山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学2016届高三数学下学期第四次联考试题(B卷)理(含解析

山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学2016届高三数学下
学期第四次联考试题（B 卷）理（含解析）
【满分150分，考试时间为120分钟】
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知全集为R ，集合{}
,086|121|2
≤+-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x B x A x
，则=)(B C A R ( )
A.{20|<≤x x 或}4>x
B.{20|≤<x x 或}4≥x
C.{}20|<≤x x
D.{}42|≤≤x x 【答案】
A
考点：1、一元二次不等式；2、指数函数的性质；3、集合的交集、并集和补集运算． 【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式、指数函数的性质和集合的交集、并集和补集运算，属于容易题．
2. 已知a 为实数，若复数2
(9)(3)z a a i =-++为纯虚数，则19
1a i i
++的值为 ( )
A.12i -- B ．12i - C ．12i + D ．12i -+ 【答案】B 【解析】
试题分析：因为复数2
(9)(3)z a a i =-++为纯虚数，所以290
,330
a a a ⎧-==⎨+≠⎩，，所以
193(3)(1)
12112
a i i i i i i i +---===-++，故选B ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算．
3. 下列函数中，既是奇函数,又在()+∞,0上为增函数的是( ) A ．x
x y 1+= B ．x y =
C ．3x y -= D.x y 2lg =
【答案】D 【解析】
试题分析：奇函数满足()()f x f x -=-，排除B .但x x y 1
+
=在()+∞,0先减后增，3
x
y -=在()+∞,0是减函数，故选D ．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性． 4. 下列命题的说法错误的是( )
A ．对于命题2
:,10p x R x x ∀∈++>, 则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤
B ．"1"x =是2"320"x x -+=的充分不必要条件
C ．若命题p q ∧为假命题，则p q ，都是假命题
D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 【答案】C
考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题．
【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．
5. 某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为，a x y
ˆ5
ˆ+=,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（ ）
A.9.2
B.9.5
C.9.8
D.10 【答案】B 【解析】
试题分析：由表中数据计算得7, 5.5x y ==，将(,)x y 即(7,5.5)代入a x y ˆ5
4
ˆ+=，得1
10
a =-
，所以回归直线方程为41510y x =-，将12x =代入得，
9.5y =，故选B ．
考点：线性回归分析．
6. 从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有( ) A.16种 B.18种 C.22种 D.37种 【答案】A
考点：1、简单组合问题；2、间接法．
7.
如果3n
x ⎛⎫ ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31
x 的系数是( ) A .-7
B. 7
C.-21
D.21
【答案】D 【解析】
试题分析：由已知，n
31=128,
2128,7n n ⎛⎫⨯== ⎝，所以7
3x ⎛⎫- ⎝
展开式通项为5
7773177(3)(1)3r
r r r r r r
r T C x C x ---+⎛⎫==- ⎝
，令573,63r r -=-=， 所以展开式中31x
的系数是6766
7(1)321C --=，故选D ．
考点：二项式定理．
【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“各项系数之和”，利用“赋值法”建立n 的方程，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识
点是二项式定理，即二项式()n
a b +的展开式的通项是1C k n k k
k n a b -+T =．
8. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 ( )
A.96
B.108
C.180
D.198 【答案】C
考点：1、三视图；2、几何体的体积． 9. 如上图所示程序框图中，输出S=( ) A ．45 B.﹣55
C.﹣66
D.66
第九次，81T =，45,S =不满足9n >，10;n =
第十次，100T =-，55,S =-满足9n >，输出55,S =-故选B ． 考点：算法与程序框图．
【名师点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“9n >”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到满足输出条件即可．
10. 已知函数()cos f x x x ωω=+()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公 差为
2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6
π个单位，得到函数()g x 的图象．若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“()g x ≥( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】
C
考点：1、几何概型；2、三角函数的图象和性质；3、三角函数的图象变换．
【名师点晴】本题综合性较强．关键在于首先确定函数()f x ，()g x 的解析式，以便于确定
得到不等式
()3
g x ≥2x 的范围是
[0,2]π，否则很容易出现错误．
11. 已知抛物线2
8y x =的焦点F 到双曲线C ：()22
2210,0y x a b a b
-=>>
渐近线的距离为
5
，点P 是抛物线2
8y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 ( )
A .
22
132y x -= B.2
2
14
x y -= C. 2212
3y x -= D.
2
214y x -= 【答案】D
考点：1、抛物线及其几何性质；2、双曲线标准方程及其几何性质．
【名师点晴】求圆锥曲线的标准方程．关键在于确定,,,,a b c e p 的方程（组）.本题根据已知条件首先建立了,a b 的一个方程，在此基础上，进一步将两个距离之和最小问题，转化成三点共线，确定得到c ，即,a b 的另一方程，计算应细心，避免出错．
12. 已知函数))(()(2
2
b ax x x x x f +++=,若对R x ∈∀,均有)2()(x f x f -=,则)(x f 的最小值为( ) A.4
9-
B ．16
25-
C.-2
D.0
【答案】A 【解析】
试题分析：因为对R x ∈∀,均有)2()(x f x f -=,所以)2()0(f f =，(1)(3)f f -=，所以
6(42)0,a b ++=12(93)0,a b ++=解得5,6a b =-=，
所以))(()(2
2b ax x x x x f +++=，2232'()(21)(56)()(25)41226f x x x x x x x x x x =+-+++-=-++24(1)2(43)(1)x x x x =--+-22(1)(243)x x x =---，令
2'()2(1)(243)0,f x x x x =---=解得1x =或12
x =±
，结合函数图象关于直线1x =对
称可知，12x =±
时，)(x f 的最小值为4
9
-，故选A ． 考点：1、函数的图象和性质；2、应用导数研究函数的性质．
【名师点晴】本题综合性较强，较全面地考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归思
想、基本运算能力等.根据对R x ∈∀,均有)2()(x f x f -=，确定函数的解析式是基础，应用导数研究函数的最值是关键，通过分解因式降次解方程是难点,计算要细心，否则很容易出现错误．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 设,x y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0
13
1y x x ，则2z x y =-的最大值为__________
【答案】3
考点：简单线性规划．
14. 已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心,则=+⋅+)()(__________ 【答案】6
1-
考点：1、平面向量的数量积；2、平面向量的线性运算；3、正三角形的性质．
15. 已知函数),()(2
3
R b a bx ax x x f ∈++-=的图象如图所示，它与x 轴在原点相切，且x 轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为
12
1
,则a 的值为_________
【答案】1- 【解析】
试题分析：由图可知，()0f x =有两个相等实根120x x ==，所以0b =，2
()()f x x x a =--，
由0
2
()a x x a dx ---=⎰44304411111
()|043431212
a a x ax a a -=-+=
=，得41,1a a ==-或1a =，由图可知0,a <故1a =-．
考点：定积分的应用．
【名师点晴】定积分的应用问题。

一般难度不大，但本题从确定函数中待定系数出发，综合
考查考生视图用图的能力、数形结合思想及基本运算能力．通过观察图象的特征，首先得到
0b =，给接下来解题打下了基础，图象位于横轴上方或下方，面积表达式有所不同，这点应
注意.
16．在ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边,且B a b sin 7=,若3
B π
=,则=C sin __
【答案】
14
13
考点：1、正弦定理；2、三角函数同角公式；3、两角和与差的三角函数．
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，关键在于能利用正弦定理实现边角转化，利用三角公式化简三角恒等式，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理或正弦定理确定角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(12*
∈-=N n S n n
(1) 求数列}{n a 的通项公式；
(2) 若1
232212+⨯-=+n
n n
n b ，且数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：1<n T 。

【答案】(1)1
2-=n n a ；(2)见解析.
考点：1.数列的和与通项公式；2.等比数列；3. “裂项相消法”.
【名师点睛】此类题目是数列问题中的常见题型..解答本题，根据数列和的表达式确定通项公式，注意“一算一验”，其中验证1n =是否符合2n ≥时的结果，易于忽视.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、归纳推理能力及基本计算能力等. 18. （本小题满分12分）
根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E 和方差)(X D . 【答案】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． （2）40.5，该居民区的环境需要改进． （3）变量ξ的分布列为
11881
012 1.8100100100E ξ=⨯
+⨯+⨯=（天）,或92 1.8
10E nP ξ==⨯=（天）
18.0=ξD
（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方
米）．因为
40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进． …………………………………………7分
考点：1、平均数、众数、中位数；2、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差；3、二项分布．
【名师点晴】本题主要考查的是离散型随机变量的分布列与数学期望、方差、平均数、众数、中位数、二项分布等，综合性较强，属于中档题．根据二项分布确定离散型随机变量的分布列时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．． 19. （本小题满分12分）
在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//CD,AB 2
ABC π
=
∠，
PB AB =CD BC PC 2===,平面PBC ⊥平面ABCD
（1）求证：AB ⊥平面PBC ；
（2）求平面ADP 与平面BCP 所成的锐二面角的大小.
【答案】（1）证明：见解析.（2）
4
π
. （2）如图，取BC 的中点O ，连接PO ，因为PB=PC ，所以PO ⊥BC.因为PB=PC ，所以PO ⊥BC ，因为平面PBC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O －xyz.
不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD 得，)0,2,1(),0,1,1(),3,0,0(A D P -. 6分
考点：1、垂直关系；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用． 【名师点晴】本题主要考查空间想象能力、基本运算能力、转化与化归思想等，属于中档题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等．角与距离的计算问题，往往有两种思路，一是“几何法”，二是“空间向量方法”，应视题目特点灵活选择. 20. （本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为22.以原点
为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线02=+-y x 相切．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，若斜率为)0(≠k k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于N M A ,,(A 点在椭圆右顶点的右侧)，且A MF F NF 212∠=∠.求证直线l 恒过定点，并求出斜率k 的取值范围．
【答案】(1) 22+y =1.2x (2) ,00,22⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
.
∵212NF F MF A ∠∠＝，
且222900.MF NF MF A k k ∠≠︒，＋＝ 又()21,0F ，则
1212=011y y x x +--，即1212=011
kx m kx m
x x +++--， 化简得1212()(2)20.kx x m k x x m ＋－＋－＝
将2121222
422x +x ,x x 2121
km m k k --==++代入上式得2m k ＝－， 9分 ∴直线l 的方程为2y kx k ＝－，即直线过定点()2,0． 10分 将2m k ＝－代入2
2
21m k ＜＋，
得22421k k ＜＋，即2
1
2
k ＜，，又∵0k ≠，
∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
. 12分 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、不等式解法．
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系等，得到k 的不等式.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21. （本小题满分12分） 设函数2)(--=ax e x f x
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）若k a ,1=为整数，且当0>x 时，1)(1
<'+-x f x x
k 恒成立，其中)(x f '为)(x f 的导函数，求k 的最大值.
【答案】（1）f （x ）在（-∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增. （2）k 的最大值为2 .
（2）由于a=1，
1)1)((1)(1
'
+<--⇔<+-x e x k x f x x k x x e x k e x x x +-+<∴>-∴>1
1
.01,0 7分
令x e x x g x +-+=11)(，min )(x g k <∴，2
2'
)
1()2(1)1(1)(---=+---=x x x x x e x e e e xe x g
考点：1、应用导数研究函数的性质；2、函数的零点；3、转化与化归思想．
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题关键是利用转化与化归思想、应用导数研究函数的性质，将问题转化成确定函数的最值问题，应用确定函数最值的方法.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且G E C D ,,,四点共圆. (Ⅰ)求证：ACG BAD ∠=∠； (Ⅱ) 若1GC =，求AB .
【答案】（Ⅰ）见解析； (Ⅱ) AB =
因为12
FA AB =，12FG GC =，3
2FC GC =，
所以
2213
44
AB GC =，即AB =，
又1GC =，所以AB ． ························ 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ························ 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，
因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ············· 6分 所以ABD △∽CGE △，所以
AB AD
CG CE
=
， ················ 7分 由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ··················· 9分 又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心，
所以2
3
AG AD =
,又=2=2AC AE EC ，
所以222
=23
AD EC ，所以AD CE =
所以AB CG
=1CG =，所以AB =
············· 10分 考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切割线定理等基础知识． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin cos 3⎩⎨
⎧==α
α
y x (其中α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线l 的极坐标方程为24sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-πθρ. (1)求C 的普通方程和直线l 的倾斜角；
(2)设点P (0，2)，l 和C 交于B A ,两点，求PB PA +.
【答案】（Ⅰ）2
219x y +=,
4π． ．
考点：1、参数方程；2、极坐标方程．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知)0(41
)(,)(1)(<++=∈-+-=x x x x g R a a x x x f
（1）若3=a ，求不等式4)(≥x f 的解集；
（2）对)0,(,21-∞∈∀∈∀x R x 有)()(21x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) 0|{≤x x 或4≥x }；(2) 3≥a 或1-≤a .
考点：1、绝对值不等式的解法；2、恒成立问题．。