湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

某某市葛洲坝中学2015—2016学年第二学期
高一年级数学考试试题
考试时间：2016年4月28日本卷满分150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前考生务必将自己的某某、考号、班级、学校填写在答题卡相应的位置上．
2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案序号填在答题卡对应题号下面．答在试题卷、草稿纸上无效．
3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效，答在对应区域外或填错答题区域均无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 2.三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知下列条件： ①b=3,c=4,
30=B ;
②a=5,b=8,
30=A ;
③c=6,b=33, 60=B ; ④c=9,b=12,
60=C
其中满足上述条件的三角形有两解的是： （ ）
A.①②
B.①④
C.①②③
D.③④ 3.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且1038=-S S ,则11S =( )
A.12
B.18 C
4．在ABC ∆中，角A,B 的对边分别为b a ,.且a cos bcos ,A B = 则ABC ∆的形状为（ ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5．三角形ABC 中A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B 等于（ ） A.30° B.60° C.90° D.120°
6.已知等比数列{}n a 中41,25
2==a a ，则
13221.......++++n n a a a a a a 等于（ ） A.)41(16n
-- B.)21(16n - C.)41(332n -- D.)21(3
32n --
7．已知等差数列{an}中，Sn 为其前n 项和，若1a =3-，510S S =，则当Sn 取到最小值时n 的值为()
A ．5
B ．7
C ．8
D ．7或8
8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60，求山高
h=（）
A.2
a
B. 2a
C.3a
D.a
9．数列{}n a 满足1
12(0)2121(1)
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩
，若167a =，则a 2016= （ ） A ．
67 B ．57 C ．37 D ．1
7
10．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别为n S 和n T ，对一切自然数n 都有1
32+=n n T S n n ，则=
55b a
（ ） A ．
32 B ．14
9 C ．3120 D ．1711
11.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2
π
ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的
是( )
（A ）()f x 的图象关于直线23
x π
=-对称 （B ）()f x 的图象关于点5(,0)12
π
-
对称 （C ）将函数3sin 2cos 2y x x =-的图象向左平移
2
π
个单 位得到函数()f x 的图象
（D ）若方程()f x m =在[,0]2
π
-上有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是(2,3]--
12．将正偶数按下表排成4列：
则2 004在 ( )
A. 第251行，第1列
B. 第251行，第2列
C. 第250行，第2列
D. 第250行，第4列
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．
13.三角形ABC 面积为3，BC=2，C=
60，则边AB 长度等于______.
14.已知)3,3(+-=m m a ，)4,12(+-+=m m b ，且51≤≤m ，则b a ⋅的X 围是_____.
15已知数列{}n a 的前n 项和为2
n 3n+5n S =+，则n a =．
16．如图：互不相同的点n A A A ⋅⋅⋅,,21和n B B B ⋅⋅⋅,,21分别在角O 的两边上，所有n n B A 互相平行，
且所有梯形11++n n n n A B B A 的面积相等，设,2,1,21===a a a OA n n 若则数列{}n a 的通项公式为
=n a ______________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 满足32=a ，65=a ，其前n 项的和为n S . （I ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （II ）设n a n b 2=，求数列{}n b 的前n 项的和为n T .
18（本小题满分10分）已知向量),1,(cos -=x m )2
1
,sin 3(-=x n ,设函数m n m x f ).()(+=
(I)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a =1, 3c = ，且(A)f 恰是函
数()f x 在[0,
]2
π
上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.
19．(本小题满分12分)
如图，甲船以每小时215海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行40分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的南偏西45°方向的2B 处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
20．（本小题满分12分）设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且
1
cos 2
a C c
b +=.
（I ）求A 的大小；（II ）若3a =，求b c +的取值X 围.
21．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，满足0211=⋅+---n n n n a a a a ．
（Ⅰ）求证：数列}1
{
n
a 是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）令1
2+=
n a b n n ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得)3()12(22
+≤+n m n T n 对所有n N *
∈都成立的实数m 的取值X 围．
22．(本小题满分14分) 已知函数
)
)((R x x f y ∈=满足12)2(1+=+x x f ，定义数列{}n a ，
1
1=a ，
1)(1-=+n n a f a (*
N n ∈)，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11
=b *1()
n N =∈．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令n
n n
a b c =
(*
N n ∈)，求{}n c 的前n 项和为n T ； （3）数列{}n a 中是否存在三项k n m a a a ,,(*,,,N k n m k n m ∈<<)使k n m a a a ,,成等差数列，若存在，求出k n m ,,的值，若不存在，请说明理由。

某某市葛洲坝中学2015—2016学年第二学期
高一年级数学期中考试试题参考答案
参考答案
13．214．)14,5(； 15．8(1)
2n+2(2)n n a n =⎧=⎨≥⎩
；16．23-=n a n ；
三、解答题：本大题共6小题，共70分， 17 解：（1）依题意有13
3
62525=-=--=
a a d ，21321=-=-=d a a
11)1(2+=⨯-+=n n a n ...............3分
)3(2
1
12)1(22n n n n n S n +=⨯-+
=...............5分 （2）由（1）有0221≠==+n a n n b ，422
1==b ，
21
=+n
n b b （常数）
所以{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列 ...............8分
故422
1)
21(42-=--=
+n n n T ...............10分 18：（1）=)(x f m n m ⋅+)(2
3
2sin 2322cos 123cos sin 3cos 2
+++=+
+=x x x x x 262sin 22sin 232cos 21+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=
πx x x …………2分 因为2=ω，所以最小正周期ππ
==2
2T . ……………………4分 （2）由（1）知262sin )(+⎪⎭⎫
⎝
⎛+=πx x f ，当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，67626πππ≤
+≤x . 由正弦函数图象可知，当2
6
2π
π
=
+x 时，)(x f 取得最大值3，又A 为锐角
所以6
,2
6
2π
π
π
=
=
+
A A . ……………………6分
由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得6
cos
32312π
⨯⨯⨯-+=b b ，所以1=b 或
2=b
经检验均符合题意. ……………………8分 从而当1=b 时，△ABC 的面积4
3
6sin 1321=⨯⨯⨯=
πS ；……………………9分 当2=b 时，2
3
6sin 2321=⨯⨯⨯=
πS . ……………………10分
19.解：由已知得
1120,A B =12A A =2210,
A B =
12245o
A A
B ∠=，
在△
122
A A
B 中，由余弦定理得：
2221210210100
2A B =+-⋅⋅=，1210A B =，……………………… 4分
又2212,
A B A B =得21245o
A A
B ∠=，
211180754560
B A B ∠=--=，…………… 6分
又在△112
A B B 中，由余弦定理得：2
121400100220103002B B =+-⋅⋅⋅=，
∴12B B =…………………………………………………………………………… 10分
则乙船的速度
60v =
=
答：乙船每小时航行 …………………………………………………… 12分 20 解：（1）由正弦定理得:1sin cos sin sin sin()sin cos cos sin 2A C C B A C A C A C +
==+=+1
sin cos sin 2
C A C ∴=1
sin 0
cos 2C A ≠∴=
又
03A A π
π
<<∴=
.............6分
（2）由正弦定理得：sin sin 2sin ,2sin sin sin a B a C
b B
c C A A
===
=,
又由（1）知：23
B C π
+=23C B π∴=-
22sin 2sin 2sin sin())36b c B C B B B ππ∴+=+=+-=+3
A π
=
20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪
⎝⎭
5,6
66B πππ⎛⎫
∴+
∈ ⎪
⎝⎭ 1sin(),162B π⎛⎤
∴+∈ ⎥⎝⎦
b c ∴+∈
..............12分 21解：（Ⅰ），两边同除以1n n a a -⋅得
1112(2)n n n a a --=≥，即数列1{}n a 是等差数列，首项1
11a =，公差2d =11(1)221n n n a ∴
=+-⨯=-1
21
n a n ∴=
-； （Ⅱ）121(21)(21)n n a b n n n =
=+-+111
()22121
n n =--+ 1111[(1)()2335
n T ∴=-+-+
+1111(
)](1)212122121
n
n n n n -=-=
-+++ 由题意22(21)(3)n T n m n +≤+即2
22
3
3n m n n n
≥
=++对于所有n N *∈都成立， 设
23
n c n n
=
+
即max
()n m c ≥函数3
y x x
=+
在上是减函数，在)+∞上是增函数，故数列{}n c 从第二项起递减，而112c =
，247c =∴满足题意的实数m 的取值X 围为47
m ≥. .22解：（1）由题意知：()21f x x =+，12,n n a a +=又11,
a =
{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，故12n n a -=，……………………………… 2分
由
11
b =
*1()
n N =∈可得：
,n =2,n S n =121(2)
n n n b S S n n -=-=-≥
当1n =时，
11
b =满足上式，
21,
n b n ∴=-…………………………………………………………………………… 4分
（2）
121
2n n n c --=
，………………………………………………………………………… 5分
123n n
T c c c c =+++
+
231357
21
1222
2n n n T --=++++
+
……①
两边同乘公比12得，23411357
21
2
22222n n n T -=++++
+
……②
① -②得234112222221
112222222n
n n n T --⎛⎫
-=++++++
- ⎪⎝
⎭……………………… 8分
化简得：
123
62n n n T -+=-
……………………………………………………………… 10分
（3）假设存在()
*,,,,,m n k a a a m n k m n k N <<∈使
,,m n k
a a a 成等差数列，
则
2n m k
a a a =+，1
1122
22n m k ---⋅=+，……………………………………………11分
两边同除1
2m -，得12
12n m
k m +--=+，
12n m +-∴为偶数，而12k m -+为奇数，……………………………………………… 13分
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任三项能构成等差数列．……………………………14分。