高考数学选考内容45不等式选讲2不等式的证明高三45数学
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选修 4—5 (xuǎnxiū)
不等式选讲
第一页，共四十一页。
第二节 不等式的证明(zhèngmíng)
第二页，共四十一页。
最新考纲
考情分析
1.本节是高考中的重点考查内
了解证明不等式的基本方 法：比较法、综合法、分析 法.
容，涉及证明不等式的多种方 法(比较法、综合法、分析法)． 2．命题形式多种多样，一般在 解答题中与函数、数列及三角
又a，b，c均为正整数，所以a＋b＋c≥3成立．
第二十九页，共四十一页。
(2)因为a，b为正实数，a＋b＝1， 所以a2＋2ab＋b2＝1， 所以a12－1b12－1 ＝a2＋2aa2b＋b2－1a2＋2ba2b＋b2－1 ＝2ab＋ba222ba＋ab22＝5＋2ba＋2ab ≥5＋2 2ba×2ab＝9. 当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝12时，“＝”成立．
1，x>1， 所以f(x)max＝1. 所以|m－1|≤1，解得0≤m≤2， 所以实数m的取值范围为[0,2]．
第三十四页，共四十一页。
(2)由(1)知，M＝2，所以x2＋y2＝2， 因为x>0，y>0，所以要证x＋y≥2xy，只需证 (x＋y)2≥4x2y2，即证2(xy)2－xy－1≤0， 即证(2xy＋1)(xy－1)≤0， 因为2xy＋1>0，所以只需证xy≤1. 因为2xy≤x2＋y2＝2， 所以xy≤1成立所以x＋y≥2xy.
所以bac＋abc≥2 bac·abc＝2c. 同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b. 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中至少有一
个等号不成立，三式相加，得2 bac＋abc＋acb >2(a＋b＋c)，即 bac＋abc＋acb>a＋b＋c.
第十三页，共四十一页。
(4)已知x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1. ①求1x＋1y＋1z的最小值； ②求证：x2＋y2＋z2≥114.
立．
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21 ＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22，当且仅当x1y2＝x2y1时，等号成立．
第九页，共四十一页。
2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a
2 1
＋a
等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何
平均．
3．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么
a＋b＋c 3
≥
3
abc
，当且仅当
a＝b＝c时，等号成立．
第六页，共四十一页。
知识点二 证明不等式的常见方法
1．比较法
(1)作差法的依据是：a－b>0⇔ a>b . (2)作商法：若B>0，欲证A≥B，只需证
已知a，b，c均为正实数． (1)若ab＋bc＋ca＝3，求证：a＋b＋c≥3. (2)若a＋b＝1，求证：a12－1b12－1≥9.
第二十八页，共四十一页。
证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca三式 相加可得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥(ab＋bc＋ca) ＋2(ab＋bc＋ca)＝3(ab＋bc＋ca)＝9，
第三十页，共四十一页。
考点三 分析法证明不等式
【例3】 已知m>0，a，b∈R，用分析法证明： a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2.
【证明】 因为m>0，所以1＋m>0， 要证：a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2. 即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0，显然成立， 故a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2.
第二十四页，共四十一页。
考点二 综合法证明不等式 【例2】 (2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证 明： (1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
【证明】 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋ a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ ab＋abbcc＋ca＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
第三十五页，共四十一页。
考点四 柯西不等式的应用
【例4】 已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1， m2＋n2＋p2＝1.
(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1； (2)若abc≠0，证明：ma24＋bn24＋pc24≥1.
【证明】 (1)方法1：∵(am＋bn＋cp)2≤(a2＋b2＋c2)(m2 ＋n2＋p2)＝1，∴|am＋bn＋cp|≤1.
方法技巧 综合法证明不等式的方法 1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等 式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知 不等式，这是证明的关键. 2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式 是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.
第二十七页，共四十一页。
第二十三页，共四十一页。
(2)证明：由题知，(ab＋1)2－(a＋b)2＝a2b2＋2ab＋1－(a2＋ b2＋2ab)＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)，
由a，b∈M，得|a|<1，|b|<1，∴a2－1<0，b2－1<0， ∴(a2－1)(b2－1)>0，∴(ab＋1)2>(a＋b)2， ∴|ab＋1|>|a＋b|.
(2)2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a ＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a ＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.
第十六页，共四十一页。
第二十五页，共四十一页。
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3 ≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
第二十六页，共四十一页。
第三十一页，共四十一页。
方法技巧 分析法证明不等式应注意的问题 1注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论. 2注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，最后得到的充分条件是已知或已证的不等式. 3注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证 明”“即证明”等词语.
(2)证明：由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋ z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥114，
当且仅当x＝2y＝3z， 即x＝114，y＝17，z＝134时取等号， 故x2＋y2＋z2≥114.
第十五页，共四十一页。
解析：(1)根据条件和分析法的定义可知选项B最合理．故选 B.
(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不
为0”．( × ) (3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( √ ) (4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.( √ )
第十一页，共四十一页。
2．小题热身
(1)要证明 29 ＋ 31 >2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最合
第十九页，共四十一页。
(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，
∴x[f(x)]2－x2f(x) ＝x(x－1)2－x2(x－1)
＝－x2＋x＝－x－122＋14.
∵函数g(x)
在(－∞，0]上是增函数，∴
g(x)≤g(0)＝0，即x[f(x)]2≤x2f(x)．
第二十页，共四十一页。
函数等问题综合考查.
第三页，共四十一页。
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律 课时作业
第四页，共四十一页。
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
第五页，共四十一页。
知识点一 基本不等式
1．定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b
时，等号成立．
2．定理2：如果a，b>0，那么a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，
解：(1)
1 x
＋
1 y
＋
1 z
＝
1 x
＋
1 y
＋
1 z
(x＋2y＋3z)≥
1 x·
x＋
1 y·
2y＋
1 z·
3z2
＝(1＋ 2＋ 3)2＝6＋2 2＋2 3＋2 6，
当且仅当2xy＝yx且3xz＝xz且3yz＝2zy时取等号，故1x＋1y＋1z 的 最小值为6＋2 2＋2 3＋2 6.
第十四页，共四十一页。
第八页，共四十一页。
知识点三 柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a
2 1
＋
a22)(b21＋b22)≥
(a1b1＋a2b2)2
(当且仅当a1b2＝a2b1时，等号
成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则
|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成
理的是( B )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
(2)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关
系为 M≥N .
第十二页，共四十一页。
(3)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c不全相等，求证：
bac＋abc＋
ab c
>a＋b＋c.
证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，
第二十二页，共四十一页。
解：(1)∵f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|， ∴当x<－13时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x， 由－6x<6，解得x>－1，∴－1<x<－13； 当－ 13 ≤x≤ 13 时，f(x)＝3x＋1－3x＋1＝2,2<6恒成立，∴－ 13 ≤x≤13； 当x> 13 时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，由6x<6，解得x<1，∴ 13 <x<1. 综上，f(x)<6的解集M＝{x|－1<x<1}．
AB≥1
.
第七页，共四十一页。
2．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立． (2)分析法：从 要证的结论 出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明 的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
方法技巧 要证明或比较两个表达式的大小，通常可采用作差比较法. 知道a>b⇔a－b>0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可.
第二十一页，共四十一页。
已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集． (1)求集合M； (2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|.
第三十二页，共四十一页。
已知函数f(x)＝|x|－|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|的解集非空，求实数m的取值范围． (2)若两正数x，y满足x2＋y2＝M，M为(1)中可取到的最大 值，求证：x＋y≥2xy.
第三十三页，共四十一页。
－1，x<0， 解：(1)去绝对值符号可得f(x)＝2x－1，0≤x≤1，
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
第十七页，共四十一页。
考点一 比较法证明不等式 【例1】 设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M. (1)求M； (2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2≤x2f(x)．
第十八页，共四十一页。
【解】 (1)由已知，得f(x)＝x3－x－1， 5，x≤x>22，， 当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1， 解得x≤0，此时x≤0； 当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤43，显然不成立． 故f(x)≤－1的解集M＝{x|x≤0}．
2 2
＋…＋a
2n )(b 21
＋b
2 2
＋…＋b
2 n
)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i
＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号
成立．
第十页，共四十一页。
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，a＋2 b≥ ab.( √ )
不等式选讲
第一页，共四十一页。
第二节 不等式的证明(zhèngmíng)
第二页，共四十一页。
最新考纲
考情分析
1.本节是高考中的重点考查内
了解证明不等式的基本方 法：比较法、综合法、分析 法.
容，涉及证明不等式的多种方 法(比较法、综合法、分析法)． 2．命题形式多种多样，一般在 解答题中与函数、数列及三角
又a，b，c均为正整数，所以a＋b＋c≥3成立．
第二十九页，共四十一页。
(2)因为a，b为正实数，a＋b＝1， 所以a2＋2ab＋b2＝1， 所以a12－1b12－1 ＝a2＋2aa2b＋b2－1a2＋2ba2b＋b2－1 ＝2ab＋ba222ba＋ab22＝5＋2ba＋2ab ≥5＋2 2ba×2ab＝9. 当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝12时，“＝”成立．
1，x>1， 所以f(x)max＝1. 所以|m－1|≤1，解得0≤m≤2， 所以实数m的取值范围为[0,2]．
第三十四页，共四十一页。
(2)由(1)知，M＝2，所以x2＋y2＝2， 因为x>0，y>0，所以要证x＋y≥2xy，只需证 (x＋y)2≥4x2y2，即证2(xy)2－xy－1≤0， 即证(2xy＋1)(xy－1)≤0， 因为2xy＋1>0，所以只需证xy≤1. 因为2xy≤x2＋y2＝2， 所以xy≤1成立所以x＋y≥2xy.
所以bac＋abc≥2 bac·abc＝2c. 同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b. 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中至少有一
个等号不成立，三式相加，得2 bac＋abc＋acb >2(a＋b＋c)，即 bac＋abc＋acb>a＋b＋c.
第十三页，共四十一页。
(4)已知x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1. ①求1x＋1y＋1z的最小值； ②求证：x2＋y2＋z2≥114.
立．
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么 x21＋y21 ＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22，当且仅当x1y2＝x2y1时，等号成立．
第九页，共四十一页。
2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a
2 1
＋a
等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何
平均．
3．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么
a＋b＋c 3
≥
3
abc
，当且仅当
a＝b＝c时，等号成立．
第六页，共四十一页。
知识点二 证明不等式的常见方法
1．比较法
(1)作差法的依据是：a－b>0⇔ a>b . (2)作商法：若B>0，欲证A≥B，只需证
已知a，b，c均为正实数． (1)若ab＋bc＋ca＝3，求证：a＋b＋c≥3. (2)若a＋b＝1，求证：a12－1b12－1≥9.
第二十八页，共四十一页。
证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca三式 相加可得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥(ab＋bc＋ca) ＋2(ab＋bc＋ca)＝3(ab＋bc＋ca)＝9，
第三十页，共四十一页。
考点三 分析法证明不等式
【例3】 已知m>0，a，b∈R，用分析法证明： a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2.
【证明】 因为m>0，所以1＋m>0， 要证：a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2. 即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0，显然成立， 故a1＋＋mmb2≤a21＋＋mmb2.
第二十四页，共四十一页。
考点二 综合法证明不等式 【例2】 (2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证 明： (1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
【证明】 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋ a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ ab＋abbcc＋ca＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
第三十五页，共四十一页。
考点四 柯西不等式的应用
【例4】 已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1， m2＋n2＋p2＝1.
(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1； (2)若abc≠0，证明：ma24＋bn24＋pc24≥1.
【证明】 (1)方法1：∵(am＋bn＋cp)2≤(a2＋b2＋c2)(m2 ＋n2＋p2)＝1，∴|am＋bn＋cp|≤1.
方法技巧 综合法证明不等式的方法 1综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等 式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知 不等式，这是证明的关键. 2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式 是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.
第二十七页，共四十一页。
第二十三页，共四十一页。
(2)证明：由题知，(ab＋1)2－(a＋b)2＝a2b2＋2ab＋1－(a2＋ b2＋2ab)＝a2b2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)，
由a，b∈M，得|a|<1，|b|<1，∴a2－1<0，b2－1<0， ∴(a2－1)(b2－1)>0，∴(ab＋1)2>(a＋b)2， ∴|ab＋1|>|a＋b|.
(2)2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a ＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a ＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.
第十六页，共四十一页。
第二十五页，共四十一页。
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3 ≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
第二十六页，共四十一页。
第三十一页，共四十一页。
方法技巧 分析法证明不等式应注意的问题 1注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论. 2注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，最后得到的充分条件是已知或已证的不等式. 3注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证 明”“即证明”等词语.
(2)证明：由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋ z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥114，
当且仅当x＝2y＝3z， 即x＝114，y＝17，z＝134时取等号， 故x2＋y2＋z2≥114.
第十五页，共四十一页。
解析：(1)根据条件和分析法的定义可知选项B最合理．故选 B.
(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不
为0”．( × ) (3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( √ ) (4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.( √ )
第十一页，共四十一页。
2．小题热身
(1)要证明 29 ＋ 31 >2 5 ，可选择的方法有以下几种，其中最合
第十九页，共四十一页。
(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，
∴x[f(x)]2－x2f(x) ＝x(x－1)2－x2(x－1)
＝－x2＋x＝－x－122＋14.
∵函数g(x)
在(－∞，0]上是增函数，∴
g(x)≤g(0)＝0，即x[f(x)]2≤x2f(x)．
第二十页，共四十一页。
函数等问题综合考查.
第三页，共四十一页。
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律 课时作业
第四页，共四十一页。
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
第五页，共四十一页。
知识点一 基本不等式
1．定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥ 2ab ，当且仅当a＝b
时，等号成立．
2．定理2：如果a，b>0，那么a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，
解：(1)
1 x
＋
1 y
＋
1 z
＝
1 x
＋
1 y
＋
1 z
(x＋2y＋3z)≥
1 x·
x＋
1 y·
2y＋
1 z·
3z2
＝(1＋ 2＋ 3)2＝6＋2 2＋2 3＋2 6，
当且仅当2xy＝yx且3xz＝xz且3yz＝2zy时取等号，故1x＋1y＋1z 的 最小值为6＋2 2＋2 3＋2 6.
第十四页，共四十一页。
第八页，共四十一页。
知识点三 柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a
2 1
＋
a22)(b21＋b22)≥
(a1b1＋a2b2)2
(当且仅当a1b2＝a2b1时，等号
成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则
|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量或存在实数k，使α＝kβ时，等号成
理的是( B )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
(2)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关
系为 M≥N .
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(3)已知a>0，b>0，c>0，且a，b，c不全相等，求证：
bac＋abc＋
ab c
>a＋b＋c.
证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，
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解：(1)∵f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|， ∴当x<－13时，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x， 由－6x<6，解得x>－1，∴－1<x<－13； 当－ 13 ≤x≤ 13 时，f(x)＝3x＋1－3x＋1＝2,2<6恒成立，∴－ 13 ≤x≤13； 当x> 13 时，f(x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，由6x<6，解得x<1，∴ 13 <x<1. 综上，f(x)<6的解集M＝{x|－1<x<1}．
AB≥1
.
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2．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立． (2)分析法：从 要证的结论 出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明 的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
方法技巧 要证明或比较两个表达式的大小，通常可采用作差比较法. 知道a>b⇔a－b>0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可.
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已知函数f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M为不等式f(x)<6的解集． (1)求集合M； (2)若a，b∈M，求证：|ab＋1|>|a＋b|.
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已知函数f(x)＝|x|－|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|的解集非空，求实数m的取值范围． (2)若两正数x，y满足x2＋y2＝M，M为(1)中可取到的最大 值，求证：x＋y≥2xy.
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－1，x<0， 解：(1)去绝对值符号可得f(x)＝2x－1，0≤x≤1，
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
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考点一 比较法证明不等式 【例1】 设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M. (1)求M； (2)当x∈M时，证明：x[f(x)]2≤x2f(x)．
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【解】 (1)由已知，得f(x)＝x3－x－1， 5，x≤x>22，， 当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1， 解得x≤0，此时x≤0； 当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤43，显然不成立． 故f(x)≤－1的解集M＝{x|x≤0}．
2 2
＋…＋a
2n )(b 21
＋b
2 2
＋…＋b
2 n
)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i
＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号
成立．
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1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，a＋2 b≥ ab.( √ )