高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题17任意角、弧度制、三角函数和诱导公式

专题17 任意角、弧度制、三角函数和诱导公式
【标题01】角的概念理解不清楚
【习题01】下列有4个命题，其中正确的命题有________.
①第二象限角大于第一象限角； ②不相等的角终边可以相同； ③若α是第二象限角，则α2一定是第四象限角； ④终边在x 轴正半轴上的角是零角； A ．①② B ．③④ C ．② D ．①②③④ 【经典错解】全部都是错误的，故选D .
【详细正解】对于①，第二象限的角取0120 ，第一象限的角取0390 ，显然00
120390< .故错误. 对于
②，32
2
π
π
-
和
不相等，但是它们的终边相同,故正确. 对于③，若α是第二象限角，则α2一定是第三、四象限的角，故错误. 对于④，终边在x 轴正半轴上的角不一定是零角，如2π，故错误.故选C .
【习题01针对训练】给出下列命题： （1）小于
2
π
的角是锐角 （2）第二象限角是钝角 （3）终边相同的角相等 （4）若α 与β 有相同的终边，则必有2()k k z αβπ-=∈，正确的个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【标题02】对终边相同的角知识点理解不透彻 【习题02】与60终边相同的角可表示为（ ） A (3603
k π
+
．260k π+
C ．()236060k k Z ⋅+∈
D 【经典错解】选A .
【详细正解】选项,A B 中角度的表示用到了角度制和弧度制，不符合数学的要求；选项C 中k 前多了个“2”,故选D .
【深度剖析】（1）经典错解错在对终边相同的角知识点理解不透彻. （2）在一个题目中，角度制和弧度制只能选一种，不能两种同时使用.这一点今后要注意规范. 【习题02针对训练】与463-终边相同的角可表示为（ ） A ．()360436k k Z ⋅+∈ B ．()360103k k Z ⋅+∈ C ．()360257k k Z ⋅+∈ D ．()360257k k Z ⋅-∈
【标题03】审题不认真和三角函数的坐标定义公式记错了
【习题03】已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,y)P 是角q 终边上的一点，且
sin q =-
y = .
【经典错解】因为(4,y)P 是角q 终边上的一点，且sin q =-
sin y q ==-【详细正解】因为(4,y)P 是角q 终边上的一点，由三角函数的坐标定义得
sin 8y q =-
\=-
故填8-.
们的数学情景才能使用它们.
【习题03针对训练】点(1,2)P -在角α的终边上，则2
tan cos α
α
= .
【标题04
【习题04】已知角α的终边经过点(4,3)(0)P m m m -≠，则2sin cos αα+= .
【经典错解】由题得5r m =
==，所以33sin 55
y m r m α=
==， 44cos 55x m r m α-=
==-，所以3422sin cos 2()555αα+=-=，所以填25
.
【详细正解】由题得5||r m =
==，
（1）当0m >时，5r m = ，所以33sin 55y m r m α=
==，44cos 55
x m r m α-===-，所以342
2s i n c o s
2()555
αα+=-=. （2）当0m <时，5r m =- ，所以33sin 55y m r m α=
==--，44
cos 55
x m r m α-===-，所以342
2sin cos 2()555αα+=-+=-
.
综合得22sin cos 5αα+=±，所以填25或2
5
-.
【习题04针对训练】已知角α的终边过点(8,6)P m m -，则sin 2α= .
【标题05】用扇形弧长公式时没有把角的单位化成弧度制
【习题05】半径为cm π，0120的中心角所对的弧长是 .
【经典错解】弧长0||120120l r a p p ===，所以0120的中心角所对的弧长是120cm p .故填120cm p .
【详细正解】弧长222||33
l r ππαπ==⨯=
，所以0
120的中心角所对的弧长是223cm p ,故填223cm p . 【深度剖析】（1）经典错解错在用扇形弧长公式时没有把角的单位化成弧度制. （2
）扇形的弧长公式||l r a =中，圆心角α的单位是弧度，所以在使用此公式时，必须把角度化成弧度.
【习题05针对训练】一个扇形的圆心角为0
120，则此扇形的面积为 .
【标题06】扇形的定义挖掘不深
【习题06】一个扇形周长10C =，面积4S =，求这个扇形的半径r 和圆心角α的弧度数.
【经典错解】由题得210
141=81
82242r l r r l l l r lr 或或a ì+=祆==ï镲\\=眄?===镲?铑
î. 所以14,2r a ==或1,8r a ==. 【详细正解】由题得210
141=81
82242
r l r r l l l r lr 或或a ì+=祆==ï镲\\=眄?===镲?铑
î, 因为=8>2a p ，所以舍去. 所以
14,2r a ==
. 所以扇形的半径4,r =圆心角12
a =.
【习题06针对训练】一个扇形周长6C =，面积2S =，求这个扇形的半径r 和圆心角α的弧度数.
【标题07】利用同角的平方关系时开方时忽略了角的范围没有注意“±”的取舍 【习题07】已知A 是ABC ∆的一个内角，且cos A =
3
5
,则sin A = .
【经典错解】由题得4sin 5A =?=?
.
【详细正解】由题得4sin 5A =?=?， 因为40,sinA .5A p <<\=故填4.5
【深度剖析】（1）经典错解错在利用同角的平方关系时开方时忽略了角的范围没有注意“±”的取舍.（2）利用同角平方关系求值时，最后一定要结合角的范围确定前面的“±”号. 解三角方程或不等式一定不能忽略角的范围.
【习题07针对训练】已知1
sin()3
πα+=-，且α是第二象限角，那么sin 2a = .
【标题08】解方程忽略了已知角的范围导致出现增解
【习题08】已知
2π
θπ≤≤，1sin 2m m α+=
+，cos 2
m
m α=-+，则_______m =.
【经典错解】由题得22
21(
)()12303122m m m m m m m m ++-=∴--=∴==-++或. 所以填3或1-. 【详细正解】由题得22
21(
)()12303122
m m m m m m m m ++-=∴--=∴==-++或 当1m =-时，sin 0cos 1αα==不满足
2
π
θπ≤≤，所以舍去，所以填3.
【习题08针对训练】已知2
π
θπ≤≤，3sin 5m m α-=
+，42cos 5
m
m α-=+，则tan α= .
【标题09】诱导公式使用错误
【习题09】已知3sin()(,
)2
m
π
πααπ+=∈且 ，则cos(5)πα+= . 【经典错解】35(,)2sin()sin 22
m ππαπππαπαα∈∴<+<∴+==
cos(5)cos()cos παπαα∴+=+===
【详细正解】sin()sin sin m m πααα+=-=∴=-
2cos(5)cos()cos (1)m παπαα∴+=+=-=---=【深度剖析】（1）经典错解错在诱导公式使用错误. （2）诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，
用诱导公式化简，一般先把角化成
,2
k k z π
α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2
k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）. 所以使用诱导公式时，与α的实际范围没有关系，一律看作“锐角”. 【习题09针对训练】已知51cos =
α，且α为第四象限角，则cos()________2
π
α+=.
A ．15
B ．15-
C ．5
D ．5
-
【标题10】忽略了已知中角的隐含条件
【习题10】已知5
3
)cos(=
+x π，)2,(ππ∈x ，则_______tan =x 。

A ．43± B ．34- C ．43 D ．3
4
【经典错解】333cos()cos cos (,2)555x x x x πππ+=∴-=∴=-∈ 4tan 3x A ∴=±故选 . 【详细正解】333cos()cos cos 0(,2)555x x x x πππ+=∴-=∴=-<∈3(,)2
x ππ∴∈. 4
tan 3
x D ∴=故选
【习题10针对训练】已知53)2cos(
=
+απ
，且)2
3,
2(π
πα∈，则_________tan =α. A ．43± B ．43- C ．43 D ．3
4
高中数学经典错题深度剖析及针对训练
第17讲：任意角、弧度制、三角函数和诱导公式参考答案
【习题01针对训练答案】B
【习题01针对训练解析】（1）小于
2π的角是锐角，错误，如62ππ-<，但6π
-不是锐角； （2）第二象限角是钝角，错误，如4
3
π-是第二象限角，单不是钝角；
（3）终边相同的角相等，错误，如π 与π- ； （4）若α 与β 有相同的终边，则必有2()k k z αβπ-=∈，故选B ．
【习题02针对训练答案】C
【习题04针对训练解析】因为m x 8-=，6y m =，则10||r m ==， （1）当0m >时，10r m = ，所以63sin 105y m r m α=
==，84
cos 105
x m r m α-===-，所以3
424s i n 22s i n c o s
2()()5525
ααα=
=-=-. （2）当0m <时，10r m =- ，所以63sin 105y m r m α=
==--，84
cos 105
x m r m α-===-，所以
3424
sin 22sin cos 2()()5525
ααα==-=-.
综合得24sin 225α=-，所以填24
25
-.
【习题05针对训练答案】π 【习题05针对训练解析】21112||32223
S lr r p
a p =
===，所以扇形的面积是π，故填π. 【习题06针对训练答案】1,42,1r r a a ====或
【习题06针对训练解析】由题得26
12=411
4222
r l r r l l l r lr 或或a ì+=祆==ï镲\\=眄?===镲?铑
î.经检验，它们都满足题意，所以1,4r a ==或2,1r a ==.
【习题07针对训练答案】9
2
4-
【习题07针对训练解析】由诱导公式得()31sin sin -=-=+ααπ，3
1
sin =
∴α，由于α是第二象限角 322311cos 2
-
=⎪⎭
⎫
⎝⎛---=∴α924cos sin 22sin -==∴
ααα .故填924-. 【习题08针对训练答案】
5
12
-
【习题09针对训练解析】因为51cos =
α
，且α为第四象限角，所以sin α=
=-
所以2cos()sin (6)25παα+=-=--= 故选C .
【习题10针对训练答案】C 【习题10针对训练解析】333
cos(
)sin sin 02
555
π
ααα+=
∴-=∴=-<3(,)2
2
ππ
α∈.
3(,
)2παπ∴∈ 3
tan 4
α∴= 故选C .。