【全国校级联考】山西省临汾一中、忻州一中、长治二中2016-2017学年高二上学期第一次联考理数

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}
062>--=x x x A ，则下列属于集合A 的元素是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，{}
23A x x x =<>或，则3A -∈,故选C ． 考点：集合的性质.
2.已知直线53)2(:1=++y x a l 与直线62)1(:2=+-y x a l 平行，则直线1l 在x 轴上的截距为（ ） A ．1- B ．9
5
C ．1
D ．2 【答案】B
考点：直线与直线平行的判定.
3.样本容量为100的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在]18,14[内的频数为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】D 【解析】
试题分析：由已知得,在[14,18]内的频数为1100[14(0.020.080.09)]122
⨯-++=,故选D ． 考点：样本容量. 4.函数2log )(3
1+=
x x f 的定义域是（ ）
A ．]9,0(
B ．]91,0(
C ．),9
1[+∞ D ．
),9(+∞ 【答案】D
考点：1.对数的性质；2.根式的性质.
5.已知向量b
a ,32，与的夹角的余弦值为3
17sin
π
，则)2(b a b -⋅等于（ ） A.2 B.1- C.6- D.18- 【答案】D 【解析】
试题分析：∵a 与b
的夹角的余弦值为17sin 3π=，∴3-=⋅,则(2)18b a b ⋅-=- ，故选D ． 考点：1.平面向量数量积的运算；2.数量积的几何意义.
6.如果实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥-+,032,02,
042y x y x y x 则y x -2的最小值为（ ）
A ．2-
B ．35-
C ．3
1
- D ．1 【答案】A 【解析】
试题分析:由题意可画出可行域如图所示，由图象可得，当过点)2,0(A 时，2x y -取最小值2-.
考点：线性归划.
7.如图是一个程序框图，则输出的n 的值是（ ）
A ．
3 B ．5 C ．7 D ．9
【答案】D
考点：程序框图.
8.已知直线⊥l 平面α，直线∥m 平面β，则下列命题正确的是（ ） A ．若βα⊥，则m l ∥ B ．若m l ⊥，则βα∥ C ．若β∥l ，则α⊥m D ．若βα∥，则 m l ⊥ 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得，A 中l 与m 位置不确定，故A 错误，B 中α与β可能相交，故B 错误,C 中m 与α的位置不确定，故C 错误,因此D 正确，故选D ．
考点：1.线面平行判定及性质；2.线面垂直判定及性质；3.面面平行判定及性质；4.面面垂直判定及性质. 9.函数x
e x y )1(2
-=的图象大致是（ ）
【答案】C
考点：偶函数图象的性质.
10.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）
A ．4
B ．24
C ．34
D ．8
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，其面积
1
22
S =⨯⨯=.故选B.
考点：三视图求体积，表面积.
【方法点睛】本题主要考查的是空间几何体的三视图和结构特征，多面体的面积计算，是属于中档题，解决此类题目最主要方法就能根据三视图画出立体图形，再根据立体图形求几何体的表面积或者体积，此题目要求面积最小的面的面积，切不只看立体图形，而应该要求一下实际面积再比较大小，否则容易受立体几何体的直观图所蒙蔽导致出错，根据三视图正确画出立体图形的直观图是解决此类题目关键.
11.一条光线从点)0,4(-A 射入，与直线3=y 相交于点)3,1(-B ，经直线3=y 反射后过点)1,(-m C ， 直线l 过点C 且分别与x 轴和y 轴的正半轴交于Q P ,两点，O 为坐标原点，则当OPQ ∆的面积最小时直 线l 的方程为（ ） A ．
144=-y x B ．162=-y x C ． 126=-y x D ．14
312=-y x 【答案】B 【解析】
考点：1.直线与直线的综合问题；2.基本不等式的应用.
【方法点睛】本题主要考查的是直线与直线的综合问题,基本不等式的应用，属于中档题，通过已知条件画出草图，可发现直线AB 的反射直线所在直线方程，从而可求出点C 的坐标，设截距式可得到OPQ ∆的面积表达式，利用基本不等式可求出最值，进而求出直线l 的截距，可得出直线l 的方程，因此正确的求出
OPQ ∆的面积表达式，利用基本不等式可求出最值是解此类题目的关键.
12.如图，已知多面体DEFG ABC -中，AD AC AB ,,两两垂直，平面∥ABC 平面DEFG ，平 面∥BEF 平面ADGC ，1,2=====EF AC DG AD AB ，则下列说法中正确的个数为（ ） ①⊥EF 平面AE ；②∥AE 平面CF ；③在棱CG 上存在点M ，使得FM 与平面DEFG 所成的角为4
π
；
④多面体DEFG ABC -的体积为5.
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C 【解析】
考点：1.线面平行；2.面面平行；3.线面垂直；4.线面垂直.
【方法点睛】本题主要考查的是线面平行,面面平行,线面垂直,线面垂直的判定及性质，直线与平面所成角的定义及求法，考查了多面体体积的计算及学生的空间想象能力，综合性强，属于难题，正确的掌握线面平行,面面平行,线面垂直,线面垂直的判定及性质定理，直线与平面所成角的定义及求法等相关知识解决此类并非难事，说法类问题逐个分析，慢慢推导即可求解.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.已知直线023)sin 6(=-+y x θ的倾斜角为)0(≠θθ，则=θ_____. 【答案】
34
π
（或145 ） 【解析】
试题分析：由题意得，tan ,0,cos θθθθ=≠∴= θ=34
π（或145 ）. 考点：斜率的几何意义.
14.设0>a ，函数⎪⎩
⎪⎨
⎧≥
+<-+=31
,log 31,)(2)(32
x x ax x a x x f 的最小值为1，则=a _____. 【答案】6 【解析】
试题分析：由题意得，∵22()1x a +->，且当13x ≥时，函数()f x 是增函数，∴1()1133
a
f =-=，得6a =. 考点：1.分段函数；2.函数的单调性.
15.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若C a A a B b sin 2
3
sin sin =-，且ABC ∆的 面积为B a sin 2，则=B cos ______. 【答案】
4
1 【解析】
考点：1.正弦定理的应用；2.余弦定理的应用.
【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理,余弦定理的灵活运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于本题而言，通过对ABC ∆的面积为2sin a B 进行处理发现2c a =，从而3
sin sin sin 2
b B a A a C -=
利用正弦定理即可得到三边的平方关系，从而发现可运用余弦定理进行求解，通过上述分析过程我们发现此类问题条件较多时，无法正确判断用正弦定理还是余弦定理时，我们是要将最简单的条件进行推导，可得到相关结论再结合其它条件进行求解便可求解，耐心细致的推导是解决问题的关键.
16.已知在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2==AB PA ，在 该四棱锥内部或表面任取一点O ，则三棱锥PAB O -的体积不小于3
2
的概率为______. 【答案】
16
5 【解析】
考点：1.线面垂直的性质；2.锥体体积；3.几何概型.
【方法点睛】本题主要考查的是线面垂直的性质,锥体体积,几何概型，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于本题而言，主要考查的是利用几何概型求概率，很显然是要求出ABCD P V -的体积，然后求出三棱锥O PAB -的体积不小于
2
3
时，CDEFGH V 的面积，两个值相除，即可得到概率值，因此此类问题主要分析清楚问题要求的具体量是什么，多理解题意是解决此类问题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知直角ABC ∆的顶点A 的坐标为)0,2(-，直角顶点B 的坐标为)3,1(，顶点C 在x 轴上. （1）求边BC 所在直线的方程；
（2）求直角ABC ∆的斜边中线所在的直线的方程. 【答案】(1)0323=-+y x ；(2)x y 3=. 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，因为ABC ∆为直角三角形，故1AB BC k k ⋅=-，即求出AB k 即可求出BC k ，从而可求出边BC 所在直线的方程；（2）由直线BC 所在直线的方程可求出点C 的坐标，故可求出斜边AC 的中点坐标，从而可求出斜边中线所在的直线的方程.
考点：1.点斜式求直线方程；2.两点式求直线方程. 18.（本小题满分12分）
为了参加市高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队， 代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：
（1）现采取分层抽样的方法从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；
（2）该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军.若要从高三年级抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言， 求选出的两名队员来自同一班的概率. 【答案】(1)4，2，3，3；(2)15
7
=P . 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，先求出每个个体被抽到的概率，再用各个班的篮球队员个数乘以此概率，即得分别从这四个班抽出的队员人数；（2）可用列举法将所有可能情况列举出来，再求所要求的概率.
试题解析：（1）由题知，应从高三（7）班中抽出
4361212=⨯
人，
应从高三（17）班中抽出
236612=⨯
人，应从高二（31）班中抽出336912=⨯人， 应从高二（32）班中抽出
336912=⨯
人.
考点：1.分层抽样；2.列举法求基本事件数求概率. 19.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，F E ,分别为线段BD DD ,1 的中点.
（1）求证：∥EF 平面11D ABC ；
（2）四棱柱1111D C B A ABCD -的外接球的表面积为π16，求异面直线EF 与BC 所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)︒60. 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，要证明EF ∥平面11ABC D ，则可证明1EF D B ∥；（2）通过外接球的表面积为16π可求出四棱柱的高，再通过平移找出异面直线EF 与BC 所成的平面角，从而求解. 试题解析：（1）连接1BD ，在B DD 1∆中，F E ,分别为线段BD DD ,1的中点，∴EF 为中位线，
∴B D EF 1∥，而⊂B D 1面11D ABC ，⊄EF 面11D ABC ，∴∥EF 平面11D ABC .
考点：1.直线与平面平行的判定；2.异面直线所成的夹角.
20.（本小题满分12分） 已知向量R m m x x ∈=-=),,(cos ),1,sin 3(.
（1）若3
10tan π=m ，且b a ∥，求x x 2sin cos 2-的值； （2）将函数12)(2)(2--⋅+=m x f 的图象向右平移
6π个单位得到的函数)(x g 的图象.若函数)(x g 在]2,0[π
上有零点，求m 的取值范围.
【答案】(1)
23；(2)]1,21[-. 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，利用诱导公式可求出m ，利用平面向量共线的坐标表示可求x tan ，利用同角三角函数基本关系式即可化简求值；（2）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数
)(x f 的解析式，利用函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换可求)(x g ，根据x 的范围，可求)62sin(2π
-x 的范围，令0)(=x g 即可解得m 的取值范围.
考点：1.平面向量数量积的运算；2.同角三角函数基本关系的运用.
21.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，)(12,111*+∈+==N n S a a n n ，等差数列{}n b 中，)(0*∈>N n b n ，且 15321=++b b b ，又332211,,b a b a b a +++成等比数列.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T .
【答案】(1)
23；(2)]1,2
1[-. 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，利用恒等式121+=+n n S a 构造出121+=-n n S a 两者作差得出n n a a 31=+，从
而可求出数列{}n a的通项公式，数列{}n b的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前n项和进行处理进而求解.
考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.
【方法点睛】本题主要考查的是等差数列的综合,等比数列的综合,错位相减法求数列前n项和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，对于数列中给出的递推关系式求数列的通项公式，我们要熟练掌握常见的九种递推关系式求数列的通项公式的方法，只有求出了通项公式后面才能求数列前n项和，另一方面凡是遇到等差数列和等比数列相乘做为一个数列，求这个数列的前n项和，只有一个方法，错位相减的方法求解，因此正确求出数列的通项公式是解此类题目的关键.
22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中， ⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PC BC =，E 是PA 的中点.
（1）求证：平面⊥PBM 平面CDE ；
（2）已知点M 是AD 的中点，点N 是AC 上一点，且平面∥PDN 平面BEM .若42==AB BC ，求 点N 到平面CDE 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
3
22. 【解析】
∵C CF CD PB CF PC BC =⊥∴= ,,，∴⊥PB 平面CDE .
而⊂PB 平面PBM ，∴平面⊥PBM 平面CDE .
考点：1.线面垂直的判定及性质；2.面面垂直的判定及性质；3.等体积法的运用.
【方法点睛】本题主要考查的是线面垂直的判定及性质,面面垂直的判定及性质,等体积法的运用,属于中档题，对于空间立体几何中证明题，我们常见的思想就是倒推法，将结论当已知，反推看需要求证什么进而可找出中间衔接的结论，另一方面，对于空间几何中的等腰三角形，常见的做法就是利用三线合一的性质去求解，因此看到了等腰三角形我们往往需要添加中线，对于比较难以求解的点到平面的距离，往往需要利用等体积法转化掉，需要一定的分析能力，因此做此类题目要善于总结.
：。