宜昌市“三校联合体”2009年高一期末联考数学试卷有答案

高一年级期末联考数学试卷
命题学校：当阳一中考试时间： 2009 年
1 月
命题教师：杨郑国
审题教师：陈传金 12 日上午 9：00— 11：00
试卷满分：
150 分 一、选择题（本大题共
10 小题，每题
5 分，共
50 分）
1. 已知会合
A
x | y
log 1
1
x
， B
x | 3x
2
x 2
0 ，全集为
R ，则式子
2
①
A U B
B ；② AI B
A ；③
C R A UB
R ；④
C R A U C R B
R 中建立的
是
A. ①②
B.
③④
C.
①②③
D.
①②
③④ 2. 已知 log 1 b log 1 a log 1
c ，则
2
2
2
A. 2b
2a
2c
B. 2a
2b
2c
C. 2c
2b
2a
D. 2c 2a
2b
3. 已知等差数列 a n 的公差为 2 ，若 a 3 是 a 1, a 4 的等比中项，则 a 2
A. 4
B.
6 C.
8
D.
10
4. 给定映照 f : (x, y) (2 x y, xy)( x, y R) 的条件下，点 (1
, 1
) 的原象是
6 6
A.
1
1
B. 1 1 1 2
C.
1
1 ( ,
)
( ,
2 )或 ( , )
( , )
6 36
3
4 3
36
6
D. (1, 1
)或( 2, 1
)
2 3 3 4
5. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，此中有一道这样的题目：
1 把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
7
是较小的两份之和，则最小的一份为 A.
5
B.
10 C.
5 D.
11
3
3
6
6
6. 已知函数 y
f x 的定义域为 2,4 ，则函数 y f lo
g 2 x 的定义域为
A. 2,4
B. 0,
C. 1,2
D. 4,16 7. 已知等比数列 a 的各项均为正数， 若 a 2 , a 48 是方程 2x 2 7x 6 0 的两个根，
n
则 a 2 ga 22 ga 25 ga 28 ga 48 的值为 A.
21
B.
9 3
C.
9 3
D.
35
2
8. 函数 y log 3 2x
2
5x 3 的单一递加区间是
A. 5 ,
B.
,
5
C.
3,
4
4
D.
1
,
2
9. 若两个等差数列 a n , b n 的前 n 项和分别为 A n , B n ，且
A n 7n 23 ，则 a
13
的
B n
4n 26 b 13
值是
A.
10
B.
7 C.
64 D.
11
7
4
43
7
10. 设数列 { a } 的前 n 项和为 S ，令
T n S 1 S 2 L S n ，称 T 为数列 a , a ,L , a
n
n
n
n
n 1 2
的“理想数” ，已知数列 a 1, a 2,L , a 501 的“理想数”为 2008，那么 数列
3, a 1,a 2,L , a 501 的“理想数”为
.2007 C
二、填空题（本大题共 5 小题，每题
5 分，共 25 分）
11. 将函数 y e x
的图象向左平移 2 个单位后，所得的函数图象的分析式为
______________.
12. 已知命题 p ： a 4 0 ；命题 q ： 2
a
1 ，若 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命
题，则实数 a
的取值范围是 ______________．
13. 设 f x log 2 x
4 的反函数为 f 1 x ，若 f 1 m 4 g f 1 n 4
16 ，
则 f m n ______________.
14. 给出以下一个“直角三角形数阵”
1
4 2 ， 2 4 8
3 ，3， 3
4 8 16
知足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公
比相等，记第 i 行第 j 列的数为 a ij i j, i , j
N * ，则 a 83 =______________. 15. 已 知 f x
4x
， 数 列 a n 满 足
1
f
1 n
2 ， 且 a 1 1 ， 则
x 4
a n
a
n 1
a n
______________．
三、解答题（本大题共
6 小题，共 75 分）
16. （此题满分
12 分）若函数
y
log 0.5 ( x 2
2x
a) 的定义域为
R ，务实数
a 的 取值范围．
17. （此题满分
12 分）若函数 y x 2 2x a 2
1 在区间 1,
2 上的最大值为 16，
务实数 a 的值．
18.（此题满分 12 分）设数列 { a } 的前 n 项和为 S ，a 2 ， a n 1 4S n 1 n 1 ，
n n 1
求数列 { a n } 的通项公式．
19. （此题满分 12 分）某家庭进行理财投资，依据长久利润率市场展望，投资债券等稳重型产品的利润与投资额成正比， 投资股票等风险型产品的利润与投
资额的算术平方根成正比， 已知投资 1 万元时两类产品的利润分别为万元和万 元（如图）， y y （Ⅰ）分别写出两种产品的利润与投资额的函
数关系； 1
（Ⅱ）该家庭现有 20 万元资本，所有用于理
0.5
财投资，问：如何分派资本能使投资获 0.125
x o
x
得最大利润，其最大利润为多少万元？o
1
1
20. （此题满分 13 分）关于定义域为 0,1 的函数 f (x) ，假如同时知足以下三条：
①对随意的 x
0,1 ，总有 f (x) 0；② f (1)
1；③若 x 1 0, x 2 0, x 1 x 2 1 ，
都有 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 建立，则称函数 f ( x) 为理想函数，（Ⅰ）若函数
f (x) 为理想函数，求 f (0) 的值；（Ⅱ）判断函数
g (x) 2x 1 ( x [0,1]) 能否为
理想函数，并予以证明．
21. （此题满分 14 分）已知 S n 为数列
n
的前 n 项和，且 S n 2a n n 2 3n 2 ，
a
n 1,2,3, L ，（Ⅰ）求证：数列 a n
2n 为等比数列；（Ⅱ）设 b n
a n g 1 n ，
求数列 b n 的前 n 项和 P n ；（Ⅲ）设 c n 1 ，数列 c n 的前 n 项和为 T n ，求
a n n
证： T n 37 ．
44
***** 宜昌市“三校结合体” 2008-2009 学年度第一学期
高一年级期末联考数学试卷答题卡
*****
**** 一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分）
*****
题号
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10 * *
***** 答案C
A
B
B A
D
B
C
D
B
* *
***** 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）
* *
***** 11
． y e
x 2 12
． 0 a 4
* *
***** 13
．3
14
．
1
* *
2
*****
* *
15．
n
3
4
学
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）
校
16 ．（本小题满分 12 分）
班 级
解：依 有 x
2
2x a 0 恒建立 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
4 4a 0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 a
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
17．（本小 分 12 分）
解：依 有 y
x 1 2 a 2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 Q 函数 y
x 1 2 a 2 2 在区 1,2 在 增
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
y
max a
2 7
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分 a
2
7 16
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 a 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
18．（本小 分 12 分）
a n 14S
n 1
相减得 a n 1 a n 4 S n S n 1 4a n n 2
解：由
4S n 1 n 2
a n 1
即a
n 1 5 n 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分a n
且 a2 4a1 1 9，a
2 9 5 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分a1 2
a n 2, n 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分g n 2
, n 2
9 5
注：未 a1的情况而直接写成a n9g5
n 2，扣 2 分．19．（本小分 12 分）
解：（Ⅰ） f x k x
，g( x) k
2
x
， f (1)
1
k1， g (1) k2
1
( ) 1 8 2
f ( x) 1
x （ x 0 ）， g( x) 1 x （ x 0 ）（两个函数各 3 分）⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 8 2
分
（Ⅱ）投券品x 万元，股票投20 x 万元
y f ( x) g (20 x) x 1 20 x (0 x 20) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
8 2
令 t20 x ，
y 20 t 2 1
t = 1 (t
2
4t 20) =
1
(t 2) 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分
8 2 8 8
12
因此当 t 2 ，即 x 16 万元，利润最大， y max 3 万元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯
分
20.（本小分13分）
解：（Ⅰ）取 x x
2 0 可得f ( 0) f (0) f (0) f ( 0) 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
分
1
又由条件① f (0) 0 ，故 f (0) 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）然 g( x) 2 x 1在[0，1]足条件① g (x) 0 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分也足条件②g(1) 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分若 x1 0 ， x2 0 ， x1 x2 1，
g (x1 x2 ) [ g (x1 ) g(x2 )] 2x1 x2 1 [( 2 x1 1) ( 2 x2 1)]
2 x1 x2 2 x1 2 x2 1 (2 x2 1)( 2x1 1) 0 ，即足条件③，⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
故 g (x) 理想函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分21．（本小分 14 分）
解：（Ⅰ） Q S n 2a n n2 3n 2 ，
S
n 1 2a n 1 n 1 2
3 n 1 2 .
a
n 1 2a n 2n 2, a
n 1 2 n 1 2(a n 2n) .
a n 2n 是以 2 公比的等比数列⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ） a1 S1 2a1 4, a1 4 , a1 2 1 4 2 2 .
a n 2n 2n , a n 2n 2n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当 n 偶数，
P n b1 b2 b3 L b n (b1 b3 L b n 1 ) (b2 b4 L b n )
2 2 1 2
3 2 3 L 2n 1 2 n 1
22 2 2 24 2 4 L 2n 2 n
4 1 2n 2 1 2n
n 2 (2n 1) n ；
1 2
2 1 22 3
当 n 奇数，P n= 2n 1 2
n 1 .
3
2n 1
n 5（为奇数）
3 3 , n .
上， P n
2 (2 n 1) n，（ n为偶数）
3
( Ⅲ) c n 1 1 . 当 n 1，T1
a n n 2n n
当 n 2 ，T n 1 1 1 L
21 1 22 2 23 3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
1
37
3
44
2n
1 <
1
1 1 L 1
n 3 22 23 2n
1 1 = 1 4 (1 2n 1 )
1 1 1 5 1 5 37
3 1 1 3 2 2n 6 2n 6 44
2
37 .
上可知：随意 n N ，T n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分
44
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