四川省2016年高考模拟数学(理)试题

2016年高考模拟试题（四川卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ={x ∈N |0≤x ≤6}，集合A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，则 （ ）
A ．0∈A I B
B ．0∈(U A ð)I B
C ．0∈(A )I (U B ð)
D ．0∈(U A ð)I (U B ð)
2．5名同学去听同时举行的3个课外知识讨论，每名同学可自由选择听其中的1个讨论，不同选择的种数是
（ ）
A ．10
B ．60
C ．125
D ．243 3．要得到函数y =sin(2x +4
π
)的图象，只需将函数y =cos2x 的图象
（ ）
A ．向左平移8π个单位长度
B ．向右平移8π
个单位长度
C ．向左平移4π个单位长度
D ．向右平移4
π
个单位长度
4．设M 是Y ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA uur +OB uu u r +OC uuu r +OD uuu r
=
（ ）
A ．OM uuu r
B ．2OM uuu r
C ．3OM uuu r
D ．4OM uuu r 5．函数y =
cos 2x x cos x (x ∈[0,π])为增函数的区间是 （ ）
A ．[0,3
π
] B ．[
12π,3
π] C ．[
3π,65π] D ．[
6
5π,π] 6．如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，则梯形面积y 和腰长x 间的函数的大致图象是 （ ）
A ．
B ．
D ．
7．曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积是 （
）
A ．π+2
B ．π+1
C ．
2
π+2 D ．
2
π+1 x x x
8．函数f(x) = (1
2
)x+log
1
2
x，g(x) =(
1
2
)x+log2x，h(x) = 2x+log2x的零点分别为a，b，c，则
（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
9．运行如下程序框图，如果输入的x∈[7,11]，则输出y属于（）A．(-20,12]B．(-20,16]
C．[-20,12]D．[-20,16]
10.已知x，y满足不等式组
0,
0,
,
2 4.
x
y
x y s
y x
⎧
⎪
⎪
⎨
+
⎪
⎪+
⎩
≥
≥
≤
≤
当3≤s≤5时，
目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（
A．[6,15]B．[7,15]
C．[6,8]D．[7,8]
1
A
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．
11.双曲线
22
1
916
y x
-=的焦点到其渐近线的距离是．
12.(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数是．
13.把复数z1在复平面内的对应点P绕原点逆时针旋转90°得复数z2在复平面内的对应点Q，
z1=2+i，则z1z2=．
14.已知x＞0，y＞0，且4xy-x-2y=4，则xy的最小值为．
15.正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是线段AC，B1D1上的动点．现有如下命题：
（1）∃P，Q，使得AQ∥C1P；
（2）∃P，Q，使得AQ⊥C1P；
（3）∃P，Q，使得AQ∥BP；
（4）∃P，Q，使得AQ⊥BP．
其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
16.（本小题满分12分）
某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
4
5
、
3
4
、2
3
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率；
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题正确的个数记为ξ，求随机变量ξ 的分布列与数学期望．
17.（本小题满分12分）
已知S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．
(Ⅰ)求证：a2，a8，a5成等差数列；
(Ⅱ)若a1-a4=3，求a1+a4+a7+…+a31．
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，平面SAB ⊥底面ABCD ，且SA =SB
AD =1，AB =2，BC =3． (Ⅰ)求证：平面SAD ⊥平面SBC ；
(Ⅱ)求面SCD 与底面ABCD 所成二面角的余弦值．
19.（本小题满分12分）
已知AD 是△ABC 的角平分线，且△ABD 的面积与△ACD 的面积比为3:2．
(Ⅰ)求sin sin B
C 的值；
(Ⅱ)若AD
=，∠C =2∠B ，求△ABC 的面积．
20.（本小题满分13分）
如图，椭圆C :22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)经过点P (2,3)，离
心率e =1
2
，直线l 的方程为y =4．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦(不经过点P )．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，
k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得11k +21k =3k λ
？若存在，
求λ的值．
21.（本小题满分14分）
已知直线y =x +b 与函数f (x )=ln x 的图象交于两个不同的点A ，B ，其横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2．
(Ⅰ)求b 的取值范围； (Ⅱ)证明：x 1x 22＜2．
2016年高考模拟试题（四川卷）
数学（理科）
一、选择题． 1.D
因为0∉A ，0∉B ，所以0∈(U A ð)I (U B ð)。

2.D
5名同学去听同时举行的3个课外知识讨论，每名同学可自由选择听其中的1个讨论，因此每名同学有3个选择，由乘法原理可知，种数是3×3×3×3×3=243。

3.B y =cos2x =sin(2x +2π)=sin2[(x +8π)+4π)，故只需将y =cos2x 的图象向右平移8
π
个单位长度就得到y =sin(2x +
4
π
)的图象。

4.D
由平面向量加法的几何意义知道， OA uur +OB uu u r +OC uuu r +OD uuu r =(OA uur +OC uuu r )+(OB uu u r +OD uuu r )=2OM uuu r +2OM uuu r =4OM uuu r 。

5.C
y =
cos 2x x cos x =1cos 22
x +x =sin 6πcos 2x - cos 6πsin2x +12
=-sin(2x -
6π)+1
2。

当x ∈[0,π]时，2x -6π∈[-6π,
6
11π
]，要使y =
cos 2x x cos x 为增函数， 则需y =sin(2x -6π)为减函数。

所以2x -6π∈[2π,23π]，解得x ∈[3π,6
5π]。

6.A
由图可知，腰AD
的长的范围是(0，故排除D 。

再考虑特殊位置，当AD =1即x =1时，此时∠DAB =60°，
面积y ＞1。

故选A 。

7.A
曲线x 2+y 2=|x |+|y |关于x 轴、y 轴对称，图形如图所示。

即四个半圆和一个正方形构成，
所以面积为4×1
2
×
π×)
2+ 2 =π+2。

8.B
(
12
)x
+log 12
x =0可变成log
12
x =-(
12)x ，(1
2
)x +log 2x =0可变成log 2x =-(
12)x ，2x
+log 2x =0可变成log 2x =-2x ，在同一坐标系中做出这些函数的图象如图所示。

因此f (x )、g (x )、h (x )的零点分别为图中A 、B 、C 点的横坐标。

因此c ＜b ＜a 。

9.B
因为x ∈[7,11]，所以第一次循环之后，x ∈[3,7]，n =1。

当x =3时，计算出y =21×(4×3-32)=6。

当x ∈(3,7]，进行第二次循环，运行后x ∈(-1,3]，n =2，计算出y =22×(4x -x 2)。

当x ∈(-1,3]时，-5＜4x -x 2≤4，此时y ∈(-20,16]。

综上，y ∈(-20,16]。

10.D
0,
0,,2 4.
x y x y s y x ⎧⎪⎪⎨
+⎪⎪+⎩≥≥≤≤当3≤s ≤4时，区域如图所示， z =3x +2y 在两直线x +y =s 和2x +y =4的交点处(4-s ,-4+2s )取得最大值。

此时z =3(4-s )+2(-4+2s )=4+s ，此时z 的最大值变化范围是[7,8]。

当s ＞4时，区域如图所示， z =3x +2y 在点(0,4)取得最大值。

此时z =8，综上，z 的最大值变化范围是[7,8]。

二、填空题． 11.4
双曲线221916
y x -=的焦点是(0,±5)，其渐近线为y =±34x ，即3x ±4y =0。

=4。

12.135
(1+x +x 2)(1-x )10展开式中x 4项可由前一因式中取1，后一因式取x 4或前一因式中取x ，后一因式中取x 3或前一因式中取x 2，后一因式中取x 2而得到。

因此，系数为410C -310C +2
10C =210-120+45=135。

13.-4+3i
z 1=2+i ，z 2=-1+2i ，z 1z 2=(2+i )(-1+2i )=-4+3i 。

14.2
因为x +2y
≥，又4xy -x -2y =4，所以4xy
-4，
≤
1
A
所以xy的最小值为2。

15.①④
当Q为B1D1中点，P为AC中点时，
此时AQ∥C1P，故①正确；
此时AQ⊥BP，故④正确；
因为Q∉平面ABC，所以A，B，P，Q四点不共面，因此不存在P，Q，使得AQ∥BP，故③错误。

以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立坐标系。

则P(a,a,0)，Q(b,1-b,1)，C1(1,1,0)所以AQ
uuu r
=(b,1-b,1)，
1
C P
uuu r
=(a-1, a-1, -1)，
所以cos<AQ
uuu r
,
1
C P
uuu r
>=1
1
||||
AQ C P
AQ C P
⋅
⋅
uuu r uuu r
uuu r uuuu r=
1
(1)(1)(1)1
||||
b a b a
AQ C P
-+---
⋅
uuu r uuuu r=
1
2
||||
a b
AQ C P
--
⋅
uuu r uuuu r，
因为a，b∈[0,1]，所以a-b-2不可能为0，所以不存在P，Q，使得AQ⊥C1P，故②错误。

三、解答题．
16.解:(Ⅰ)设“该选手第一轮回答正确”为事件A，“该选手第二轮回答正确”为事件B，“该
选手第三轮回答正确”为事件C，“该选手三轮回答正确”为事件D，“该选手被淘汰”
为事件E．
则P(E)=1-P(D)=1-P(A)P(B)P(C)=1-
4
5
⋅
3
4
⋅
2
3
=
3
5
．
(Ⅱ) ξ 的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ =0)=1-P(A)=
1
5
，
P(ξ =1)=P(A)⋅(1-P(B))=
1
5
，
P(ξ =2)=P(A)⋅ P(B)⋅(1-P(C))=
1
5
，
P(ξ =3)= P(A)⋅P(B)⋅P(C)=
2
5
．
所以Eξ =0×
1
5
+1×
1
5
+2×
1
5
+3×
2
5
=
9
5
．
17.解:(Ⅰ)当q=1时，显然不满足条件S3，S9，S6成等差数列，因此q≠1．
所以S3=
3
1
(1)
1
a q
q
-
-
，S9=
9
1
(1)
1
a q
q
-
-
，S6=
6
1
(1)
1
a q
q
-
-
，
由S3，S9，S6成等差数列，知2
9
1
(1)
1
a q
q
-
-
=
3
1
(1)
1
a q
q
-
-
+
6
1
(1)
1
a q
q
-
-
，
显然a1≠0，化简得2q9=q3+q6，①
所以2q 7=q +q 4，又a 2=a 1q ，a 8=a 1q 7，a 5=a 1q 4， 所以2a 8=a 2+a 5，
所以a 2，a 8，a 5成等差数列．
(Ⅱ)由①解得q 3=-1
2
，由a 1-a 4=3，可得a 1-a 1q 3=3，
解得a 1=2．
所以a 1+a 4+…+a 31=2+(-1)+12+…+(1
2)-9
=111
2[1()]
211()
2
---- =683512． 18.解:(Ⅰ)由平面SAB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面SAB ． 所以BC ⊥SA ．
又因为SA =SB
AB = 2，所以SA ⊥SB ． 因此SA ⊥平面SBC ． 所以平面SAD ⊥平面SBC ．
(Ⅱ)过点S 作SO ⊥AB 于点O ，则SO ⊥底面ABCD ．过O 作OE ∥AD ，以OA ，OE ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O -xyz ．
则A (1,0,0)，B (-1,0,0)，C (-1,3,0)，D (1,1,0)，S (0,0,1)．
所以SC uu r =(-1,3,-1)，CD uuu r
=(2,-2,0)，
设平面SCD 的一个法向量为n 1，则
11111
30220x y z x y -+-=⎧⎨-=⎩，
， 不妨设x 1=1，得n 1=(1,1,2)．
显然平面SAB 的一个法向量为n 2=(0,0,1)． 所以cos <n 1, n 2>=
||||⋅⋅1212n n n n
19.解:(Ⅰ)由S △ABD :S △ADC =3:2，得
12AB ⋅AD ⋅sin ∠BAD :1
2
AC ⋅AD ⋅sin ∠CAD =3:2， 因为∠BAD =∠CAD ，所以AB :AC =3:2，
所以sin sin B C =AC AB =23
．
(Ⅱ)由∠C =2∠B 得sin C =sin2B =2sin B cos B ，
由(Ⅰ)知
sin sin B C =23，所以cos B =sin 2sin C B =3
4
，sin B
，
所以cos C =cos2B =2cos 2B -1=1
8
，sin C
，
设BD =3m ，AB =3n ，则CD =2m ，AC =2n ．
在△ABD 中，由余弦定理有AB 2+BD 2-2AB ⋅BD ⋅cos B =AD 2，
即9m 2+9n 2-27
2
mn =18，①
同理，在△ACD 中，有4m 2+4n 2-mn =18，②
所以9m 2+9n 2-27
2
mn =4m 2+4n 2-mn ，
所以m =2n （由AB +AC ＞BC 知n ＞m ，故舍去），或n =2m ． 代入②得，m =1．
所以BC =5m =5，AB =3n =6m =6．
所以S △ABC =
12AB ⋅BC ⋅sin ∠B =1
2
×6×
20.解:(Ⅰ)由已知得22
222491,1,2
a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪
-=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得a =4，b
c =2．
所以椭圆C 的方程为216x +2
12
y =1．
(Ⅱ)当直线AB 不存在斜率时，A (0,
，B (0,
，M (0,4)， 此时k 1
k 2
k 3=4302
--=-1
2， 11k +2
1
k =-4，可得λ=2． 当直线AB 存在斜率时，可设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y =kx +3． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得 22
1,16123,x y y kx ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
消去y ，化简整理得，(4k 2+3)x 2+24kx -12=0， 所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=212
43
k -+，
而11k +21k =1123x y --+2223
x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+
=
24k
k
-． 又M 点坐标为(1k ,4)，所以31k =1243k --=12k
k
-．
故可得λ=2．
因此，存在常数λ=2，使得
11k +21k =3
k λ
恒成立． 21.解:(Ⅰ)由题意知，方程x -ln x +b =0有两个不同的根．
设g (x )= x -ln x +b ，则g′(x )= 1-1
x ，
所以当x ∈(0,1)时，g′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，g′(x )＞0，g (x )单调递增； 所以g (x )的最大值为g (1)=b +1．
因此当b ＜-1时，方程x -ln x +b =0在(0,1)上有一个根，在(1,+∞)上有一个根． 所以b 的取值范围为b ＜-1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知0＜x 1＜1，x 2＞1，g (x 1)= g (x 2)=0．
g (x 1)-g (222x )=(x 1-ln x 1)-(222x -ln 222x )=(x 2-ln x 2)-(222x -ln 222x )=x 2-22
2
x -3ln x 2+ln2．
令h (t )=t -22t -3ln t +ln2，则h ′(t )=1+34t -3t =32334t t t -+=23
(2)(1)
t t t
-+． 当t ≥2时，h ′(t )≥0，h (t )是增函数，所以h (t )≥h (2)=32-2ln2=32ln 3
e 16
＞0．
所以当x 2≥2时，g (x 1)-g (222x )＞0，即g (x 1)＞g (22
2
x )
因为0＜x 1，222
x ＜1，g (x )在(0,1)上单调递减，
所以x 1＜22
2
x ，故x 1x 22＜2．
当1＜x 2＜2时，只需证明x 1x 2＜1．
g (x 1)-g (21x )=(x 1-ln x 1)-(21x -ln 21x )=(x 2-ln x 2)-(21x -ln 21x )=x 2-21
x -2ln x 2．
令ϕ(t )=t -1t -2ln t ，则ϕ′(t )=1+21t -2t = 2221t t t -+=2
2
(1)t t -≥0， 当t ＞1时，ϕ′(t )＞0，ϕ(t )是增函数，所以ϕ(t )＞ϕ(1)= 0． 所以当1＜x 2＜2时，g (x 1)-g (21x )＞0，即g (x 1)＞g (2
1
x )．
因为0＜x 1，21
x ＜1，g (x )在(0,1)上单调递减，
所以x 1＜2
1
x ，故x 1x 2＜1．
又1＜x 2＜2，所以x 1x 22＜2．。