2008年广东高考数学(理科)模拟试题

２００８年广东高考数学（理科）模拟试题作者：
来源：《广东教育·高中》2008年第04期
本试题分为选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分选择题(共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从集合{1，2，3，4，5，6}中任选3个不同数的个数为M，这3个数中恰有2个偶数的个数为N，则为（）
A.B. C. D.
2. 命题“对任意的x∈R，x2-4x+3≤0”的否命题是（）
A. 存在x∈R，x2-4x+3＞0
B. 存在x∈R，x2-4x+3≥0
C. 不存在x∈R，x2-4x+3≤0
D. 对任意的x∈R，x2-4x+3＞0
3．若圆锥曲线 + =1表示的是双曲线，则复数z=m+ni（m，n∈R）在复平面上所对应的点所在的象限是（）
A．第一或第二象限 B．第二或第四象限
C．第一或第三象限 D．第二或第三象限
4．某商场在元旦的促销活动中，对10时至15时的销售额进行统计，其频率分布直方图如右图所示．已知10时至11时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为（）万元．
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
5．阅读下面所示的流程图，若记y=f（x），且x0满足若f[f（x0）]=1，则x0=（）
A．B.
C.D.
6．为了了解老百姓有无收看“党的十七大的开幕式”，某记者分别从某社区6０～7０岁,4０～50岁,25～30岁这三个年龄阶段的40人,60人,50人中,采取分层抽样的方法进行调查,在6０～7０岁这一年龄段中抽查了8人,那么这次调查总共抽查了（）人
A. 12
B. 15
C. 24
D. ３０
7. 在等比数列an中，a1=512，公比q=- ，用∏n表示它的前n项之积,即∏n=a1•a2…an，则∏21、∏20、∏19、∏18四个数大小比较正确的是（）
A．∏21＞∏20＞∏1８＞∏1９ B．∏21＞∏20＞∏19＞∏18
C．∏20＞∏21＞∏18＞∏19 D．∏20＞∏21＞∏19＞∏18
8．设计一个杯子，其三视图如下图，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度随时间变化的图像是（）
第二部分非选择题(共110分）
二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题.每小题5分，共30分.将答案填在题中的横线上.
9. 某人有资金40万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
那么，他应该选择经营种商品.
10. 2007年下半年某县拟招收男公务员x名，女公务员y名，x和y须满足约束条件则
z=4x+5y的最大值是.
11. 观察下表，找出规律，其中？处应填入的
是.
12. M设是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；{2} 函数f（x）的导数f ′（x）满足0＜f ′（x）＜1.试判断下列三个函数：① f（x）= + ；{2} f （x）=x+cosx；{3} f（x）=x2+ ，x∈（- ，0].其中是集合M中的元素的有 .（用序号填空）
13．(参数方程与极坐标选讲)若直线l∶y=kx+1与曲线C：x=1+rcos?兹，y=rsin?兹，（?兹为参数）恒有公共点，则正数r的取值范围是．
14.（几何证明选讲）如图所示，割线PAB与圆O相交于A，B两点，PC为圆O的切线，圆O的半径为10，E为弧的中点，OD交AB于点E，如果PA=4，PC=8，则OE的长度为 .
15．（不等式选讲） + 的最大值为.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）已知 =（２cosx，-sinx）， =（cos?琢，2sin?琢），
（1）若x= 时，且⊥，求的值；
（2）若?琢= 时，函数f（x）= • +m的最小值为-2，求m的值，并求出函数f（x）的对称轴.
17.（本小题满分13分）已知函数f（x）=mx2+nx+1（m，n为常数，x∈R），
（1）若f（-1）=0，对于任意实数x都有f（x）≥0成立，求函数f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx，若曲线g（x）在点（1，g（1））处的切线l与圆（x-2）2+y2=3相切，求k的值；
（3）在（1）的条件下，若u（x）=f（x）-x-1，记数列an的前n项和为Sn，且Sn= u （n），等比数列bn的首项为1，b2+b5=18，求数列an•bn的前n项和为Tn.
18.（本小题满分13分）甲单位有2位优秀女干部和4位优秀男干部，乙单位有1位优秀女干部和3位优秀男干部，某市委组织部拟从甲、乙两单位10位优秀干部中选拔4位作为第三批援藏干部，今从两单位中各选拔2位干部.
(1)求选拔的4位干部均为男干部的概率；
(2)求选拔的4位干部中恰有1位女干部的概率；
(3)设?孜为选拔的4位干部中女干部的个数，求?孜的数学期望.
19.（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，SB与平面ABCD所成的角等于45°，若BC=2AB，E是SD的中点，
（1）求证：CD⊥平面SAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（3）求三棱锥E-ABC的体积.
20.（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），且经过点P （1，）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率k≠0的直线l过圆x2+y2+2x-y+ =0的圆心D，交椭圆交于M，N点，且M，N两点关于D对称，求直线l的方程与△MON的面积.
21.（本小题满分14分）设函数f ′（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R），已知f（x）=f（x）-f ′（x）是奇函数且F（1）=t（t＜1）.
（1）求b、c、d的值；
（2）求F（x）的单调区间与极值；
（3）当t =-26时，方程F（x）=m有三个不同的实数解，求m的取值范围.
参考答案及解析
一、选择题
1. 记从集合{1，2，3，4，5，6，}任选3个不同的数为（x，y，z），这样的个数总共有M=C36= =20个，这3个数中恰有2个偶数的个数为N，这样的个数是C23•C13=9，N=9，则= ，故选D.
2. 全称性命题的否定是存在性命题，故选A.
3. 由题意得mn＜0?圯或复数z=m+ni（m，n∈R）在复平面上所对应点所在的象限是第二或第四象限，故选B.
4. 设11时至12时的销售额为x万元，依题意可得 = ，解得x=10，故选C.
5. 该流程图所表示的函数为f（x）=由f[ f（x0）]=1，得f（x0）=-1，所以2cosx0=-1，解得x0= ，故选A.
6．因为40∶60∶50=4∶6∶5，在6０～7０岁这一年龄段中抽查了8人，所以在4０～50岁， 25～30岁分别抽取12人与10人，所以这次调查总共抽查了30人，故选D.
7. ∏n=a1•a2…an=（512）n（- ）1+2+3+…+（n-1）=（512）n（- ） =29n（- ），当
n=21，20，19，18时，∏21、∏20为正数，∏19、∏18为负数，∏21= ，
∏20= ，∏19=-1，∏18=-29，故选D.
8．由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图像上，选项B符合题意，故选B.
二、填空题
9. 甲；10. 56；11. b74；12. ①与{3}；13.[ ，＋∞）；14. 8；15..
9. 甲的期望值为8×0.4+12×0.3-4×0.3=5.6万元，乙的期望值为4×0.6+16×0.2-8×0.2=4万元，所以他应该选择经营甲种商品.
10．如右图，画出不等式组表示的平面区域.由解得A（4，8），由目标函数z=4x+5y的意义可知当直线z=4x+5y过A点时，z取得最大值，此z=4×4+5×8=56.
11. 依题意得b1•b2•b3•b4•b5•b6•b7= • • •b4•b4q•b4q2•b4q3=b47.
12.①因为f ′（x）= + cosx，所以f ′（x）∈[ ， ]满足条件0＜f ′（x）＜1，又因为当x=0时，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0，因此函数f（x）= + 是集合M中的元素.
{2} 因为f ′（x） =1-sinx，所以f ′（x）∈[0，2]不满足条件0＜f ′（x）＜1，所以函数f （x）=x+cosx不是集合M中的元素.
{3}因为f ′（x） =2x+ ，x∈（- ，0]，所以f ′（x）∈（0， ]满足条件0＜f ′（x）＜1，又因为当x=0时， f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有实数根0.所以函数f（x）=x2+ ，x∈（- ，0]是集合M中的元素，故填①与{3}.
13．直线l恒过定点（0，1），化C：为普通方程得（x-1）2+y2=r2，依题意得r2≥2，又r为正数，得r≥ .即r的取值范围是[ ，∞）.
14. 由切割线定理可得PC2=PA×PB，即64=4PB，解得PB=16，所以AB=16-4=12.因为D 为弧的中点，所以OE⊥AB，且点D平分线段AB，所以EB=6，圆O的半径为10，所以
OE= =8.
15. 因为（1+1）[（）2+（）2］≥（ + ）2，即2×5≥（ + ）2，所以 + 的最大值为 .
三、解答题
16. （1）若x= 时， =（，- ），又⊥，则有 cos?琢-sinx=0，得tan?琢= ，
∴ = = = = = .
（2）?琢= 时， =（，），f（x）= • +m= cosx- sinx+m=2（ cosx- sinx）+m=2sinx（ -x）+m.
因为-2≤2sinx（ -x）≤2，所以m-2≤2sin（ -x）+m≤m+2，所以m-2=-2，得m=0，函数为f （x）=2sin（ -x），其对称轴为 -x=k?仔+ ，得x=-k?仔- ，k∈Z.
17. 解：（1）由f（-1）=0，可得m-n=-1 ①
又mx2+nx+1≥0对任意实数x都成立，所以
②
①代入②得n2-4n+4≤0，即（n-2）2≤0，所以n=2，得m=1.故函数f（x）的解析式为f （x）=x2+2x+1.
（2）因为g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1，g′（x）=2x+（2-k），g（1）=1+（2-k）+1=4-k，g′（1）=2×1+（2-k）=4-k，所以曲线g（x）在点（1，g（1））处的切线l的方程为y-（4-k）=（4-k）（x-1），即y=（4-k）x.又l与圆（x-2）2+y2=3相切，所以d= = ，得3[1+（4-k）2]=4（4-k）2?圯（4-k）2=3，所以4-k=±?圯k=4±.
（3）u（x）=f（x）-x-1=x2+x，Sn= u（n）= .当n=1时，a1=S1= =1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1= - =n.验证n=1时也满足上式，an=n（n∈N*）.
设等比数列的首项为b1，由等比数列bn的公比为2，b2+b5=18，得2b1+b1×24=18，解得b1=1所以bn=2n -1 （n∈N*）,Tn =1•1+2•21+3•22 +…+n•2n-1 ①
2Tn=1• 21+22•22 +3•23…+n•2n ②
①减去②得
-Tn=1+21+22 +…+2n-1 -n•2n ，
-Tn= -n•2n，
故Tn=n•2n-2n+1.
18. (1) 从两单位中各选拔2位干部，选拔的4位干部均为男干部只能是分别从两单位中各选拔2位男干部，设“从甲单位选拔的2位干部均是男干部”为事件A，“从乙单位选拔的2位
干部均是男干部”为事件B.由于事件A，B相互独立，且P（A）= = ，P（B）= = ，故选拔的4个干部均为男干部的概率为
P（A•B）=P（A）•P（B）= × = .
(2)设“从甲单位选拔的2位干部均是男干部；从乙单位中选拔的2位干部中，1位是男干部，1位是女干部”为事件C，“从甲单位选拔的2位干部中，1位是男干部，1位是女干部；从乙单位选拔的2位干部均是男干部”为事件D.由于事件C，D互斥，且P（C）== ，P（D）== .故选拔的4位干部中恰有1位女干部的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）= + = .
(3)?孜可能的取值为0，1，2，3.由(Ⅰ)，(Ⅱ)得P（?孜=0）= ，P（?孜=1）= ，又P（?孜=3）== ，从而P（?孜=2）=1-P（?孜=0）-P（?孜=1）-P（?孜=3）= .
?孜的数学期望E?孜=0× +1× +2× +3× = .
19. 解法一：（1）因为SA⊥平面ABCD，CD?奂平面ABC，所以 SA⊥CD.因为ABCD
是矩形，所以AD⊥CD.而SA∩AD=A，所以CD⊥平面SAD.
（2）连结AC、EC，取AD中点F，连结EF，则EF∥SA，因为SA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，则∠SBA就是SB与平面ABCD所成的角，所以∠SBA=45°.过F作
FG⊥AC交AC于G，连结EG，则∠EGF就是二面角E-AC-D所成的平面角. 设AB=2a，由BC=2AB，得BC=4a，SA=2a，则EF=a.
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h，解得h= a因为F是AD的中点，所以FG= a . 而EF=1，由勾股定理可得EG= a，cos∠EGF= = = .
（3）连结BE，在三棱锥E-ABC中，S△ABC= AB×BC= ×2a×4a=4a2.由（2）可知EF就是点E点到底面BAC的距离，所以EF=a，则VE-ABC = S△ABC×EF= ×4a2×a= .
解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，因为SA⊥平面ABCD，所以∠SBA就是SB与平面ABCD所成的角，
∠SBA=45°.设AB=2a，由BC=2AB=2a，得BC=4a，SA=2a，则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，4a，0），D（0，4a，0），E（0，2a，a），S（0，0，2a），所以 =（2a，0，0）， =（0，4a，0），（0，0，2a）， =（-2a，0，0）， =（0，2a，0）， =（2a，4a，0）
（1）因为• =0，所以CD⊥AD.又因为• =0，所以CD⊥AP. 因为AP∩AD=A，所以CD⊥平面PAD.
（2）设平面AEC的法向量 =（x，y，z），
由即?圯
取x=2，得y=-1，z=2，所以 =（2，-1，2）.
又∵平面ABC的法向量 =（0，0，2a），
∴• =（2，-1，2）•（0，0，2a）=4a，｜｜=2a，｜｜=3，
cos〈，〉= = = ，所以二面角
E-AC-D所成平面角的余弦值是 .
（3）同解法一.
20.（1）设椭圆的标准方程为 + =1（a＞b＞0），依题意可得
由（1）与（2）消去b2，可得4a4-17a2+4=0 （3）
由（3）得a2= 或a2=4.因为a2＞1所以a2=4，得b2=3.则所求椭圆的标准方程为 + =1.
（2）由x2+y2+2x-y+ =0，可得（x+1）2+（y+ ）2=1，得圆心D（-1，）.依题意，l不垂直x轴，设 l方程为y- =k（x+1），代入 + =1，得（3+4k２）x2+8k（ +k）x+4（k+ ）2-12=0.设M（x1，y1）、N（x2，y2），因为M，N两点关于D对称，所以有 =-1，
得- =-2，得k= ．又因为 + = ＜1，所以点D在椭圆 + =1内部，故所求直线l方程为y=
x+2，｜MN｜=｜x1-x2｜= × = × = .又因为原点O到直线y= x+2的距离为d= = ，所以△MON 的面积为 × × = .
（2）解法2：若存在这样的直线l，设M（x1，y1），N（x1，y1）有两式相减得
（x21-x22）+ （y21-y22）=0.因为x1≠x2，有 =- ×.因为M，N两点关于D对称，所以有 =-1，有x1+x2=-2，y1+y2=1得= ，即l斜率为 .又因为 + = ＜1，所以点D在椭圆 + =1内部，故所求直线l方程为y= x+2.
｜MN｜= ｜x1-x2｜= ×
= × = ，原点O到直线y= x+2的距离为d= = ，所以三角形MON的面积为 × × = .
21. 因为f（x）=x3+bx2+cx+d，所以f ′（x）=3x2+2bx+c，从而F（x）=f（x）- f ′（x）=x3+bx2+cx+d-（3x2+2bx+c）=x3+（b-3）x2+（c-2b）x+（d-c）.又因为它是一个奇函数，所以F（-x）=-x3+（b-3）x2-（c-2b）x+（d-c）=-x3-（b-3）x2-（c-2b）x-（d-c）=-F（x）.F （0）=0 得d-c=0，b-3=0，得b=3，d=c；由F（1）=t可得1+（b-3）+（c-2b）+（d-c）=t，即d=5+t，所以d=c=5+t.
（2）由（1）知F（x）=x3+（t-1）x，从而F ′（x）=3x2+（t-1），令3x2+（t-1）=0，得x=±，由F ′（x）=3x2+（t-1）＞0，得x＞或x＜-.由F ′（x）=3x2+（t-1）＜0，得-＜x＜.
故（-∞，-）和（，+∞）是函数F（x）是单调递增区间；（-，）是函数F（x）的单调递减区间.
所以F（x）在x=-时，取得极大值，极大值为；F（x）在x=时，取得极小值，极小值为- .
(3)当t=-26时，F（x）= x3-27x，由F（x）=m，得 x3-27x=m.
因为F′（x）=3x2-27=3（x+3）（x-3），令F′（x）=0，解得x1=-3，x2=3.
由（2）得F（x）=x3-27x在x=-3时，取得极大值，极大值为54；F（x）在x=3时，取得极小值，极小值为-54.
作出函数F（x）和y=m的图像如图3所示，从图像中可以看出当-54＜m＜54时，方程F （x）=m有三个不同的实数解，故实数m的取值范围是
（-54，54）.
(本试题由黄伟军老师拟制)
责任编校徐国坚。