复数中的几个结论及其应用

复数中的几个结论及其应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
一、中点公式：A 点对应的复数为1111()a b i a b +∈∈R R ，，B 点对应的复数为2222()a b i a b +∈∈R R ，，C 点为A B ，两点的中点，则C 点对应的复数为11222a b i a b i +++，即1
21222
a a
b b i +++． 例1 四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A B C ，，三点对应的复数分别为132i i i +-+，，，求D 点对应的复数．
解：由已知应用中点公式可得A C ，的中点对应的复数为322
i +，所以D 点对应的复数为32[22(1)]352i i ⨯+⨯--=+．
二、根与系数的关系：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠的两复根为11a b i +，
22a b i +，则有1122b a b i a b i a +++=-，1122()()c a b i a b i a ++=·． 推论：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有两虚数根，则这两个虚数根共轭． 例2 方程20x ax b ++=的一个根为1i +，求实数a ，b 的值．
解：已知实系数方程的一个根为1i +，由推论知方程的另一根为1i -，由根与系数的关系可知(11)2a i i =-++-=-，(1)(1)2b i i =+-=·．
三、相关运算性质：①z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=，z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；②对任意复数有z z =；③1212z z z z ±=±；④1212z z z z =··，特别地有22()z z =；⑤1122
z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑥2z z z =·． 例3 设1z =，且z i ≠±，求证2
1z z +为实数．
证明：由条件可知0z ≠，则2
1z z z ==·， 所以11z z z -==，1212222211()11()11z z z z z z z z z z z z
--⎛⎫=-=== ⎪++++⎝⎭++， 所以2
1z z +为实数． 四、两则几何意义：①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点．
例4 若z C ∈，且221z i +-=，则22z i --的最小值为 ． 解：221z i +-=即(22)1z i --+=，z 对应的点为到点(22)-，的距离为定值1的所有的点，即以(22)-，为圆心，1为半径的圆O 上的点．22z i --即(22)z i -+，为圆O 上的点与点(22)，之间的距离减去圆O 的半径，可得结果为3．。