高考数学一轮复习 第二章 第6讲 对数与对数函数配套限时规范训练 理 苏教版

第6讲 对数与对数函数
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．(2012·河北质检)已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析 由3x －a >0，得x >a 3.由题意，得a 3＝2
3
，所以a ＝2.
答案 2
2．(2013·南京鼓楼区调研)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x
，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.
解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ f (－2)＝3－2＝1
9
.
答案 1
9
3．(2011·北京海淀区期末)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2
，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为
________．
解析 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭
⎪⎫120
＝1，即0<a <1，同理b >1，而c ＝－1，因此b >a >c .
答案 b >a >c
4．(2013·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．
解析 由1－x >0，知x <1，排除①、②；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而
y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，故选③.
答案 ③
5．(2012·烟台调研)若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________．
解析 log 3 x ＝1＋sin θ∈[0,2]，x ＝31＋sin θ
∈[1,9]，|x －1|＋|x －9|＝x －1＋9－x
＝8. 答案 8
6．(2012·南京师大附中模拟)已知函数
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，x ＜0.若f (3－2a 2
)＞f (a )，则实数a 的取值范围为
________．
解析 画图象可得f (x )是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f (3－2a 2
)＞f (a )，得3－2a 2＜a ，即2a 2
＋a －3＞0，解得a ＜－32或a ＞1.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) 二、解答题(每小题15分，共30分)
7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)由题设知3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，又a >0且a ≠1，故g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，
从而g (2)＝3－2a >0，所以a <3
2
，
所以a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，得a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫
3－32x ，
当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．
8．(2012·泰州学情调查)已知函数f (x )＝log 4(4x
＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围． 解 (1)由函数f (x )＝log 4(4x
＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数， 可知f (x )＝f (－x )．
所以log 4(4x
＋1)＋kx ＝log 4(4－x
＋1)－kx ，
即log 44x
＋14－x ＋1＝－2kx .所以log 44x
＝－2kx .
所以x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立．所以k ＝－1
2.
(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x
＋1)－12
x ，
所以m ＝log 44x
＋12x ＝log 4⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .
因为2x
＋12x ≥2，所以m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.
分层训练B 级 创新能力提升
1．(2013·绍兴模拟)函数f (x )＝log 12(x 2
－2x －3)的单调递增区间是________．
解析 设t ＝x 2
－2x －3，则y ＝log 12t .
由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，
故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
∴t ＝x 2
－2x －3＝(x －1)2
－4在(－∞，－1)上为减函数，
在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 1
2t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增
区间为(－∞，－1)． 答案 (－∞，－1)
2．(2013·莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.
x
3 5 6 8 9 lg x
2a －b
a ＋c －1
1＋a －b －c
3(1－a －c )
2(2a －b )
解析 由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由
⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c .
因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c
3．设min{p ，q }表示p ，q 两者中的较小者，若函数f (x )＝min{3－x ，log 2x }，则满足f (x )
＜1
2
的集合为________． 解析 画出y ＝f (x )的图象，且由log 2x ＝1
2
，得x ＝2；由3－
x ＝12，得x ＝52.从而由f (x )＜12，得0＜x ＜2或x ＞52
.
答案 (0，2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫52，＋∞ 4．(2011·安徽卷改编)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是________(填序号)．
①⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，b ；②(10a,1－b )；③⎝ ⎛⎭
⎪⎫10a
，b ＋1；④(a 2,
2b )． 解析 由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .
对于①，点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a
＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于②，点
(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于③，点⎝ ⎛⎭
⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a
＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对
于④，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2
＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上． 答案 ④
5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性，并给出证明；
(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．
解 (1)因为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＞0，
1－x ＞0，所以－1＜x ＜1，
所以f (x )的定义域为(－1,1)．
(2)f (x )为奇函数．因为f (x )定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．
(3)因为a ＞1，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，
所以f (x )＞0⇔x ＋1
1－x
＞1，解得0＜x ＜1.
所以使f (x )＞0的x 的取值范围为(0,1)． 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x
1＋x
.
(1)求f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 014的值；
(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x
1－x ＝log 21＝0.
∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 014＝0.
(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋
2
x ＋1
)， 当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a
1＋a .。