福建省莆田八中高三数学上学期第二次月考试题 理

福建省莆田第八中学2015届高三上学期第二次月考数学（理）试题
1．复数z ＝－3＋i
2＋i
的共轭复数是( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
2．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设集合P ＝{x|x 2
－x －2≥0}，Q ＝{y|y ＝12
x 2－1，x ∈P}，则P∩Q＝
A ．{m|－1≤m＜2}
B ．{m|－1＜m ＜2}
C ．{m|m≥2}
D ．{－1}
4．函数2
()ln(1)(0)f x x x x
=+->的零点所在的大致区间是 ( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2，e)
D ．(3,4)
5．由曲线y ＝x 2
和直线y ＝0，x ＝1，y ＝14
所围成的封闭图形的面积为
A.16
B.13
C.12
D.23
6．函数f(x)＝3sin(2x －π
3)的图象为C ，如下结论中正确的是( )
A ．图象C 关于直线x ＝π6对称
B ．图象
C 关于点(－π
6
，0)对称
C ．函数f(x)在区间(－π12，5π12)内是增函数
D ．由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度
可以得到图象C
7．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )
A ．156
B ．52
C ．26
D ．13
8．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝5
13
，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )
A.
6365 B.1365 C.33
65
D.6365或33
65
9．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，3
2
]，则AB →与BC →夹角的取值范围是
A ．[π4，π3]
B ．[π6，π4]
C ．[π6，π3]
D ．[π3，π2
]
10．已知函数f(x ＋1)是偶函数，当x 2＞x 1＞1时，[f(x 2)－f(x 1)]·(x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f(－1
2
)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．b ＜a ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜b ＜c 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．曲线y ＝xe x
＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
12．已知向量a 、b 的夹角为45°，且|a|＝4，(1
2a ＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝________，
b 在a 方向上的投影等于________．
15．已知函数y ＝f(x)是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2
x 1－x 2
＞0，给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分13分)已知等差数列{a n }中，a 3＝24，S 11=0,
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前n 项和S n ；
（3）当n 为何值时，S n 最大，并求S n 的最大值。

17． (本小题满分13分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知向量m ＝(cos 3A
2，
sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A
2
)，且满足|m ＋n|＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．
18．（本小题满分13分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x ∈N 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500
x
a -
万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高000.2x .
（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
19． (本小题满分13分)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足条件：①f(0)＝－1；②对任意x∈R，均有f(x－4)＝f(2－x)；③函数f(x)的图象与函数g(x)＝x－1的图象相切．(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当且仅当x∈[4，m](m＜4)时，f(x－t)≤g(x)恒成立，试求t、m的值．
20． (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝x2－alnx在区间(1,2]内是增函数，g(x)＝x－a x在区间(0,1)内是减函数．(1)求f(x)、g(x)的表达式；
(2)求证：当x＞0时，方程f(x)－g(x)＝x2－2x＋3有唯一解；
(3)当b＞－1时，若f(x)≥2bx－1
x2
在x∈(0,1]内恒成立，求b的取值范围．
21．（本题满分14分）本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与
(0，－2).
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y=4，求l的方程．
（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程
在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为sin()14
π
ρθ+
=，圆C 的圆心是
)4
C π。

（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长。

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设函数()|21||3|f x x x =+--。

（Ⅰ）解不等式()0f x >；
（Ⅱ）已知关于x 的不等式3()a f x +<恒成立，求实数a 的取值范围。

高三理科数学第二次月考试卷答案
一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的) DBCBA CCABA
8.解：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝5
13<sin β，因此有α
＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π
2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α
＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－12
13
，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin β＝6365
.
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11. y ＝3x ＋1 12.2，1
13.解： 从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个，…故a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝
n n ＋1
2
.
14.8 15.解：由已知f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得f (3)＝f (－3)＋f (3)，则f (－3)＝0，又函数为偶函数，故f (－3)＝f (3)＝0，故①正确．据此可得f (x ＋6)＝f (x )，即函数以6为周期，由条件还可知函数在[0,3]上递增，据此可作出满足题意的函数图象如图：观察图象可知函数在[－9，－6]上递减，即③错，②④均正确，故应填①②④.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.解：
17.解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2
＋n 2
＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A
2)＝3，
∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π
3
.
(2)∵b ＋c ＝3a ，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32＝3
2.
∴sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝3
2
.
即sin(B ＋π6)＝32，∴B ＋π6＝π3或2
3
π.
当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π
6. 综上，△ABC 为直角三角形．
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，……………………3分
即x 2
－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.
即最多调整出500名员工从事第三产业． ……………………5分 （Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500
x
a x -万元，从事原产业的员工创造的年总利润为10(1000－x ) (1＋0.2x %)万元， 则310()500x
a x -
≤10(1000－x ) (1＋0.2x %)， ……………………8分 所以223110002500500x ax x x x -≤+--，所以2
21000500x ax x ≤++， 即210001500x a x ≤++恒成立， ……………………10分
因为210004500x x +≥=，
当且仅当21000
500x x
=
，即500x =时等号成立．……………………12分 所以5a ≤，又0a >，所以05a <≤，即a 的取值范围为(0,5]．…………13分
19.解：(1)由①得c ＝－1. 由②知，－b
2a ＝－1，即b ＝2a ，
∴f (x )＝ax 2
＋2ax －1.
由③知，方程ax 2
＋2ax －1＝x －1， 即ax 2
＋(2a －1)x ＝0有两个相等的实根， ∴a ＝12，∴b ＝1，故f (x )＝12
x 2
＋x －1.
(2)∵当且仅当x ∈[4，m ](m ＞4)时，f (x －t )≤g (x )恒成立，∴不等式12(x －t )2
＋x －t
－1≤x －1，
即x 2
－2tx ＋t 2
－2t ≤0的解集为[4，m ]，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
4＋m ＝2t ，4m ＝t 2
－2t ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
t ＝8
m ＝12或⎩
⎪⎨
⎪⎧
t ＝2，
m ＝0.
∵m ＞4，∴t ＝8，m ＝12符合题意．
20.解： (1)f ′(x )＝2x －a
x
，依题意f ′(x )≥0，x ∈(1,2]，即a ≤2x 2
，x ∈(1, 2]． ∵上式恒成立，∴a ≤2.① 又g ′(x )＝1－
a
2x
，依题意g ′(x )≤0，x ∈(0,1)，
即a ≥2x ，x ∈(0,1)． ∵上式恒成立，∴a ≥2.②
由①②得a ＝2，∴f (x )＝x 2
－2ln x ，g (x )＝x －2x . (2)由(1)可知，方程f (x )－g (x )＝x 2
－2x ＋3， 即x ＋2x －2ln x －3＝0.
设h (x )＝x ＋2x －2ln x －3，则h ′(x )＝1＋
1
x －2x
.
令h ′(x )＞0，并由x ＞0，得x ＋x －2＞0，解得x ＞1； 令h ′(x )＜0，并由x ＞0，解得0＜x ＜1. 列表分析：
知h (x )在x
当x＞0且x≠1时，h(x)＞0，∴h(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个解，即当x＞0时，方程f(x)－g(x)＝x2－2x＋3有唯一解．
(3)由题意知f(x)≥2bx－1
x2，即x2－2ln x－2bx＋
1
x2
≥0，
设φ(x)＝x2－2ln x－2bx＋1
x2
，则φ′(x)＝2[(x－
1
x
)－(b＋
1
x3
)]．
∵x∈(0,1]，b＞－1，∴φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0,1]上为减函数，∴φ(x)min＝φ(1)＝2－2b≥0.
又b＞－1，∴－1＜b≤1，∴b的取值范围为(－1,1]
··········。