补习部数学理周测试题

补习部数学（理）周测试题（九）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题p ：020,log 1x R x +
∃∈=，则p ⌝是 （ ）
A ．2,log 1x R x +∀∈≠
B ．2,log 1x R x +∀∉≠
C ．020,log 1x R x +
∃∈≠
D ．020,log 1x R x +∃∉≠
2．在一次射击训练中，甲、乙两名运动员各射击一次．设命题p 是“甲运动员命中10环”，q 是“乙运
动员命中10环”，则命题 “至少有一名运动员没有命中10环” 可表示为 （ ） A ．p q ∨ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()()p q ⌝∨⌝ D ．()p q ∨⌝ 3．全集R U =，集合{}
2|lg(1)M x y x ==-，{}|02N x x =<<，则()=⋂M C N U
（ ）
A ．{}|21x x -≤<
B ．{}|01x x <≤
C ．{}|11x x -≤≤
D ．{}|1x x <
4．当10
<<x
时，则下列大小关系正确的是 （ ）
A ．x x x
33
log 3<< B ．x x x
33
log 3<< C ．3
3
3log x x x << D ．x
x x 3log 33
<< 5．已知函数(
)40,1,
0,
x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛
⎫-<⎪ ⎪⎝
⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ （ ）
A ．
14 B ．1
2
C ．2
D ．4 6．函数2
()s i n l n (1)f x x x =⋅+的部分图象可能是 （ ）
O
x O y
x O y
x
.
O
x
.
C D
7．已知1212,,,a a b b 均为非零实数，集合1122{0},{0}A x a x b B x a x b =|+>=|+>，则 “
11
22
a b a b =”是“A B =”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8．已知函数||2
()x f x e x =+（e 为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围为（ ）
A ． 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ． 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ． 1,
⎛⎫-∞ ⎪⎝ D ． 130,,4⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝
9
．若A
B 中恰含有一个整数，
（ ）
A B C D ．()1,+∞ 10．已知3
()32f x x x m =-+，在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上任取三个数,,a b c ,均存在以()()(),,f a f b f c
为边长的三角形，则m 的取值范围是 （ ） A ． 6m > B ． 9m > C ． 11m > D ． 12m >
11．已知函数ln 1
()ln 1
x f x x -=+（x e >），若()()1f m f n +=，则()f m n ⋅的最小值为（ ）
A ． 25
B ． 35
C ． 27
D ． 57
12．定义在R 上的奇函数)(x f y =满足0)3(=f ，且当0x >时，不等式)()(x f x x f '->恒成立，
则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为 （ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．幂函数()f x x α
=的图象经过点(4,2)A ，则它在A 点处的切线方程为 ．
14．函数()f x =__________________．
15．已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则3(log 5)f =_______．
16．已知函数()2
1
11[0,]2
4221,12
2x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下 列结论，其中所有正确的结论的序号是 ．
①函数()f x 的值域为2[0,]3
； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；
③对任意0a >，方程()()f x g
x =在[]0,1内恒有解；
④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44
[,]95
． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩
（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭(0,02π)ρθ<厔
（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标．
18．（本小题满分12分）
已知命题p ：方程()()210ax ax +-=在[]1,1-上有解； 命题q ：12,x x 是方程22=0x mx --的两 个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立．若命题p 是真命题，命题q 为假命题，
求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，x
x g a -=11
log )(，记)()(2)(x g x f x F += （Ⅰ）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；
（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
某企业有一条价值为m 万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就 要对该流水线进行技术改造，假设产值y 万元与投入的改造费用x 万元之间的关系满足： ① y 与2
)(x x m -成正比； ②当2
m
x =时，23m y =；
③ a x m x
≤-≤
)
(40，其中a 为常数，且[]0,2a ∈． （Ⅰ）设)(x f y =，求出)(x f 的表达式；
（Ⅱ）求产值y 的最大值，并求出此时x 的值．
21．（本小题满分12分）
设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）在抛物线上是否存在不与原点重合的点P ，使得过点P 的直线交抛物线于另一点Q ， 满足F QF P ⊥，且直线Q P 与抛物线在点P 处的切线垂直？并请说明理由． 22．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x a x =-
11
x x -+，()x
g x e =（其中e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(
),b
P b e ，(),b
Q b e --，过点P ，Q 作
图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．
补习部数学（理）周测试题（七）参考答案
一、选择题
1-5 ACBDA 6-10 BBABC 11-12 DC 二、填空题
13． 440x y -+= 14． 1
(0,)(2,)2⋃+∞ 15． 6 16． ①②④
三．解答题
17．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩消去参数α，得()2
224x y -+=，
所以1C 的普通方程为：22
40x y x +-=． ·················································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
代入2240x x y -+=得24cos 0ρρθ-=， ····························· 4分
所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ························································· 5分
（Ⅱ）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程得：40x y --=．
由2240,40,x y x x y ⎧+-=⎨--=⎩ ············································································· 7分
解得4,0x y =⎧⎨=⎩或2,
2.
x y =⎧⎨=-⎩ ·········································································· 9分
所以1C 与2C 交点的极坐标分别为()4,0
或74π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭． ·
····························· 10分 18. 解：若命题p 为真 ()()210a x a x +-= 显然0a ≠
2x a
∴=-或1
x a
=
[]1,1x ∈- 故有21a -≤或11a ≤ 1a ∴≥ 即11a a ≥≤-或 ……………………………………………………5分
对于命题q ∵1
2
,x x 是方程2
2=0x mx --的两个实根，
∴1212,2x x m x x +==-，∴
12x x -=
又[]1,1m ∈-，故12x x -的最大值等于3. 由题意得：2
533a a --≥
解得 61a a ≥≤-或 故命题q 为真，61a a ≥≤-或 ……………………10分
命题p 是真命题，命题q 为假命题，则1116
a a a ≥≤-⎧⎨-<<⎩或，
实数a 的取值范围为 16a ≤< …………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）)()(2)(x g x f x F +=x
x a a -++=11
log )1(log 2（0>a 且1≠a ）
⎩
⎨
⎧>->+010
1x x ，解得11<<-x ， 所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- …………………2分
令)(x F 0=，则011
log )1(log 2=-++x
x a a ……（*）方程变为
)1(log )1(log 2x x a a -=+，x x -=+1)1(2，即032=+x x 解得01=x ，32-=x 经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x ，
所以函数)(x F 的零点为0． ……………………………………………………6分
（Ⅱ）x
x m a a -++=11
log )1(log 2（10<≤x ）
=m )4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a ，414
1--+-=x
x a m
设]1,0(1∈=-t x ，则函数t
t y 4
+=在区间]1,0(上是减函数，
当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥m a ． ①若1>a ，则0≥m ，方程在区间)1,0[内仅有一解；
②若10<<a ，则0≤m ，方程在区间)1,0[内仅有一解．………………………………12分
20．解：（Ⅰ）∵y 与2)(x x m -成正比，∴设2)()(x x m k x f y -==，
又2
m
x =时，23m y =∴解得k =4，从而有2)(4x x m y -=………………………………… 2分
由a x m x ≤-≤)(40解得a
am
x 4140+≤≤
故2)(4)(x x m x f -= )4140(a ma
x +≤≤
…………………………………………………… 4分
（ （Ⅱ）∵3244)(x mx x f -=，∴)32(4)('x m x x f -= 令0)('=x f 解得x 1=0，m x 32
2=
…… 5分
(ⅰ) 若
42143am m a >+，即1
22
a <≤，
当0(∈x , )32
m 时，0)('>x f ，)(x f 在]32,0[m 上单调递增； 当a
am x m 41432+<<时，0)('<x f ，)(x f 在32[m , ]414a am +上单调递减，
故当m x 32
=时，)(x f 取得最大值327
16)32(m m f =…………………………………………… 8分
(ⅱ) 若
42143am m a ≤+，即1
02
a ≤≤时， 当0(∈x ,
)414a am
+时，由于0)('>x f ，∴)(x f 在]414,
0[a
am +上单调递增，
故3
3
2max )41(64)414(
)(a m a a am f x f +=+=
……………………………………………………… 11分 综上可知：当102
a ≤≤
时，y 的最大值为33
2
)41(64a m a +，此时投入的技术改造费用为a am
414+；
当122
a <≤时，产值y 的最大值为32716m ，此时投入的技术改造费用为m 32
．………… 12分
21．解：（Ⅰ）设抛物线的方程是)0(22
>=p py x ，),(),,(B B A A y x B y x A ,
由抛物线定义可知 8=++p y y B A ……………………………………………2分
又AB 中点到x 轴的距离为3，∴6=+B A y y ，∴2p =，
所以抛物线的标准方程是y x 42
= ……………………………………………………4分
（Ⅱ）假设存在这样的点P ，设111,),0,P
x y x ≠（22(,)Q x y
则y x 42
=在P 处的切线方程是11
2
y x x y -=
， 直线1122:y x x y PQ ++-
=代入y x 42=得0)2(48
112=+-+y x x x ，……………6分 故12112148,8y x x x x x --=-=+，所以44
,811
2112++=--=y y y x x x
…………8分
而=⋅FQ FP =0
7421
12
1=---y y y
…………………………………………………10分
047212
13
1=---y y y )0(1>y ，得0)4()1(12
1=-+y y ，所以41=y ， 存在点)4,4(±P ． ……………………………………………………………………12分
（说明：没求出1y ，但说明关于1y 的方程047212
131=---y y y )0(1>y 有解，扣1分。

例如令=)(1y f 047212
131=---y y y ，0)5(,0)1(><f f ， 所以047212
13
1=---y y y )0(1>y 有解）
22．解（Ⅰ）因为函数()ln f x a x =-1
1
x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()
2201a f x x x '=
-≥+()01x <<． ………………………………………………2分 即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2
21x
a x ≥
+ 2
12x x
=
++()01x <<， 而()0,1x ∈，21122x x
<++，即12a ≥． 故a 的取值范围为1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭． ……………4分 （Ⅱ）证明：因为函数()e x
g x =，所以()e x
g x '=．
过点()
,e b P b ，(
),e
b
Q b --作曲线C 的切线方程为：
1l ：()e e b b y x b =-+， 2l ：()e e b b y x b --=++，
因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，
由()()e e ,e e ,
b b
b b
y x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ …………………………………………………6分 消去y ，解得()()()()
()
0e +e e +e e e 1e e e e b b b b b b b b b b
b b x -------=-=--． ① ……………7分 下面给出判定00x >的两种方法：
方法一：设e b
t =， 因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2
20
2+1ln 11
t t t x t --=
-． ………………………………………8分
设()()()
2
2
+1ln 1
h t t t t =--()1t >，则()1
2ln h t t t t t
'=-+
()1t >． 令()12ln u t t t t t =-+
()1t >， 则()212ln 1u t t t
'=+-． 当1t >时，ln 0t >，2110t ->，所以()21
2ln 10u t t t
'=+->，……………10分
所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10u t u >=，即()0h t '>，
所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10h t h >=． 而当1t >时，2
10t ->， 所以()()2
20
2
+1ln 101
t t t x t --=
>-．……………12分
方法二：由①得0x ()221+e 11e b b
b --=
--．
设2e
b
t -=，因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-．于是21ln b
t
-=
， 所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=
+=+ ⎪--⎝⎭
． ……………… …………9分 由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-1
1x x -+在区间()0,1上是增函数，
所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11
t t -+． 即210ln 1t t t ++>-，已知0b >， 所以0210ln 1t x b t t +⎛⎫
=+> ⎪-⎝⎭
．………………12分。