拟合优度检验的例子

例1．为检验一颗骰子是否有假，重复做60次投掷，记录出现点数，得到如下的一张频数分布表
表4 ：骰子的频数分布表
以水平05.0=α检验该骰子是否有假。

解： 记=X 投掷骰子出现的点子数，则X 只取62,1 等6个值，若骰子正常，则各个点数出现都是等可能的，因此可设零假设
6
1:6210===p p p H 其中()i X P p i ==，i =6,1 ，备选假设k H ：至少有一61≠i p i （i =6,1 ），X 的取值分成6个子集：{},i i =6,1 。

则
2χ统计量为
()∑∑==-=⨯
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⨯-=6
1
2612
210106
1606160l i
l i n n χ
且在0H 下有渐近分布)5(2χ（注意零假设下没有未知参数）。

今计算其观察值
()()()()()()2.1410
1091010810101610
101710106101042
222
222
=-+-+-+
-+
-+-=χ
其p 值可以通过查自由度为5的2x 分布表得到，
p ()014.02.1402≈>=H P χ
例2. 为考察儿童智力与营养有无关系，从某地区随机抽取n=950个儿童测试其智力及营养状态。

为简单计，营养只取二个状态：好与不好，智力分1至4四个等级，得到如下一张24⨯的列联表
表5： 儿童智力与营养列联表
对于水平05.0=α，检验营养与儿童智力有无关系。

解： 设零假设0H ：营养与智力无关，我们引入一些记号：令1=X ，
表营养好，2=X 表营养不好，ij n 为i X =，
j Y =的样本个数，.i n 为i X =的样本个数，j n .为j Y =的样本个数，4,3,2,1;2,1==j i 。

又记
()()()j Y P p i X P p j Y i X p p j i ij =======⋅⋅,
,,
则0H 可等价地表示为
0H ： ,..j i ij p p p = 2,1=i ；41 =j
注意在此每一个个体有一对分类指标()Y X ,，其取值分成
842=⨯=k 个类，在0H 下，参数有⋅1p ,.2p 及41⋅⋅p p 均未知，但须满足
∑∑==⋅
i
j
j i p p
1.，
因而独立的未知参数个数4242=-+=l 个，所以自由度()()314121442=--=--⨯=f 。

我们先要估计未知参数⋅i p 及j p ⋅，它们的估计为
9500
.
⋅⋅==i i i n n n p ，950
.j j j n n n p ⋅⋅==
于是可写出2χ统计量
()
∑∑
∑∑∑∑
==⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=2
14
12
21412
2
14
1002
002950
950950950l j j
i ij
l j j i j i ij l j j
i j i ij
n n n n n n n n p np p np n
χ
由表5的数据可以算出2χ统计量的观察值4565.422=χ 其p 值可近似作如下计算
()()001.027.164565.420202=>≤>=H P H P p χχ
其中最后一步是查自由度为3的2χ分布表得到。

因而拒绝0H ，且结果是高度显著的。