二、三重积分中值定理地证明与应用

《数学分析》自主研究课题：
二、三重积分中值定理的证明和应用
摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。

关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言
在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用.
二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）
(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=⎰
ε.
和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得
⎰⎰=D
D
S f d y x f ),(),(ηεσ⎰
⎰=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ε
（明显当1g ≡）
（x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出
二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存
在D ∈）
ηε,(，使得 ⎰⎰=D
D
S
f d y x f ),(),(ηεσ,
这里S D 是区域D 的面积.
证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得
mS D ≤⎰⎰D
d y x f σ),(≤MS D ,
即 m ≤
⎰⎰D
D d y x f S
σ),(1
≤M.
再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈）
ηε,(,使 ⎰⎰=
D
D
d y x f S f ,),(1
),(σηε
即 由此定理得证.
那对于二重积分是否也存在
推广形式的二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上
连续，),(y x g 在D 上可积且不变号，则存在一点D ∈）
ηε,(，使得
⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(
显然定理是存在的，下面我们就来证明一下
证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，所以),(y x f 在D 上存在最大值M 和最小值m ，有 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 又),(y x g 在D 上不变号，当),(y x g ≥0时，有
m ),(y x g ≤),(y x f ∙),(y x g ≤M ),(y x g ，D y x ∈),(. 由二重积分的比较性质，可得
⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤≤D
D
D
d y x g M d y x g y x f d y x g m σσσ),(),(),(),(
当⎰⎰=D
d y x g 0),(σ时，由上式知⎰⎰=D
d y x g y x f 0),(),(σ,
这时对任意的D ∈）
ηε,(，都可使 ⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(成立.
当⎰⎰D
d y x g σ),(>0时，由上式得
M
d y x g d y x g y x f m D
D
≤≤
⎰⎰⎰⎰σ
σ
),(),(),(,由闭区域连续函数的介值定理
知，至少存在一点D ∈）
ηε,(，使
⎰⎰⎰⎰=
D
D
d y x g d y x g y x f f σ
σ
ηε),(),(),(),(，
即 ⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(.
同理可证当),(y x g <0时，
⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(也成立.
由此，定理得证.
特别的，当1),(≡y x g 时，即为二重积分中值定理.
三重积分中值定理：若),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，则存在V ∈),,(ζηε,使得 ⎰⎰⎰=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε,
这里V v 是积分区域V 的体积.
证明：由于),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，V v 为这个区域的体积.存在最大值M 和最小值m,有 m ≤),,(z y x f ≤M, V y x ∈)z ,,(. 使用积分不等式性质得
m V v ≤⎰⎰⎰V
dV z y x f ),,(≤M V v ,
即 m ≤
⎰⎰⎰dV z y x f V ),,(1v
≤M.
再由连续函数的介值性，至少存在一点V ∈),,(ζηε使
⎰⎰⎰=
V
v
dV z y x f V f ),,(1
),,(ζηε，
即 ⎰⎰⎰=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε. 由此定理得证.
同样的，对于三重积分中值定理，也有推广形式的三重积分中值定理，这里不详细证明了.
四、二、三重积分中值定理的应用
1.设),(y x f （),,(z y x f ）有界闭区域D(V)上的连续函数，
)(V D ∆∆是包含定点
P 0),(00y x （P 0),,(000z y x ）的D(V)的有界闭子
域，由积分中值定理得,存在D ∈),(ηε(V ∈),,(ζηε),使 ⎰⎰∆∆=D
D S f d y x f ),(),(ηεσ
(⎰⎰⎰∆∆=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε)
其中显然D ∆∈),(ηε（V ∆∈),,(ζηε），)(D D V S 是区域D(V)的面积（体积）.当)(V D ∆∆的区域d 趋于零，便有 ),(),(lim ),(10
d 0
d lim
y x f f d y x f S D
D
==⎰⎰∆→∆→ηεσ.
（),,(),,(lim ),,(1
d 0d lim z y x f f dV z y x f V
V
V
==⎰⎰∆→∆→ζηε）
这个极限过程与证明变上限定积分对上限求导的极限过程是类似的，所以上式的极限为重积分在点P 0)
,(00y x
（P 0),,(000z y x ）处对区域的导数.根据重积分中值定理，可以证得一个连续函数的重积分对区域的导数等于其被积函数.
2.应用重积分中值定理估计积分值 例： 估计积分⎰⎰≤+++=
10
22cos cos 100y x y x d I σ
的值. 解：由于),(y x f =
y
x 22cos cos 1001
++在有界闭区域
}
10|),{(≤+=y x y x D 上连续，则由中值定理
D
D
S y x d ∙++=++⎰⎰ηεσ2222cos cos 1001
cos cos 100(其中D ∈),(ηε).而
100
1cos cos 10011021,
20022≤++≤=ηεD S ，则 ⎰⎰≤+≤++≤10
222cos cos 10051
100
y x y x d σ
.
3.求极限： 例1.求
⎰⎰≤+→2
22,),(1
lim
2
ρρσπρ
y x d y x f 其中),(y x f 为连续函数.
解：由积分中值定理，至少有一点D ∈),(ηε，D={(x,y)|222ρ≤+y x },使
⎰⎰=D
f d y x f ),,(),(1
2
ηεσπρ
则 ⎰⎰
≤+→→→==2
22)0,0(),(lim ),(1
lim 0
2
0ρηερηεσπρ
y x f f d y x f .
例2.证明⎰⎰=+∞→D
n n d y x 0)(sin lim 22σ，
}20|),{(2
2π≤+≤=y x y x D . 证明：对)2
,0(π
ε∈∀，存在0<δ<ε,有
σσσπ
δπ
δππd y x d y x d y x y x n y x n y x n ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤
+≤--≤+≤≤
+≤+++=+2
2
222
02
22022222222)(sin )(sin )(sin
σσπ
δπ
δπd y x d y x y x n y x n ⎰⎰⎰⎰≤
+≤--≤+≤+++≤
2
2
222
02
22222|)(sin ||)(sin |
+
-∙≤)2
(sin δπ
ξn
σπ
δπ
d y x ⎰⎰≤
+≤-2
2
221
δπ
ξ+∙
<2
sin n
其中ξ∈[0,δ
π
-2],所以|sin ξ|<1,故存在N ，当n>N 时，有
ξn
sin <ε.故上式为：
επ
επ
εσπ
)12
(
2
)(sin
2
02
222+=+∙
<+⎰⎰≤
+≤d y x y x n
即
⎰⎰
=+∞→D
n n d y x 0)(sin lim 2
2σ
五、体会
通过这次的自主探究实践，让我得出所研究课题的结论，让我体会到数学知识的紧密联系，在学习的过程中不断积累知识，从而去解决更深一层的问题，做到不抛开条件去解决问题，比如在证
明过程中用到的介值定理和积分不等式性质等，在掌握这些定理的同时，要学会应用。

在得出结论后，应善于利用这些定理和结论去解决更实际的问题，例如求极值，证明极限存在等。

通过学习数学，希望自己能够培养严谨，善于质疑的学习态度，能够提高自己的逻辑思维，积极参与自主研究课题，锻炼自己的实践能力。