2022-2023学年辽宁省大连三十四中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2022-2023学年辽宁省大连三十四中九年级（上）月考数学试卷
（10月份）
1.下列各组线段(单位：cm)中，能成比例的是( )
A. 1，3，4，6
B. 12，16，30，40
C. 1，2，3，4
D. 30，12，8，2
2.如图，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，
EF=4，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 10
3
3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，sinB=1
，AC=2，则BC长为( )
3
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED=1：2，则
S△AOE：S△COB=.( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：9
5.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC
相似的是( )
A. B. C. D.
6.如图要测量浏阳河两岸相对的两点P、A的距离，可以在
小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=300米，
∠PCA=40°，则小河宽PA为( )
A. 300sin40°米
B. 300cos40°米
C. 300tan40°米
D. 300tan50°米
7.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE//BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
8.如图，△ABC中，点D是AB上一点，补充下列条件后，仍不能判定△ADC∽△ACB的是( )
A. ∠ADC=∠ACB
B. ∠ACD=∠ABC
C. AD
AC =AC
AB
D. CD
BC =AC
AB
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为( )
A. 3
2B. 9
2
C. 3√3
2
D. 3√3
10.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=3
5
，则BC的长为( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
11.若a
5=b
3
，则a−b
3a
的值为______．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,4)，那么cosα的值为______ ．
13.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若sinB=5
13
，则tanA=______．
14.在平面直角坐标系中，以原点О为位似中心，把△ABC扩大成△A1B1C1，并且△ABC和△
A1B1C1相似比等于1
2
，若点A的坐标(2,4)，则其对应点A1的坐标______．
15.如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB=AC=
10，BC=12，则tan∠OBD的值是______．
16.如图，矩形EFGH内接于△ABC(矩形各顶点在三角形边上)，E，F在BC上，H，G分别在AB，AC上，且AD⊥BC于点D，交HG于点N.AD=3，BC=9，设EH=x，矩形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数解析式为______．
17.解下列方程：
(1)(x−3)2−4=0；
(2)x2−4x−8=0．
18.计算：
(1)2sin245°−6cos60°+3tan45°+4sin60°；
)2−(π−1)2．
(2)(1+√2)2−√8+2cos45°+(1
3
19.如图所示，点B，C，D在同一条直线上，且BC=CD，点A和点E在BD的同侧，且∠ACE=∠B=∠D．
(1)证明：△ABC∽△CDE；
(2)若BC=2，AB=3，求DE的长度．
20.△ABC中，∠B=45°，∠BAC=15°，AC=10cm，求BC边的长度．
21.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为80m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为50°，测得底部C处的俯角为62°.求甲、乙建筑物的高度AB和DC.(结果取整数；参考数据：tan50°≈1.19，tan62°≈1.88)
22.如图，直线y1=2x+2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=k
交于C、D两点．并且DA=
x
AB=BC．
(1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)当y1≥y2时，根据图象直接写出此条件下的x的取值范围______．
23.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．
(1)求证：△AEF∽△BDF；
(2)若AE=4，BD=8，EF+DF=9，求DE的长．
24.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC匀速向终点C运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA匀速向点A运动到达点A后，立刻以原来速度的2倍沿AB向终点B运动．当其中一个点到达终点时，另一个
点也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(t>0)s．
(1)求线段AC长度；
(2)求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
25.如图，在△ABC中，BA=BC.AB=kAC.点F在AC上，点E在BF上．BE=2EF.点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°．
(1)求证：∠CAD=∠EAB；
(2)求AD
AE
的值(用含k的式子表示)；
(3)如图2，延长AE，交BC于点H，若DH=3
2AH.求AD
CH
的值(用含k的式子表示)．
26.已知：如图在平面直角坐标系中，直线y=−x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，直线y= 3x+3交x轴于点A，M为第一象限内一点，其坐标为(1,1)，过M的直线交AB于E，交BC于F．问：△BEF能否与△ABC相似，若能，求点E的坐标；不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、1×6≠3×4，故选项不符合题意；
B、12×40=16×30，故选项符合题意；
C、1×4≠2×3，故选项不符合题意；
D、30×2≠12×8，故选项不符合题意．
故选：B．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
2.【答案】D
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴AB BC =DE
EF
，
∵AB=5，BC=6，EF=4，
∴5 6=DE
4
，
∴DE=10
3
，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，sinB=AC
BC
，
则2
BC =1
3
，
解得，BC=6，
根据正弦的定义列式计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD且AB//CD，
∴△AOE∽△CBO，
∵AE：ED=1：2，
∴AE：AD=1：3，
∴AE：BC=1：3，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以S△AOE：S△COB=1：9，
故选：D．
本题通过平行四边形的性质可以得到AB=CD且AB//CD，进而得到△AOE∽△CBO，在通过AE：ED=1：2，得到AE：BC=1：3，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图：∠ACB=135°，AC=√2，BC=2，
A、最大角=135°，对应两边分别为：1，√2，
∵√2：1=2：√2，
∴此图与△ABC相似；
B、∵最大角<135°，
∴与△ABC不相似；
C、∵最大角<135°，
∴与△ABC不相似；
D、∵最大角<135°，
∴与△ABC不相似．
由图可得∠ACB=135°，AC=√2，BC=2，然后分别求得A，B，C，D中各三角形的最大角，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
6.【答案】C
【解析】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=300米，∠PCA=40°，
∴tan40°=PA
PC
，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=300tan40°米．
故选：C．
在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，通过三角函数定义写出tan40°=PA
PC
是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，
∴DE BC =OD
OC
=1
3
，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD AB =DE
BC
=1
3
，
∴AB=3AD=6，故选：B．
根据平行线分线段成比例定理得到DE
BC =OD
OC
=1
3
，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计
算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】D
【解析】解：A、根据题意可知：∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
B、根据题意可知：∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ABC，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
C、根据题意可知：∠CAD=∠BAC，AD
AC =AC
AB
，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，本选项不
符合题意．
D、根据题意可知：由条件无法判断两三角形相似．本选项符合题意，
故选：D．
根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】A
【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC2=AD⋅AB，
又∵AC=3，AB=6，
∴32=6AD，则AD=3
2
．
故选：A．
根据射影定理得到：AC2=AD⋅AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．10.【答案】C
【解析】解：在Rt△BCD中，
∵cos∠BDC=CD
BD =3
5
，
设CD=3k，BD=5k，
∴BC=√BD2−CD2=4k．
∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=5k．
∵AD+CD=8k=8cm，
∴k=1cm．
∴BC=4k=4cm．
故选：C．
先根据直角三角形的边角间关系用含k的代数式表示出CD、BD，再利用勾股定理求出BC并求出k 的值．
本题主要考查了解直角三角形，遇比设k是解决此类问题常用的方法．
11.【答案】2
15
【解析】解：∵a
5=b
3
∴设a=5x，则b=3x，
∴a−b
3a =5x−3x
3×5x
=2x
15x
=2
15
．
故答案为：2
15
．
设a=5x，则b=3x，代入代数式再化简即可．
本题考查分式的化简，设出参数并代入化简是解题关键．
12.【答案】4
5
【解析】解：如图所示，在Rt△AOB中，
∵点A的坐标为(3,4)，
∴AB=3，OB=4，
∴OA=√AB2+√OB2=5．
∴cosα=OB
OA =4
5
．
故答案为：4
5
．
构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了勾股定理和解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
13.【答案】12
5
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴sinB=5
13=AC
AB
，
∴设AC=5x，AB=13x，
根据勾股定理可得BC=√AB2−AC2=12x，
∴tanA=BC
AC =12x
5x
=12
5
．
故答案为：12
5
．
根据sinB=5
13=AC
AB
，可设AC=5x，AB=13x，根据勾股定理可得BC=12x，利用正切函数的
定义求值即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记定义并灵活运用．
14.【答案】(4,8)或(−4,−8)
【解析】解：∵△ABC和△A1B1C1相似比等于1
2
，并且是关于原点O的位似图形，
而点A的坐标为(2,4)，
∴点A对应点A1的坐标为(2×2,2×4)或(−2×2,−2×4)，
即(4,8)或(−4,−8)．
故答案为：(4,8)或(−4,−8)．
利用关于原点对称的点的坐标，把A点横纵坐标分别乘以2或−2得到其对应点A1的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
15.【答案】1
2
【解析】解：过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=1
2
BC=6，
在Rt△ABD中，AB=10，
∴AD=√AB2−BD2=√102−62=8，
∴∠ABE=∠DBE，
∵∠ODB=∠OFB=90°，OB=OB，
∴△BOF≌△BOD(AAS)，
∴OD=OF，BF=BD=6，
∴AF=AB−BF=4，
设OD=OF=x，则AO=AD−OD=8−x，在Rt△AOF中，AF2+OF2=AO2，
∴42+x2=(8−x)2，
∴x=3，
∴在Rt△ABD中，tan∠OBD=OD
BD =3
6
=1
2
，
故答案为：1
2
．
过点O作OF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，BD=1
2
BC=6，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD=8，再利用角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，然后利用AAS证明△BOF≌△BOD，从而利用全等三角形的性质OD=OF，BF=BD=6，进而求出AF=4，最后设OD=OF=x，则AO=8−x，从而在Rt△AOF中，利用勾股定理求出x的值，进而在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】y=−3x2+9x(0<x<3)
【解析】解：∵四边形HEFG为矩形，
∴HG//BC，∠EHG=∠HEF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴四边形HEDN为矩形，
∴ND=HE=x，
∴AN=AD−ND=3−x，
∵HG//BC，
∴AN AD =HG BC ，即3−x 3=HG 9，
∴HG =3(3−x)=9−3x ，
∴y =HE ⋅HG =x(9−3x)=−3x 2+9x(0<x <3)．
故答案为：y =−3x 2+9x(0<x <3)．
先证明四边形HEDN 为矩形，则ND =HE =x ，所以AN =3−x ，再证明△AHG∽△ABC ，利用相似三角形的性质得到3−x 3=HG 9
，则可用x 表示HG ，然后利用矩形的面积公式得到y 与x 的关系式． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
17.【答案】解：(1)∵(x −3)2=4，
∴x −3=2或x −3=−2，
解得x 1=5，x 2=1；
(2)∵x 2−4x −8=0，
∴x 2−4x =8，
则x 2−4x +4=8+4，即(x −2)2=12，
∴x −2=±2√3，
∴x 1=2+2√3，x 2=2−2√3．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)2sin 245°−6cos60°+3tan45°+4sin60°
=2×(√22)2−6×12+3×1+4×√32
=2×12−3+3+2√2
=1−3+3+2√2
=1+2√2；
(2)(1+√2)2−√8+2cos45°+(1
3
)2−(π−1)2
=1+2√2+2−2√2+2×√2
2+1
9
+π2+2π−1
=1+2√2+2−2√2+√2+1
9
+π2+2π−1
=19
9
+√2+π2+2π．
【解析】(1)根据特殊角的三角函数值，代入计算即可；
(2)先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19.【答案】(1)证明：∵∠A=180°−∠B−∠ACB，∠ECD=180°−∠ACE−∠ACB，∠ACE=∠B，∴∠A=∠ECD，
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△CDE；
(2)解：∵△ABC～CDE，
∴AB CD =BC
DE
，
∵BC=CD，BC=2，∴CD=2，
∵AB=3，
∴3 2=2
DE
，
∴DE=4
3
．
【解析】(1)根据三角形内角和定理与平角的定义得出∠A=∠ECD，即可推出结论；(2)根据相似三角形的性质得出比例式求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．
∵∠B=45°，∠BAC=15°，∠ADC=90°，
∴∠DCA=60°，∠BAD=45°．
在Rt△ACD中，
∵cos∠DCA=CD
AC =cos60°=1
2
，
sin∠DCA=AD
AC =sin60°=√3
2
，AC=10，
∴CD=5，AD=5√3．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD=5√3．
∴BC=BD−CD=5√3−5．
【解析】过点A作AD⊥BC，利用三角形的内角和定理先求出∠DCA、∠BAD，再利用直角三角形的边角间关系求出CD、AD的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
21.【答案】解：作DE⊥AB于E，
则四边形EBCD为矩形，
∴DE=BC=80m，BE=CD，
由题意得，∠ADE=50°，∠ACB=62°，
在Rt△ADE中，tan∠ADE=AE
DE
，
则AE=DE⋅tan∠ADE≈80×1.19=95.2，
在Rt△ACB中，tan∠ACB=AB
BC
，
则AB=BC⋅tan∠ACB≈80×1.88=150.4≈150(m)，
则CD=BE=AB−AE=150.4−95.2=55.2≈55(m)，
答：甲建筑物的高度AB约为156m，乙建筑物的高度DC约为55m．
【解析】作DE⊥AB于E，根据正切的定义分别求出AB、AE，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】(0,2)(−1,0)−2≤x<0或x≥1
【解析】解：(1)当x =0时，y =2，
∴点A 的坐标为(0,2)；
当y =0时，有2x +2=0，解得：x =−1，
∴点B 的坐标为(−1,0)．
故答案为：(0,2)，(−1,0)；
(2)∵DA =AB =BC ，且A 、B 、C 、D 四点共线，
∴点A 是线段BD 的中点，
∵A(0,2)，B(−1,0)，
∴点D 的坐标为(1,4)．
∵点D 在反比例函数y 2=k x
的图象上，
∴k =1×4=4，
∴反比例函数的解析式为y 2=4x
； (3)由{y =2x +2y =4x 解得{x =1y =4或{x =−2y =−2， ∴C(−2,−2)，
观察图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是−2≤x <0或x ≥1．
故答案为：−2≤x <0或x ≥1．
(1)分别将x =0、y =0代入一次函数解析式中求出与之对应的y 、x 的值，由此即可得出点A 、B 的坐标；
(2)根据DA =AB =BC 结合点A 、B 的坐标即可求出点D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；
(3)解析式联立成方程组，解方程组求得C 的坐标，然后根据图象即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，根据线段间的关系找出点D 的坐标是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，
∴∠BDF =∠AEF =90°，
∵∠AFE =∠BFD ，
∴△AEF∽△BDF ．
(2)解：∵△AEF∽△BDF，
∴AE BD =EF
DF
=4
8
=1
2
，
∵DF+EF=9，
∴EF=3，DF=6，
∴BF=√BD2+DF2=√82+62=10，AF=√AE2+EF2=√42+32=5，∴AD=5+6=11，
∴AB=√BD2+AD2=√82+112=√185
∵AF BF =EF
DF
，
∴AF EF =BF
DF
，∵∠AFB=∠EFD，
∴△AFB∽△EFD，
∴DE AB =DF
BF
，
∴
√185=6
10
，
∴DE=3√185
5
．
【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
(2)证明△AFB∽△EFD，可得DE
AB =DF
BF
，想办法求出AB，BF，DF即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得，AC2=BC2+AB2，
∴AC=5；
(2)①当0<t<3时，
如图1，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，
AQ =3−t ，则∠AHP =∠ABC =90°，
∵∠PAH =∠CAB ，
∴△AHP∽△ABC ， ∴AP AC =PH BC ， ∵AP =t ，AC =5，BC =4，
∴PH =4
5t ，
∴S =12⋅(3−t)⋅(45t)=−25t²+65t ，
②当3≤t <92时，AQ =2(t −3)AP =t ，
∴PH =45t ，
∴S =12⋅2(t −3)⋅(45t)=45t²−125t ，
综上所述，S ={−25t 2+65t(0<t <3)45t 2−125t(3≤t <92)． 【解析】(1)直接利用勾股定理可得AC 的长；
(2)分0<t <3或3≤t <92
两种情形，分别表示出AQ 和PH 的长，进而解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想表示出AQ 的长是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵BA =BC ，
∴∠BAC =∠BCA ，
∵∠ACD +∠DAE =180°，∠ACD +∠ACB =180°，
∴∠DAE =∠BCA ，
∴∠DAE =∠BAC ，
∴∠DAC =∠BAE ；
(2)解：如图1，作∠ACM=∠ABE，交AD于点M，∵∠DAC=∠BAE，
∴△AEB∽△AMC，
∴AC AB =AM
AE
=CM
BE
，
∵AB=kAC，
∴AM=1
k AE，CM=1
k
BE，
∵BE=2EF，
∴CM=2
k
FE，
∵∠AEF=∠EAB+∠ABE，∠DMC=∠MAC+∠ACM，
∴∠DMC=∠AEF，
∵∠ACB=∠D+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠FAE，∠DAE=∠ACB，∴∠D=∠FAE，
∴△DCM∽△AFE，
∴DM
AE =CM
EF
，
∴DM=2
k
AE，
∴AD=AM+DM=3
k
AE，
∴AD AE =3
k
；
(3)解：如图2，过点B作BN//AC交AE延长线于点N，∵∠D=∠CAH，∠AHC=∠DHA，
∴△AHC∽△DHA，
∴AH2=HC⋅DH，AH
DH =AC
AD
=2
3
，
∴AD=3
2
AC，
∵AB=kAC，
∴AD=3
2k
AB，
∵AD AE =3
k
，
∴AE =12AB ，
设AH =2a ，AB =BC =b ，
∴DH =3a ，AE =12b ，AD =
3b 2k ， ∵NE =2AE ，
∴NE =b ，
∵EH =AH −AE =EN −NH ，
∴NH =32b −2a ，
∵AH 2=HC ⋅DH ，
∴CH =43a ，
CD =53a ，
由(2)知，BN =53
ak ， ∵△ADH∽△NBH’，
∴AD NB =DH NH ，
∴32k b 53ak =3a 32b−2a ，
∴9b 2−12ab −20a 2k 2=0，
∴b 1=
2−2√1+5k 23a (舍) b 2=2+2√1+5k 23a ， ∴AD CH =3b 2k 43a =3+3√1+5k 24k ．
【解析】(1)证明∠DAE =∠BAC ，可得结论；
(2)如图1，作∠ACM =∠ABE ，交AD 于点M ，证明△AEB∽△AMC ，推出
AC AB =AM AE =CM BE ，由AB =kAC ，推出AM =1k AE ，CM =1k BE ，可得CM =2k FE ，再证明△DCM∽△AFE ，推出DM AE
=CM EF ，推出DM =2k AE ，可得AD =AM +DM =3k AE ，即可解决问题； (3)如图2，过点B 作BN//AC 交AE 延长线于点N ，证明△AHC∽△DHA ，推出AH 2=HC ⋅DH ，可得AH DH =AC AD =23，推出AD =32AC ，由AB =kAC ，推出AD =32k AB ，由AD AE =3k ，推出AE =12AB ，
设AH =2a ，AB =BC =b ，则DH =3a ，AE =12b ，AD =3b 2k
，NE =b ，可得NH =32b −2a ，由
AH 2=HC ⋅DH ，推出CH =43a ，CD =53a ，由(2)知，BN =53ak ，，由△ADH∽△NBH’，可得AD NB =DH NH
，可得32k b 53ak =3a 32b−2a ，9b 2−12ab −20a 2k 2=0，解方程求出a ，b 之间的关系，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26.【答案】解：△BEF 能与△ABC 相似，
分两种情况：
①当∠BEF =∠BAC 时，AC//EF ，如图：
∵∠ABC =∠EBF ，
∴△BEF∽△BAC ，
设直线EF 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，
∵直线AC 的解析式为y =3x +3，AC//EF ，
∴k =3，
∵直线EF 过点M(1,1)，
∴k +b =1，
∴b =1−k =1−3=−2，
∴直线EF 的解析式为y =3x −2，
∵当y =0时，3x −2=0，
解得：x =2
3
， ∴E(23,0)；
②当∠BEF =∠BCA 时，如图：过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，
∵∠ABC=∠FBE，
∴△BEF∽△BCA，
把y=0代入直线y=−x+3中可得：
−x+3=0，
解得：x=3，
∴B(3,0)，
把x=0代入直线y=−x+3中可得：
y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
把y=0代入直线y=3x+3中可得：
3x+3=0，
解得：x=−1，
∴A(−1,0)，
∴OA=1，AB=3−(−1)=4，
∴AC=√OA2+OC2=√12+32=√10，BC=√OB2+OC2=√32+32=3√2，∵点M坐标为(1,1)，
∴ON=1，MN=1，
∵S△ABC=1
2AB⋅OC=1
2
AC⋅BG，
∴AB⋅OC=AC⋅BG，∴4×3=√10BG，
∴BG=6√10
5
，
在Rt△BCG中，sin∠BCA=BG
BC =
3√2
=2√5
5
，
在Rt△EMN中，sin∠BEN=MN
EM =1
ME
，
∴1 ME =2√5
5
，
∴ME=√5
2
，
∴EN2=ME2−MN2=5
4−1=1
4
，
∴EN=1
2或EN=−1
2
(舍去)，
∴EO=ON−EN=1
2
，
∴E(1
2
,0)，
综上所述，E点坐标为(2
3,0)或(1
2
,0)．
【解析】分两种情况：①当∠BEF=∠BAC时，AC//EF，②当∠BEF=∠BCA时，分别进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论是解题的关键．。