安徽高三高中数学期末考试带答案解析

安徽高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2.复数的实部与虚部相等，则实数（）
A．B．C．D．
3.已知，，则等于（）
A．B．C．D．
4.已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（）A．B．C．D．
5.如果执行如图的程序框图，且输入，，则输出的（）
A．6B．24C．120D．720
6.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
8.已知平面平面，直线均不在平面内，且，则（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9.已知满足约束条件，目标函数的最大值是2，则实数（）
A．B．1C．D．4
10.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得其关，”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是（）
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了42里路
11.若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
12.已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有；
②；
③是偶函数；
若，，，则的大小关系正确的是（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知函数，若，则__________．
2.已知椭圆的右焦点到双曲线：的渐近线的距离小于，则双曲线的
离心率的取值范围是__________．
3.已知等差数列的公差为正数，，，为常数，则__________．
三、解答题
1.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”
乙说：“作品获得一等奖”
丙说：“两项作品未获得一等奖”
丁说：“是作品获得一等奖”
若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
2.在中，角所对的边分别为，，且.
（1）求角的值；
（2）若，求的面积.
3.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100
分）．
（1）求图中的值；
（2）估计该次考试的平均分（同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；
（3）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（参考公式：，其中）
4.如图所示，四棱锥，已知平面平面，
．
（I）求证：；
（II）若，求三棱锥的体积．
5.已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．
6.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底
数）．
（I）求的解析式及单调递减区间；
（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
7.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．
（1）求圆心的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．
8.选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为．
（I）求证：；
（II）若恒成立，求实数的最大值．
安徽高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.已知集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】集合，，}，所以
，故选A.
2.复数的实部与虚部相等，则实数（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
结合题意可知：，解得： .
本题选择B选项.
3.已知，，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，
．故选C.
4.已知公差不为的等差数列满足成等比数列，
为数列
的前项和，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d ,首项为a 1， 所以a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d .
因为a 1、a 3、a 4成等比数列，
所以(a 1+2d )2=a 1(a 1+3d ),解得：a 1=−4d . 所以
，
本题选择A 选项.
5.如果执行如图的程序框图，且输入，，则输出的（ ）
A ．6
B ．24
C ．120
D ．720
【答案】B
【解析】第一次循环，可得，第二次循环，可得， 第三次循环，可得，退出循环体，输出. 故选B.
6.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为
，故选A.
7.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】双曲线的焦点到渐近线：，即的距离为：
.
据此可知双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为 .
本题选择C选项.
点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为 (即)，应注意其区别与联系.
8.已知平面平面，直线均不在平面内，且，则（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【解析】对于A,若m⊥β,m⊥n,则n∥β或n⊂β，
又直线m,n均不在平面α、β内,∴n∥β，故A正确，C错误；
对于B,若n∥β,则β内存在无数条平行直线l,使得l∥n，
∵m⊥n，∴l⊥m，根据线面垂直的定义可知m与β不一定垂直，故B错误；
对于D,若n⊥β,m⊥β,则m∥n，与条件m⊥n矛盾，故D错误。

9.已知满足约束条件，目标函数的最大值是2，则实数（）
A．B．1C．D．4
【答案】A
【解析】当时,画出可行域如下图三角形ABC边界及内部,目标函数,写成直线的斜截式有 ,当有最大值时,这条直线的纵截距最小,,所以目标函数在A点取得最大值.联立 ,求得
,符合;
当时,画出可行域,红色区域,由于可行域是一个向轴负方向敞开的图形,所以不能取到最大值,不合题意,综上所述, ,选A.
10.在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得其关，”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是（）
A．此人第二天走了九十六里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第三天走的路程占全程的
D．此人后三天共走了42里路
【答案】C
【解析】依题意，设第一天走了里路，则，解得，故，，，，；因为，故C错误，故选C.
11.若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设切点为(),,所以切线方程为:,代入,得
,即这个关于的方程有两个解.化简方程为,即,令 (),,,在上单调递增,在上单调递减,, g(1)=0,所以,所以.选B.
【点睛】
对于曲线切点问题,一定要看清楚是在那个点,还是过那个点,如果不知道切点,需要自己设切点.通过求导求出切线方程,再代入过的那一定点.
12.已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有；
②；
③是偶函数；
若，，，则的大小关系正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由①得在上单调递增；由得②，故是周期为8的的周期函数，所以，；再由③可知的图像关于直线对称，所以，.结合在上单调递增可知，，即
.故选B.
点睛：本题主要考查了函数的单调性，周期性和对称性，当比较大小的自变量不在一个单调区间时，要根据已知条件转化到同一个单调区间.
由可知函数周期为8；
由是偶函数知函数关于对称；
由对任意的，当时，都有，得在上单调递增.
二、填空题
1.已知函数，若，则__________．
【答案】
【解析】由函数的解析式可知函数是奇函数，则： .
2.已知椭圆的右焦点到双曲线：的渐近线的距离小于，则双曲线的
离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】椭圆的右焦点为，由条件可得，
即，所以，从而得，进而解得离心率的取值范围是.
3.已知等差数列的公差为正数，，，为常数，则__________．
【答案】
【解析】由题设, , 即，可得两式相减得
，由于，所以，
由题设,，可得，由知,.
因为是等差数列，所以令，解得，故,由此可得是首项为1,公差为4的等
差数列,，是首项为3,公差为4的等差数列，所以.
三、解答题
1.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”
乙说：“作品获得一等奖”
丙说：“两项作品未获得一等奖”
丁说：“是作品获得一等奖”
若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
【答案】
【解析】若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B
故答案为：B
2.在中，角所对的边分别为，，且.
（1）求角的值；
（2）若，求的面积.
【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（1）由正弦定理将条件转化为，套用余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理得，进而讨论是否为0求解即可.
试题解析：
(Ⅰ）由正弦定理及可得，
又由余弦定理，得，所以；
（Ⅱ）由正弦定理及可得，从而有
，
当时，，，当时，有，.
.综上，的面积是.
3.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100
分）．
（1）求图中的值；
（2）估计该次考试的平均分（同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；
（3）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（参考公式：，其中）
【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）分；(Ⅲ)见解析.
【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1可求出；
（2）根据每个小矩形的中点乘以面积求和即可；
（3）套用的计算公式求值，查表下结论即可.
试题解析：
(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故.
(Ⅱ) 由频率分布直方图知各小组依次是，
其中点分别为对应的频率分别为，
故可估计平均分
（分）
(Ⅲ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，
故晋级成功的人数为（人），故填表如下
晋级成功晋级失败合计
假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
4.如图所示，四棱锥，已知平面平面，
．
（I）求证：；
（II）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
(1)利用题意证得平面．．
(2)，由（I）知，三棱锥的高，．
试题解析：
证明：中，
由，
解得，从而
．
平面平面，平面平面，
平面．又平面．
（II）
中边上的高长为．
，
由（I）知，三棱锥底面上的高长为，
．
点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
5.已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆左、右焦点，以点为圆
心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)由题意列出方程组求得，椭圆的方程为．
(2)设出直线MN的方程，联立直线与椭圆的方程，整理可得直线过定点．
试题解析：
（I）由题意得：，
解得：，
椭圆的方程为．
（II）依题意，设直线方程为：，
则，且．联立，
得，
，
又直线的方程为，
即
而，
直线的方程为，
故直线地定点．
6.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底
数）．
（I）求的解析式及单调递减区间；
（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）递减区间为和，增区间为.（2）
【解析】
(1)利用切线的斜率求得即可确定函数的解析式，然后结合函数的导函数和定义域即可确定函数的单调递减区间为和, 函数的的单调增区间为.
(2)问题等价于，分别讨论和两种情况可得： .
试题解析：
（1），，
由题意有：即：，
，由或，
函数的单调递减区间为和
由，函数的的单调增区间为.
（2）要恒成立，即
①当时，，则要：恒成立，
令，则，
再令，则，所以在单调递减，
，，在单调递增，
，
②当时，，则要恒成立，
由①可知，当时，，在单调递增，
当时，，，
在单调递增，，
综合①，②可知：，即存在常数满足题意.
7.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．
（1）求圆心的直角坐标；
（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】试题分析: (1)由 ,将极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求出直线上的点与圆心之间的距离, 由勾股定理求出切线长,再求出最小值.
（Ⅰ）∵，
∴，
∴圆的直角坐标方程为，即
∴圆心的直角坐标为.
（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为
，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.
8.选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为．
（I）求证：；
（II）若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）实数的最大值为.
【解析】（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，并求出最小值，再根据最小值为1，得结论，(2)先利用变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：的最小值，再利用1的代换及基本不等式求最值，即得实数的最大值.
试题解析：（Ⅰ）法一：，
∵且，
∴，当时取等号，即的最小值为，
∴，.
法二：∵，
∴，
显然在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为，
∴，. （Ⅱ）∵恒成立，
∴恒成立，
当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为.。