轨迹问题(教师)

第八讲 轨迹问题
一..求轨迹方程的基本方法
①直接求；②代入(相关点)法；③参数法；④定义法；⑤待定系数法.
二.经典例题
【例1】 求过点(0，2)的直线被椭圆x 2+2y 2=2所截弦的中点的轨迹方程.
解：设直线方程为y=kx+2,
把它代入x 2+2y 2=2,
整理得(2k 2+1)x 2+8kx+6=0.
要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k ＜-26或k ＞2
6. 设直线与椭圆两个交点为A(x 1，y 1)、B （x 2，y 2），中点坐标为C(x,y)，则
x=221x x +=-12422+-k k ,y=-1
2422+-k k =1222+k . 从参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=122
,12422k y k k x (k ＜-26或k ＞26),消去k 得x 2+2（y-1）2=2, 且｜x ｜＜2
6，0＜y ＜21． 【例2】 （2005江苏高考）如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN(M 、N 分别为切点)，使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程
.
剖析：此题是以O 1O 2所在直线为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，把PM 、PN 的关系转化为PO 1与PO 2的关系，这样就把P 、M 、N 三个动点问题转化为关于一个动点P 的问题.
解：作直线O 1O 2，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，连结O 1M 、O 2N ，设P 点坐标为
(x,y).
∵PM 、PN 分别为⊙O 1、⊙O 2的切线， ∴O 1M ⊥PM,O 2N ⊥PN.
∴△PO 1M ，△PO 2N 为直角三角形. ∴PO 12=PM 2+O 1M 2=PM 2+1,
PO 22=PN 2+O 2N 2=PN 2+1. ∵PM=2PN, ∴PM 2=2PN 2.
∴PO 12=2PN 2+1, ① 2PO 22=2(PN 2+1)=2PN 2+2. ② 由②-①得2PO 22-PO 12=1. ∵PO 22=(x-2)2+y 2,PO 12=(x+2)2+y 2,
∴2［(x-2)2+y 2］-［(x+2)2+y 2］=1. ∴2x 2-8x+8+2y 2-x 2-4x-4-y 2-1=0.
∴x 2-12x+y 2+3=0. ∴(x-6)2+y 2=33.
讲评：正确建系是解好本题的首要任务,用PM 、PN 来表示PO 1、PO 2是本题的核心，这样就把三个动点问题转化为只关于一个动点P 的问题.体现出转化思想的重要性，转化时用到了消去变量PM 、PN 的方法.
【例3】. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB
边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线
上．
（I ）求AD 边所在直线的方程；
（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，
求动圆P 的圆心的轨迹方程．
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，
所以直线AD 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AD 上，
所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+即320x y ++=． （II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩
，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM ==ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=． （III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
即PM PN -=
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为
因为实半轴长a =2c =
．所以虚半轴长b ==
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -=≤． 【例4】．已知抛物线2
:4C y x =，若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点和准线
分别重合，求以椭圆短轴端点B 与焦点F 为两端点的线段中点P 的轨迹方程．
解：设(,)P x y ，显然1x >，则点B 的坐标为
(12,2)x y -，由椭圆的定义，知：
||||BF e BB ='，||||||2(1)
c FO OO OF x ''==-=-
，||a FB == ||(21)(1)2BB x x '=---=
=化简得：21y x =-，∴P 的轨迹方程为：21(0)y x x =->
三.巩固与练习
1.若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是 （C ）
()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线
2.若动圆与圆(x+2)2+y 2=4外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.y 2+8x=0
B.y 2-8x=0
C.y 2-12x+12=0
D.y 2+12x-12=0
解析：定义法.动圆圆心到定圆圆心(-2,0)与到直线x=4的距离相等(都是动圆的半径)，∴p=6. ∴y 2=12(x-1),即选C.
3.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A(3,1)、B(-1,3)，若点C 满足=α+β，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( )
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-1)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
解析：直接代入法.设C(x,y), ∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3).
∴⎩⎨⎧+=-=.
3,3βαβαy x 利用α+β=1,消去α、β得x+2y=5.答案：D
4.F 1、F 2为椭圆42x +3
2
y =1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________________________________. 解析：延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知DO=2
1F 2B=2，∴动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=4. 答案：x 2+y 2=4
5.已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是（ ）
A.y 2-482
x =1（y ≤-1） B.y 2-482x =1 C.y 2-482x =-1 D.x 2-482y =1
l
解析：由题意｜AC ｜=13，｜BC ｜=15，|AB|=14， 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴｜AF ｜-｜BF ｜=｜BC ｜-｜AC ｜=2. 故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为
2的双曲线下支. 又c=7,a=1,b 2=48, 所以轨迹方程为y 2-482
x =1(y ≤-1).答案：A 3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是 216y x =
4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程
是 2
234()125y x --=（右支）
5．已知椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是22(1)16x y ++=．
5．倾斜角为4π的直线交椭圆14
22=+y x 于B A ,两点，则线段AB
中点的轨迹方程是40(||x y x +=< 四.复习与提高
1. 已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为
29的点的轨迹是（ ）A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点
D. 两个点 2 在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 不完整的圆
C. 抛物线
D. 抛物线的一部分
3. 如图,定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点。

且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）
A. 一条线段，但要去掉两个点
B. 一个圆，但要去掉两个点
C. 一个椭圆，但要去掉两个点
D. 半圆，但要去掉两个点
4. 如图3，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A. 直线
B. 圆
C. 双曲线
D. 抛物线
图3
5. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 椭圆
D. 直线
6. 已知异面直线a,b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a,b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程。

1. 如图1，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4。

在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内
在以O 为圆心，3为半径的圆上。

又在β内到直线l 的距离等于2
9的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32
174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点。

因此所求点的轨迹是四个点，故选C 。

2. 因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP 。

又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB
CB PA AD APD tan ∠===∠， 即得2AD
CB PA PB ==在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B （3，0）。

设点P （x,y ），则有
2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++
由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B 。

3. 因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB 。

所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B 。

4. 因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等。

由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D 。

5. 以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系。

设P （x,y ），作AD PE ⊥于
E 、11D A P
F ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=
又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=。

依题意|PN ||PF |=， 即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+-故动点P 的轨迹为双曲线，
6. 如图，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面α上，直线'a 、'
b 为平面α内过MN 的中点O 分别平行于a 、b 的直线，
'a 'AA ⊥于'A ，'b 'BB ⊥于'B ，则P 'B 'A AB =⋂，且P 也为'B 'A 的中点。

由已知MN=2，AB=4，易知,2AP ,1'AA ==得32'B 'A =。

则问题转化为求长等于32的线段'B 'A 的两个端点'A 、'B 分别在'a 、'b 上移动时其中点P 的轨迹。

现以'OB 'A ∠的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系。

设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==，则)n 2
1,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (4
1)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9
x 22
=+。