全国卷一专用2019年高考理科数学总复习解三角形

全国卷一专用2019年高考理科数学总复习
解三角形
一、基础巩固组
1. △ ABC的内角ABC 的对边分别为a, b, c.已知a= , b=2, A=60° ,则c=( ) 1
A.
B. 1
C. ■
D. 2
2. 在厶ABC中,已知a cos A=b cos B,则厶ABC的形状是()
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
3. 已知△ ABC的三个内角AB, C依次成等差数列，BC边上的中线AD= , AB=2,则S A ABC=( )
A. 3
B. 2 .
C. 3
D. 6
■TT1
4. 在厶ABC中,B=,BC边上的高等于七C则cos A= ( )
a ><io via
A. 炕
B. q
vlO 3V10
C.- X：
D.- i?'|-
5.
在厶ABC中,ABC所对的边分别为a, b, c,若b cos A+as os B=d, a=b=2,则厶ABC的周长为()
A. 7.5
B. 7
C. 6
D. 5
6. 已知△ ABC的三个内角AB, C的对边分别为a, b,c,且满足=sin A-s in B,则
C= ________ .
7. _______________ 在厶ABC中,角A, B,C的对边分别为a, b, c,且2c- cos B=2a+b,若厶ABC的面积为S= c,则ab的最小值为.
&如图所示,长为3. 5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2. 8 m的石堤上，石堤的倾斜角为a ,则坡度值tan a = .
9. (2017全国川,理17) △ ABC的内角ABC的对边分别为a, b, c.已知sin A^cos A=0, a=2 , b=2.
(1)求c;
⑵设D为BC边上一点，且ADL AC求厶ABD的面积.
10. 已知岛A 南偏西38。

方向,距岛A 3 n mile 的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以 10 n mile/h 的速度向岛北偏西 22。

方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶 ,恰好用0.5 h 能截 住该走私船？
5
参考数据:sin38e =苟屈说矿=—)
二、综合提升组
11. △ ABC 的内角 A B, C 的对边分别为 a ,
b , c.已知 sin B+sin A (sin C -cos C ) =0,
a=2,
c —2,则 C=
( )
Tt
A B.. C ・・ D..
12.在厶ABC 中, D 为BC 边上的一点 ,AD=BD= DC=, / BAD / DAC 贝U AC= ) A.9 B.8 C.7 D.6
13.如图，为测量山高 MN 选择A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从点A 测得点M 的仰角/
MAN 60° ,点C 的仰角/ CAB=5°以及/ MAC=5° ;从点C 测得/ MCA 60° .已知山高BC=00 m,则 山高MN ________________ m .
14.(2017河南郑州一中质检一，理17)已知△ ABC 外接圆直径为.，角A B, C 所对的边分别为
a ,
b ,
c , C=60° .
(1)求 ..... ：一 ■一的值；
⑵若a+b=ab 求厶ABC 的面积.
三、创新应用组
点，B, C 是与P 相邻的两个最低点.若cos / BPC=,则f (x )的图象的对称中心可以是 ( )
A.(0,0)
B.(1,0)
C.(2,0)
D.(3,0)
16.(2017宁夏银川九中二模，理17)已知函数f (x )= sin 3 x- 2si n 2 _ +m 3 >0)的最小正周期为
3n ,当x € [0, n ]时，函数f (x )的最小值为0. (1)求函数f (x )的表达式；
⑵在厶 ABC 中 ,若 f (C ) =1,且 2sin B=cos B+cos( A-C ),求 sin A 的值.
(
15.(2018福建泉州期末，理10)已知点
函数 f (x ) =A sin( 7
3 x+ 0 )( 0 >0)图象上的一个最高
解三角形
1. B 由已知及余弦定理，得3=4+c 2- 2X 2XC ：,整理，得c 2-2c+仁0,解得c=1.故选B .
2. D ■/ a cos A=b cos B,
/• sin A cos A=sin B cos B, /• sin 2 A=sin 2 B
••• A=B 或 2A+2B=180°, 即 A+B=»0°,
• △ ABC 为等腰三角形或直角三角形 •故选D 3. C T ABC 成等差数列，• B=60° .在厶ABD 中 ,由余弦定理，得A D=AB+B$2AB ・BD- cos B,即 7=4+Bd 2BD 二 BD=3 或-1(舍去),可得 BC=,
.• &ABC = J AB- BC- sin B= - ' 2X 6 _ =3 4. C （方法一）设BC 边上的高为 AD 则BC ：3AD.
结合题意知BD=ACDC ：2AD 所以 AC= •'
AD AB= /id
故选c
（方法二）如图，在厶ABC 中 ,AD 为BC 边上的高，
解得c=1,则厶ABC 勺周长为a+b+c=2+2+1 =5.故选D. 在厶ABC 中,
=sin A-si n B,
=a-b ,
以+以$ 1 it
二 a +b-c =ab ,二 cos C=
厦曲 —珀二 C= 3"
7. 12 在厶 ABC 中 ,由条件并结合正弦定理可得 2sin C bos B=2sin A+sin B=2sin( B+C+sin B, 即 2sin C DOS
B=2sin B cos C+2sin 60s B+sin B, •2sin B cos C+sin B=0, • cos C=- 1 2n
:,C= _ 1 由于△ ABC 的面积为S= ab - sin C= 再由余弦定理可得 c 2=a 2+b 2-2ab - cos C
1
整理可得
7a 2b 2=a 2+b 2+ab >3 ab ,
当且仅当a=b 时,取等号，
"W AD .由余弦定理，得cos A =
AB 2+AC 1-BC 2
sin 5. D
•/ BC=3AD BD=AD.
• DC=ADAC= ‘AD. 兰一歴 …sin a = _ _ ,cos a =
it 竝
—
a sin .
- (cos a - sin a )=
2
■/ b cos A+a cos B=c , a=b=2,
•由余弦定理可得b
V10
,故选C.
* ―盂—=c 2,整理可得2c 2=2c 3,
c -
Va -ab=
V3 1
-c , • c= _ab.
由题意知/ BAD=.'
设/ DAC a ,则/ BAC a +
_L 一 匹,
农「 cos / BAC=os a cos u
••• ab> 12,故答案为12.
V231
& 書 在厶 ABC 中 , AB=3. 5 m, AC= . 4 m, BC=2. 8 m,且 a +/ ACB n . 由余弦定理，可得A B=A C+B&2 •
AC- BC-
2 2 2
即 3. 5 =1. 4 +2. 8 -2X 1. 4X 2. 8X cos( n - a ),
在厶ABC 中 ,由余弦定理得28=4+c ?-4c cos 解得c=-6（舍去）,c=4.
⑵由题设可得/ CAD= _,
所以/ BAD M BAC / CAD= 一故厶ABD 面积与△ ACD 面积的比值为 又厶ABC 的面积为
1X 4 X 2sin / BAC 2
辽 所以△ ABD 的面积为
岳
10.
解 设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上的一点，缉私艇的速度为x n mile/h, 则
BC=0. 5x n mile, AC=S n mile,依题意，/ BAC=80° - 38° -22° =120° ,由余弦定理可得 B C=A B+A^2AB ・ A@OS 120 ° ,解得 BC=49, BC=）. 5x=7,解得 x=14.
占命_ Sky _ 5\3
又由正弦定理得 sin / ABC= 一一 …，
所以/ ABC=8° .
又/ BAD=8° ,所以 BC// AD.
故缉私艇以14 n mile/h 的速度向正北方向行驶，恰好用0.5 h 截住该走私船. 11.
B 由题意结合三角形的内角和 ，可得sin( A+C+sin A (sin C-cos
C )=0,整理得sin A cos
CH cos A sin C+sin A sin C-sin A cos C=0,
则 sin C (sin A+cos A ) =0,因为 sin C»,所以 sin A+cos A=0,
r
2 近 3n
fl _ C
―—
即tan A=-1,因为A € (0, n ),所以A= 「由正弦定理：： -一，得
上宀 一：即
1
n
sin C= 二,所以 C= .,故选 B.
DC _ 匹
12. D 设/ B=0 ,则/ ADC= 0 ,在厶 ADC 中,由£曲 sinii?,
所以 AC=8cos 0 ,
AC _
3
3cosS _
9
在厶 ABC 中,由
,可得 二匸
r,
3
所以 16cos 0 =9,可得 cos 0 =
-,
X 3
解
得
cos a =
,则 sin
minx
V231 所以 tan a = H
= COSCT 9.解
(1) 由已知可
得
tan A=-J ：,
所
以 A=
~,即 C 2+2C -24=0.
=1
所以AC：8 -=6.故选D
(2)因为 f ( C ) =2sin
Tl 2£ TL Sil
— W 十一£ ---------
而 ----,
2C .n _ n
it
所以 —匚匚解得C=-
2
在 Rt △ ABC 中 ,因为 A+B= _,2sin B=cos B+cos(A-C ),
2
所以 2cos A-sin A-sin A=0,
13.150 在 Rt △ ABC 中, / CAB=5°, BC=00 m,所以 AC=OoV2 m . 在厶AM (中 , / MAC 75° , / MCA 60° ,从而/ AMC 45° ,由正弦定理，得 此 AM=00 m . AC AM
....,因
在 Rt △ MNA^ , AM=00 m, / MAN §0° ,由 =sin 60 ° , 得 MN=00 _=150(m). a b c 4\,r 3 14.解(1)由正弦定理可得…一 - -=2R= 一， t a+b+r
4x ,f 3 一 一一 一=2R= c _ +/3 -■… ., (2)由正弦定理可得 /• c=2. 由余弦定理可得 22=a 2+b 2- 2ab cos 60 ° 又 a+b=ab 2 2 2
/• (a+b ) -3ab=a b -3ab=4,解得 ab=4. ,化为 a 2+b 2-ab=4. ABC 的面积 S= _ab sin C= 15.C -'4X sin 60 o
如图，取BC 的中点D 连接PD 则PD 屯设BD=x 则PB=F C=：；；十」奁由余弦定理可 得,(2 x )2=(r 护—)+(T —号 2-2(=护—F )2
cos / BPC 解得 x=3(负值舍去).则
2,C J ,-2 ,故BPCP 的中点都是f (x )图象的对称中心. 16.解(1) f (x )= sin 3 x- 2sin 2 _+m= sin
3
+亂仆. 2n
..=3 n , 3 x-1+cos 3 x+m -,-
=2sin 依题意 所以 f (x )=2sin 当 x € [0, n ]时， 所以f (x )
的最小值为m. 依题意，m=0. 3 = ■, --1+m. it 2x ( nt 5TT 1 —V — + — V t — V sin
-1,
—--1.
—一-仁1,所以 sin
— 一 =1
所以 f (x )=2sin
解得sin A= _
因为0<sin A<1, 所以sin A= j。