【解析】实数2，0，﹣2， 中，为负数的是﹣2，
故选：C．
【考点2】整式的求值问题
【例2】（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2B．﹣1﹣y2C．1﹣y2D．﹣1+y2
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解析】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
【变式2.1】（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为x2﹣1．
【解析】原式＝3+2
＝3 ．
【变式4.2】（2020•金华）计算：（﹣2020）0 tan45°+|﹣3|．
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
【解析】原式＝1+2﹣1+3＝5．
【考点5】数字的变化规律
【例5】（2020•云南）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）n﹣1aB．（﹣2）naC．2n﹣1aD．2na
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．
【解答】解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，
﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，
4a＝（﹣2）3﹣1a，
﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，
16a＝（﹣2）5﹣1a，
﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，
…
由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．
故选：A．
【变式5-1】（2020•滨州）观察下列各式：a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，…，根据其中的规律可得an＝ （用含n的式子表示）．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【解析】根据题意得：
（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【变式2.2】（2020•杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解析】（1）原式＝2 4 1
＝2 2 1
＝1；
（2）（x+y）2﹣x（x+2y）
＝x2+2xy+y2﹣x2﹣2xy
＝y2．
【考点3】分式的求值问题
【例3】（2020•衢州）先化简，再求值： ，其中a＝3．
【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．
【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
【解析】圆圆的解答错误，
正确解法： 1
．
【变式3.2】（2020•湖州）化简： ．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解析】
．
故答案为： ．
【变式3.3.】（2019•舟山）小明解答“先化简，再求值： ，其中x 1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【分析】根据分式的减法法则进行化简，代入计算即可．
A．2B．﹣2C．±2D．
【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 ．
【解析】∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
【变式1.2】（2020•绍兴）实数2，0，﹣2， 中，为负数的是（ ）
A．2B．0C．﹣2D．
【分析】根据负数定义可得答案．
【解析】法一：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
两式相减得4xy＝﹣3，
解得xy ，
则P ．
法二：由题可得 ，
解之得： ，
∴P＝xy ，
故答案为： ．
【变式2.3】（2020•绍兴）（1）计算： 4cos45°+（﹣1）2020．
（2）化简：（x+y）2﹣x（x+2y）．
决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（浙江专版）
专题01数与式问题
【考点1】实数的有关概念
【例1】（2020•台州）无理数 在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】由 可以得到答案．
【解析】∵3 4，
∴无理数 在3和4之间．
故选：B．
【变式1.1】（2020•湖州）数4的算术平方根是（ ）
【解析】步骤①②有误，
原式
，
当x 1时，原式 ．
【考点4】二次根式与实数的计算
【例4】（2020·湖州）计算： | 1|．
【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可．
【解析】原式＝2 1＝3 1．
【变式4.1】（2020•台州）计算：|﹣3| ．
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由分析可得an ．
故答案为： ．
【变式5-2】（2019•武汉）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（ ）
A．2a2﹣2aB．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣aD．2a2+a
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
…
∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，
∴250+251+252+…+299+2100
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．
【解析】原式 •（a﹣1）
，
当a＝3时，原式 ．
【变式3.1】（2019•杭州）化简： 1
圆圆的解答如下：
1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．
【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．
【解析】实数2，0，﹣2， 中，为负数的是﹣2，
故选：C．
【考点2】整式的求值问题
【例2】（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（ ）
A．1+y2B．﹣1﹣y2C．1﹣y2D．﹣1+y2
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解析】（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
【变式2.1】（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为x2﹣1．
【解析】原式＝3+2
＝3 ．
【变式4.2】（2020•金华）计算：（﹣2020）0 tan45°+|﹣3|．
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．
【解析】原式＝1+2﹣1+3＝5．
【考点5】数字的变化规律
【例5】（2020•云南）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）n﹣1aB．（﹣2）naC．2n﹣1aD．2na
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．
【解答】解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，
﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，
4a＝（﹣2）3﹣1a，
﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，
16a＝（﹣2）5﹣1a，
﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，
…
由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．
故选：A．
【变式5-1】（2020•滨州）观察下列各式：a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5 ，…，根据其中的规律可得an＝ （用含n的式子表示）．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【解析】根据题意得：
（x﹣1）※x＝（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【变式2.2】（2020•杭州）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ．
【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解．