备战中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优篇含答案

备战中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优篇含答案
一、平行四边形
1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E．
（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）
（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．
①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE，
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得
EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
③同②的方法可证．
试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，
∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，
∵OE⊥AB，
∴OE=1
2 AB，
∴AB=2OE，
（2）①AF+BF=2OE
证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠BHE=∠BHO=90°
∵OE⊥MN，BF⊥MN
∴∠BFE=∠OEF=90°
∴四边形EFBH为矩形
∴BF=EH，EF=BH
∵四边形ABCD为正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°
∴∠AOE=∠OBH
∴△AEO≌△OHB（AAS）
∴AE=OH，OE=BH
∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．
②AF﹣BF=2OE
证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠EHB=90°
∵OE⊥MN，BF⊥MN
∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°
∴四边形HBFE为矩形
∴BF=HE，EF=BH
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH
∴∠AOE=∠OBH
∴△AOE≌△OBH（AAS）
∴AE=OH，OE=BH，
∴AF﹣BF
=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE
③BF﹣AF=2OE，
如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，
∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG．
∵OG⊥BF，OE⊥AE，
∴∠AEO=∠BGO=90°．
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴OE=OG，AE=BG，
∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，
∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，
∴BF﹣AF=2OE．
2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明
理由
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62
或
23
.
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；
（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，
∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，∴OF=1
2
EK=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，
∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；
（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，
∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，
在Rt△EFK中，tan∠3
∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，
∴EK=2FK=4，OF=1
2
EK=2，
∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，
在Rt△PHF中，PH=1
2
PF=1，3OH=23
∴()2
2
12362
+-=
如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，
∴∠BOP=90°，
∴OP=33OE=233
， 综上所述：OP 的长为62-或
233. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．如图①，在等腰Rt ABC V 中，90BAC ∠=o ，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=o ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED V 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED V 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =
②4222
【解析】
【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF V
是等腰直角三角形即可；
()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明EKF V ≌EDA V 再证明AEF V 是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF 2AE =．
理由：Q 四边形ABFD 是平行四边形，
AB DF ∴=，
AB AC =Q ，
AC DF ∴=，
DE EC =Q ，
AE EF ∴=，
DEC AEF 90∠∠==o Q ，
AEF ∴V 是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
故答案为AF 2AE =．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
Q 四边形ABFD 是平行四边形，
AB//DF ∴，
DKE ABC 45∠∠∴==o ，
EKF 180DKE 135∠∠∴=-=o o ，EK ED =，
ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=o o o o Q ，
EKF ADE ∠∠∴=，
DKC C ∠∠=Q ，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==Q ，
KF AD ∴=，
在EKF V 和EDA V 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
EKF ∴V ≌EDA V ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，
FEA BED 90∠∠∴==o ， AEF ∴V 是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，
如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知
AE AH EH 32222=-==，
综上所述，满足条件的AE 的长为42或22．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
4．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；
（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.
【答案】（1）()22303y x x x =
-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2或1172
. 【解析】
试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．
（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，
∠AET =∠B =70°．
又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．
②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-，
则()22303y x x x =-++<<
（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，
∴∠AET =∠B =70°．
又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2．
②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-=-， 则2241174AD CA x x AC CB x -±=⇒=⇒=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 的长为
117+． 综上所述：边BC 的长为2或1172
+．
点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．
5．如图所示，矩形ABCD 中，点E 在CB 的延长线上，使CE ＝AC ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接BF 、DF ，求证：BF ⊥DF ．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ，进而求证△AFM ≌△EFB ，得AM =BE ，FB =FM ，即可求得BC +BE =AD +AM ，进而求得BD =BM ，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF ⊥DF ．
【详解】
延长BF ，交DA 的延长线于点M ，连接BD ．
∵四边形ABCD 是矩形，∴MD ∥BC ，∴∠AMF =∠EBF ，∠E =∠MAF ，又FA =FE ，∴△AFM ≌△EFB ，∴AM =BE ，FB =FM ．
∵矩形ABCD 中，∴AC =BD ，AD =BC ，∴BC +BE =AD +AM ，即CE =MD ．
∵CE =AC ，∴AC =CE = BD =DM ．
∵FB =FM ，∴BF ⊥DF ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB =DM 是解题的关键．
6．已知90AOB ∠=︒，点C 是AOB ∠的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角MCN ∠绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E .
（1）如图1，若CD OA ⊥，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明.
（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且2OD =，8OE =，请直接写出线段CE 的长度.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（334【解析】
【分析】
（1）先证四边形ODCE 为矩形，再证矩形ODCE 为正方形，由正方形性质可得；（2）过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，证四边形OGCH 为正方形，再证()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得；（3）根据()CGD CHE ASA ∆≅∆，可得
2OE OD OH OG OC -=+=.
【详解】
解：（1）∵90AOB ∠=︒，90MCN ∠=︒，CD OA ⊥，
∴四边形ODCE 为矩形.
∵OP 是AOB ∠的角平分线，
∴45DOC EOC ∠=∠=︒，
∴OD CD =，
∴矩形ODCE 为正方形， ∴2OC OD =，2OC OE =.
∴2OD OE OC +=.
（2）如图，过点C 作CG OA ⊥于点G ，CH OB ⊥于点H ，
∵OP 平分AOB ∠，90AOB ∠=︒，
∴四边形OGCH 为正方形，
由（1）得：2OG OH OC +=
，
在CGD ∆和CHE ∆中， 90CGD CHE CG CH
DCG ECH ︒
⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()CGD CHE ASA ∆≅∆，
∴GD HE =，
∴2OD OE OC +=.
（3）2OG OH OC +=
， ()CGD CHE ASA ∆≅∆，
∴GD HE =. ∵OD GD OG =-，OE OH EH =+，
∴2OE OD OH OG OC -=+=
， ∴32OC =，
∴34CE =，
CE 的长度为34.
【点睛】
考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.
7．（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使BC 落在对角线BD 上，折痕为BE ，点C 落在点C '处，若42ADB =o ∠，则DBE ∠的度数为______o .
（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD ，4AB =，9AD =.
（画一画）如图2，点E 在这张矩形纸片的边AD 上，将纸片折叠，使AB 落在CE 所在直线上，折痕设为MN （点M ，N 分别在边AD ，BC 上），利用直尺和圆规画出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；
（算一算）如图3，点F 在这张矩形纸片的边BC 上，将纸片折叠，使FB 落在射线FD 上，折痕为GF ，点,A B 分别落在点A '，B '处，若73AG =，求B D '的长.
【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算：3B D '=
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；
（2）【画一画】，如图2中，延长BA 交CE 的延长线由G ，作∠BGC 的角平分线交AD 于M ，交BC 于N ，直线MN 即为所求；
【算一算】首先求出GD=9-72033
=，由矩形的性质得出AD ∥BC ，BC=AD=9，由平行线的性质得出∠DGF=∠BFG ，由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG ，证出∠DFG=∠DGF ，由等腰三
角形的判定定理证出DF=DG=
203
，再由勾股定理求出CF ，可得BF ，再利用翻折不变性，可知FB′=FB ，由此即可解决问题．
【详解】 （1）如图1所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=42°，
由翻折的性质可知，∠DBE=∠EBC=1
2
∠DBC=21°，
故答案为21．
（2）【画一画】如图所示：
【算一算】
如3所示：
∵AG=7
3
，AD=9，
∴GD=9-720
33
=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC=AD=9，
∴∠DGF=∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG=20
3
，
∵CD=AB=4，∠C=90°，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得：
2
222
2016
4
33 DF CD
⎛⎫
-=-=
⎪
⎝⎭
，
∴BF=BC-CF=91611
33
-=，
由翻折不变性可知，FB=FB′=113， ∴B′D=DF -FB′=
2011333
-=. 【点睛】 四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
8．△ABC 为等边三角形，AF AB =．BCD BDC AEC ∠=∠=∠．
(1)求证：四边形ABDF 是菱形．
(2)若BD 是ABC ∠的角平分线，连接AD ，找出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析；(2)图中等腰三角形有△ABC ，△BDC ，△ABD ，△ADF ，△ADC ，△ADE ．
【解析】
【分析】
（1）先求证BD ∥AF ，证明四边形ABDF 是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）先利用BD 平分∠ABC ，得到BD 垂直平分线段AC ，进而证明△DAC 是等腰三角形，根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ，找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形，进而得到BC ＝BD ＝BA ＝AF ＝DF ，即可解题,见详解.
【详解】
(1)如图1中，∵∠BCD ＝∠BDC ，
∴BC ＝BD ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ，
∵AB ＝AF ，
∴BD ＝AF ，
∵∠BDC ＝∠AEC ，
∴BD ∥AF ，
∴四边形ABDF 是平行四边形，
∵AB ＝AF ，
∴四边形ABDF 是菱形．
(2)解：如图2中，∵BA＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△DAC是等腰三角形，
∵AF∥BD，BD⊥AC
∴AF⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵∠DAC＝∠DCA，∠DAC+∠DAE＝90°，∠DCA+∠AEC＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DA＝DE，
∴△DAE是等腰三角形，
∵BC＝BD＝BA＝AF＝DF，
∴△BCD，△ABD，△ADF都是等腰三角形，
综上所述，图中等腰三角形有△ABC，△BDC，△ABD，△ADF，△ADC，△ADE．
【点睛】
本题考查菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，属于中考常考题型，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣6，0）、点C（0，6），若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：
（1）如图①，当α＝45°时，求BC与A′B′的交点D的坐标；
（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；
（3）若P为线段BC′的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）(662,6)-；（2）(333,333)-+；（3）323323AP -+剟.
【解析】
【分析】
（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626-，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；
（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标；
（3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12
OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】
解：（1）∵A （﹣6，0）、C （0，6），O （0，0），
∴四边形OABC 是边长为6的正方形，
当α＝45°时，
如图①，延长OA′经过点B ，
∵OB ＝62，OA′＝OA ＝6，∠OBC ＝45°，
∴A′B ＝626-，
∴BD ＝（626-）×21262=-，
∴CD ＝6﹣（1262-）=626-，
∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为（662-，6）；
（2）如图②，过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ， ∵∠OC′B′＝90°，
∴∠OC′M ＝90°﹣∠B′C′N ＝∠C′B′N ，
∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，
∴△OMC′≌△C′NB′（AAS ），
当α＝60°时，
∵∠A′OC′＝90°，O C′＝6，
∴∠C′OM ＝30°，
∴C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，
∴点B′的坐标为()333,333-+；
（3）如图③，连接OB ，AC 相交于点K ，
则K 是OB 的中点，
∵P 为线段BC′的中点，
∴PK ＝12
OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，
∵AK ＝32， ∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，
∴AP 长的取值范围为323323AP -+剟.
【点睛】
本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．
10．如图，现将平行四边形ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落在点B ′处．AB ′与CD 交于点E ．
（1）求证：△AED ≌△CEB ′；
（2）过点E 作EF ⊥AC 交AB 于点F ，连接CF ，判断四边形AECF 的形状并给予证明．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可得AD=BC=B'C，∠B=∠D=∠B'，且∠AED=∠CEB'，利用AAS证明全等，则结论可得；
（2）由△AED≌△CEB′可得AE=CE，且EF⊥AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，∠AEF=∠CEF．即AF=CF，∠CEF=∠AFE=∠AEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，CD∥AB，∠B＝∠D
∵平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠
∴BC＝B'C，∠B＝∠B'
∴∠D＝∠B'，AD＝B'C且∠DEA＝∠B'EC
∴△ADE≌△B'EC
（2）四边形AECF是菱形
∵△ADE≌△B'EC
∴AE＝CE
∵AE＝CE，EF⊥AC
∴EF垂直平分AC，∠AEF＝∠CEF
∴AF＝CF
∵CD∥AB
∴∠CEF＝∠EFA且∠AEF＝∠CEF
∴∠AEF＝∠EFA
∴AF＝AE
∴AF＝AE＝CE＝CF
∴四边形AECF是菱形
【点睛】
本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键．
11．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）
【解析】
试题分析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出
GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得
x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.
试题解析：（1）结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
∴1=x2+（2x+x）2，
解得x=，
∴BN=，
∴BG=BN÷cos30°=．
考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质
12．如图1，矩形ABCD中，AB=8，AD=6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作
EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．
（1）①如图2，当点F与点B重合时，CE=，CG=；
②如图3，当点E是BD中点时，CE=，CG=；
（2）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明；
（3）在图1，CG
CE
的值是否会发生改变？若不变，求出它的值；若改变，说明理由；
（4）在图1，设DE的长为x，矩形CEFG的面积为S，试求S关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．
【答案】（1）24
5
，
18
5
，5，
15
4
；（2）△EBG是直角三角形，理由详见解析；（3）
3 4；（4）S=
3
4
x2﹣
48
5
x+48（0≤x≤
32
5
）．
【解析】
【分析】
（1）①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；
（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这
个三角形是直角三角形即可判断；
（3）只要证明△DCE ∽△BCG ，即可解决问题；
（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；
【详解】
（1）①如图2中，
在Rt △BAD 中，BD=22AD AB +=10， ∵S △BCD =
12•CD•BC=12•BD•CE ， ∴CE=245．CG=BE=2224186()=55
-． ②如图3中，过点E 作MN ⊥AM 交AB 于N ，交CD 于M ．
∵DE=BE ，
∴CE=12
BD=5， ∵△CME ∽△ENF ，
∴CM EN CE EF
=， ∴CG=EF=
154， （2）结论：△EBG 是直角三角形．
理由：如图1中，连接BH ．
在Rt △BCF 中，∵FH=CH ，
∴BH=FH=CH ，
∵四边形EFGC 是矩形，
∴EH=HG=HF=HC ，
∴BH=EH=HG ，
∴△EBG 是直角三角形．
（3）F 如图1中，∵HE=HC=HG=HB=HF ，
∴C 、E 、F 、B 、G 五点共圆，
∵EF=CG ，
∴∠CBG=∠EBF ，
∵CD ∥AB ，
∴∠EBF=∠CDE ，
∴∠CBG=∠CDE ，
∵∠DCB=∠ECG=90°，
∴∠DCE=∠BCG ，
∴△DCE ∽△BCG ， ∴
6384
CG BC CE DC ===． （4）由（3）可知： 34
CG CD CE CB ==， ∴矩形CEFG ∽矩形ABCD ， ∴2
264
CEFG ABCD S CE CE S CD ==矩形矩形（）， ∵CE 2=（325-x ）2+245
）2，S 矩形ABCD =48， ∴S 矩形CEFG =
34
[（325-x ）2+（245）2]. ∴矩形CEFG 的面积S=34
x 2-485x+48（0≤x≤325）． 【点睛】 本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
13．已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE=OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF 与BC 交于点H ，再连接EF ．
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；
（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；
（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；
（2）EF⊥BC仍然成立；
（3）EF=BC
【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；
（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；
（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和
AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．
试题解析：（1）连接AH，如图1，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=BC，OH=HF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2，
∴AH==BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH=EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，BC=EF，
∴EF⊥BC，EF=BC；
（2）EF⊥BC仍然成立，EF=BC，如图2，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=BC，OH=HF，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（BH）2﹣BH2=BH2，
∴AH=BH=BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH=EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，BC=EF，
∴EF⊥BC，EF=BC；
（3）如图3，
∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH=HC=BC，OH=HF，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=kBC，AH⊥BC，
在Rt△ABH中，AH2=AB2﹣BH2=（kBC）2﹣（BC）2=（k2-）BC2，
∴AH=BH=BC，
∵OA=AE，OH=HF，
∴AH是△OEF的中位线，
∴AH=EF，AH∥EF，
∴EF⊥BC，BC=EF，
∴EF=BC．
考点：四边形综合题．
14．如图①，在△ABC中，AB=7，tanA=，∠B=45°．点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥AB．交折线AC-CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设点P的运动时间为t（秒），正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）直接写出正方形PQMN的边PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点M落在边BC上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）如图②，点P运动的同时，点H从点B出发，沿B-A-B的方向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在A-B上的速度为每秒4个单位长度，当点H停止运动时，点P也随之停止，连结MH．设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2（平方单位）（0＜S1＜S2），直接写出当S2≥3S1时t的取值范围．
【答案】(1) PQ=7-t．(2) t=．(3) 当0＜t≤时，S=．当＜t≤4，
．当4＜t＜7时，．（4）或或
．
【解析】
试题分析：（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时，当点Q在线段BC上时．（2）根据AP+PN+NB=AB，列出关于t的方程即可解答；
（3）当0＜t≤时，当＜t≤4，当4＜t＜7时；
（4）或或．
试题解析：（1）当点Q在线段AC上时，PQ=tanAAP=t．
当点Q在线段BC上时，PQ=7-t．
（2）当点M落在边BC上时，如图③，
由题意得：t+t+t=7，
解得：t=．
∴当点M落在边BC上时，求t的值为．
（3）当0＜t≤时，如图④，
S=
． 当＜t≤4，如图⑤，
．
当4＜t ＜7时，如图⑥，
．
（4）或或．．
考点：四边形综合题.
15．已知ABC V ，以AC 为边在ABC V 外作等腰ACD V ，其中AC AD =.
（1）如图①，若AB AE =，60DAC EAB ∠=∠=︒，求BFC ∠的度数.
（2）如图②，ABC α∠=，ACD β∠=，4BC =，6BD =.
①若30α=︒，60β=︒，AB 的长为______.
②若改变,αβ的大小，但90αβ+=︒，ABC V 的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律.
【答案】（1）120°；（2）55【解析】
试题分析：（1）根据SAS ，可首先证明△AEC ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC 的度数；
（2）①如图2，在△ABC 外作等边△BAE ，连接CE ，利用旋转法证明△EAC ≌△BAD ，可
证∠EBC=90°，EC=BD=6，因为BC=4，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；
②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可得出结论．
试题解析：
解：（1）∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△AEC和△ABD中{AE AB
EAC BAD AC AD
=
∠=∠
=
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，
故答案为120°；
（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．
由（1）可知△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∴EC=BD=6，
∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
在RT△EBC中，EC=6，BC=4，
∴22
EC BC
-22
64
-
∴
②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，
以下证明：如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即∠EAC=∠BAD，
在△EAC与△BAD中
{AB AE
EAC BAD AC AD
=
∠=∠
=
∴△EAC≌△BAD．∴EC=BD=6．
在RT△BCE中，
∴AH=1 2
∴S△ABC=1 2
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。