5-接触-碰撞

其中 r ζ A , 1 r 1
从属物体B 的表面为一条水平线，给出为
4 S x , y 1.5
B
s B, 0 s 1
B A 在例子中的相互侵彻已经被夸大了。注意到沿着界面有 n n
对于在表面 B 上的点 P 的坐标 (1, 1.5) ，找到相互侵彻。求与
2 接触界面方程
运动学--不可侵彻性条件
由于以位移形式表示交集为零的公式是不可能的，所以， 在接触过程的每一阶段中以率形式或者增量形式表示不可侵 彻性方程是很方便的。其率形式应用到物体 A 和 B上发生接 触的部分，即是位于接触表面上的那些点
A B N v A n A v B nB (v A v B ) n A vN vN 0
拉格朗日乘子法原理
拉格朗日乘子法的原理是首先不考虑接触，对 物体的加速度、速度和位移进行更新计算，得到试 探解答。然后，依据试探解进行接触判断，如果没 有发生接触，试探解就是真实解；否则，接触发生 并计算接触力，接触力的大小可以从接触的非穿透 条件得到（一致性条件）。得到接触力后，修正试 探解，使得该时间步最后得到的位移和速度等变量 满足接触的非穿透条件。该算法的最大优点是总是 能够保证接触界面节点满足非穿透条件。
一对物体的不可侵彻性条件可以表示为交集为零
A B 0
两个物体不允许重叠，这可以视为一个协调条件。对于大位 移问题，不可侵彻性条件是高度非线性的，并且一般不能以位移 的形式表示为一个代数方程或者微分方程。其困难源于在一个任 意运动中，不可能预先估计到两个物体的哪些点将发生接触。
例如，如果物体在旋转中，对于 P 点接触Q 点是可能的，而一个 不同的相对运动可能导致 P 点与 S 点接触。结论是：除了以一般 的形式，找不到其它的方程表示 P 点没有侵入物体A 的事实。
接触界面包含两个物体表 面的交界。
C ΓA ΓB
模拟接触-碰撞问题的标记
2
接触界面方程
A e1A e x
A A e2 ey
A n A e1A e 2
在主控接触表面的每一点建立局部坐标系统，可以构造相切 于主控物体表面的单位矢量：
物体A的法线给出为 在接触界面上有
切向面力投影到主控接触表面上的面力合力，由动量平衡要求
A tT tB T 0
当无摩擦接触时，切向面力为零
A tT tB T 0
在前面建立接触界面方程中，尽管选择了其中一个物体为主 控物体，当两个接触表面是重合时，且满足公式 n A n B ， 对于物体，这些方程是对称的。因此，可以任意选择一个物体作 为主控物体。但是，当两个表面不重合时，如在大多数数值求解 中，则主控物体的选择会改变结果。
得到上两式
并且利用法线是正交于与平面相切的单位矢量的事实。
不可侵彻性条件
A B N vN vN 0
在Γc上
对于在接触表面上的任意点，不可侵彻性条件限制了相互 侵彻速率成为负值，表示当两个物体发生接触时，它们或者必 须保持接触 ( N 0) 或者脱离 ( N 0) 。 对于接触区域上的所有点当满足上式时，精确满足不可侵 彻性条件。然而，公式与交集为零不是等价的。在大多数数值 方法中，仅在瞬时时刻注意到该式，对于接近分离而没有接触 的点，相互侵彻是可能的。该式仅适用于处于接触的成对点。
接触模拟可以利用通用接触 (general contact) 算法或者 接触对(contact pair)算法。通常定义一个接触模拟只需简单 地指定所采用的接触算法和将会发生接触作用的表面。在某些 情况下，当默认的接触设置不满足需要时，可以指定接触模拟 的其它形式；例如，考虑摩擦的相互作用力学模型。
在Γc上
B vN vB nA
两个物体的相互侵彻速率 利用
A vN vA nA,
A A A A A A A ˆ vN ˆ v A＝v N n v e n vT
B A B B ˆ v N ˆ v v n v e n vB T B B N A
A 点乘 n
t N 0 ，其
而当接触停止 N 0 ，并且法向面力消失 乘积总是为零。
2
例1
接触界面方程
A
B o Q P LPQ o
o
考虑发生部分侵彻的两个表面。主控物体是9节点等参单元， 所以表面A 的3个节点是二次映射定义：
x 2 1 r y
A


2 1 3 r (1 r ) 1 2 3
2 接触界面方程
动力学--面力条件
横跨接触界面，面力必须服从动量平衡。由于界面上没有质 量，这就要求两个物体上面力的合力为零：
tA tB 0
在法线方向上，不考虑在接触表面之间的任何粘性，法向面 力不能是拉力。其条件表示为
A B tN tN (x, t ) tБайду номын сангаасN (x, t ) 0
x
Q
, yQ 1.6023, 0.6624

其中 r ζ A , 1 r 1
2
接触界面方程
接触模拟或是基于表面（ surface ）或是基于接触单元 （ contact element ）。必须在模型的各个部件上创建可能发 生接触的表面。然后，必须判断哪一对表面可能发生彼此接触， 称之为接触对。最后，必须定义控制各接触面之间相互作用的 本构模型。这些接触面相互作用的定义包括如摩擦行为等。
问题：隐式接触算法能否可以定义和应用平衡主从权重？理 论上和程序上是否可以实现？估算计算成本如何。
2
接触界面方程
2 /St和/Ex都提供了有限滑动接触公式。在/St中的二维 有限滑动公式要求主控表面是光滑的；而在 /Ex 的主控表 面是由面元构成的，除非是解析刚性表面，其主控表面可 以是光滑的。 3 /St和/Ex都提供了小滑移接触公式。在/St中的小滑移 公式根据从属节点的当前位置向主控节点传递载荷。 /Ex 总是通过固定点传递载荷。 4 /Ex在接触逻辑中可以考虑壳和膜的当前厚度和中面偏 移，/St不能。 5 /Ex 通用接触算法的许多优势在 /St 中不具备。由于上 述的差异，所以在/St分析中定义的接触不能导入 /Ex中， 反之亦然。
罚函数方法原理
罚方法的原理是在每一时间步先检查各从属节点是否穿透 主控表面，没有穿透则没有发生接触，接触力为零值。如果发 生穿透，则在从属节点上施加一个和穿透量成正比的接触力。 这种处理方法相当于在该从属节点和主控表面之间引入了一个 刚度为β的非线性弹簧，以限制从属节点对主控表面的穿透量。 罚方法是近似地施加了非穿透约束条件，当罚参数增加时，更 接近于满足接触的非穿透条件（一致性条件）。 在罚方法中，罚力过大会造成节点速度的逆向，因此必须 限制罚力的大小，需要给出上限值。罚是拉回侵彻量的弹簧力。 罚方法是条件稳定的，当罚刚度增加时，稳定时间步长减小。
罚函数方法
一种能够避免 Lagrange 乘子求解困难的方法是罚函数。 罚方法是在接触节点之间附加一个刚度为 β的非线性弹簧。
在罚函数方法中，最终缝隙值将不是零，而是一个小量， 取决于所选择的参数值。罚函数方法的优点是可以根据判别 , 能够给出一个可接受结果的实际需要的参数值，进行适当的调 整。实际上，在一个复杂的问题中，这不是简单的工作，特别 是对于涉及梁、板、或壳单元与实体单元之间的接触问题。
即两个物体的法线方向相 反。以局部分量的形式表 示速度场
A A A A A A A ˆ vN ˆ v A＝v N n v e n vT
B A B A B B ˆ v N ˆ v B vN n v e n vB T
n A n B
在三维中，接触表面是 一个面， α 取值范围为 2 ； 当二维时，接触表面成为一 条线，α取值为1。
通用接触算法(general contact)
电子产品跌落模拟
在电子工业中，为了评估 产品的耐久性，仿真分析 正代替跌落试验。
非线性有限元的应用
电子产品跌落模拟
Global Model
LCD Submodel
2
接触界面方程
在 /Standard 和 /Explicit 中的力学接触算法具有本质的区 别，体现在如何定义接触条件： 1 /Standard在施加接触约束时采用严格主从权重：约束从 属表面节点不能侵入主控表面。而主控表面上的节点原则 上可以侵入从属表面。/Explicit包括这个公式，但是典型 地默认应用平衡主从权重。
B 这个条件要求 t N 为正数，即物体 B上面力在A 的单位法线上的投影，
它指向物体B。对应于物体 A和 B，注意到上面的表达式是不对称 的。为了定义法向面力，选择其中一个物体的法向，法向面力的 符号取决于所选择的这个法向。
面力条件
定义切向面力为
A A A tT t A tN n , B B A tB T t tN n
A B A 2 B 12 A 2 3 2 2 3 2 2 3 2
2 12
取最小化给出为
0
d PQ dr

1 PQ
r
3
3r
3 4

数值求解上式的根为r＝－0.2451，因此Q点位置为，
x 2 1 r y
A

2 1 3 r ( 1 r ) 1 3 2
威海轮胎力学培训课程
第 5 章
接触-碰撞
庄 茁 清华大学航院
2016年3月31日
1 引言
2 接触界面方程
3 摩擦模型 4 有限元离散
1 引 言
1 引言
在制造加工过程的仿真中包括接触和碰撞。例如，在薄金 属板的成型中，模具和工件之间接触面的模拟；汽车碰撞和挤 压成型的模拟，都需要有接触滑移界面。接触问题的失效形式 是相互作用的接触面发生破坏。 对于接触 - 碰撞，将展示 Lagrangian 网格的控制方程和有 限元程序。在接触中，物体的控制方程与前面介绍的方程是一 致的，但在接触界面上，需要增加动力学和运动学的条件。 关键条件是不可侵彻性条件：即两个物体不能互相侵入的 条件，不可侵彻性不能表示为一个简单的方程，所以，发展了 几种简单的方法。其中两个基于最近点映射的形式： 1）显式方法适用的率形式； 2）隐式方法适用的平衡解答。 此外，经典的Coulomb摩擦模型和界面本构模型。
2
接触界面方程
物体由标准场方程控制：质量、动量和能量的守恒，应变度 量，以及本构方程。接触增加了条件： 1 在界面上，两个物体不可相互侵入和面力满足动量守恒；
2
横跨接触界面的法向面力不能为拉力。
按照要求分类： 1 2 对于位移和速度的要求作为运动学条件， 对于面力的要求作为动力学条件。
不可侵彻性条件
2 接触界面方程
2
接触界面方程
在通用有限元软件中，接触算法能够处理多个物体的相互作 用，然而多个物体的接触包含成对物体的相互作用。因此，从考 虑两个物体的接触入手。
接触界面包括两个物体处于接触的两个物理表面，它们是重 合的，在数值计算中，两个表面一般不重合，分为主控和从属表 面。接触界面是时间的函数，如何确定接触界面，是接触-碰撞解 答的重要部分。
2
接触界面方程
A B N vN vN 0
A B tN tN (x, t ) t N (x, t ) 0
单一接触条件
由不可侵彻性条件 由法向面力不是拉力的条件
得到单一接触条件
tN N 0
这个方程也可以表示为接触力的法向分量不工作的事实。
当物体发生接触并且保持接触时
N 0 ；
1 引言
给出控制方程的弱形式，处理接触界面约束的四种方法： Lagrange乘子法， 罚方法， 增广的Lagrangian法， 摄动的Lagrangian法。
1 2 3 4
由 Lagrange乘子法，在接触问题的离散化中，在接触 界面上乘子必须是近似的。乘子必须满足法向面力是压力 的约束。 在罚方法中，面力不等式源于 Heaviside分步函数，该 函数被嵌入在罚力之中。
表面A 上点Q 正交投影的最小值
PQ
。
2
例1
接触界面方程
A
B o Q
o P (1, 1.5) LPQ o
对于在表面B上的点P，找到相互侵彻。求点Q 正交投影的最小值
PQ x ζ x ζ
B B A 2
x x y y 1 2(1 r ) r (1 r ) (1 r ) r (1 r )