山西省晋城市2021届新高考五诊数学试题含解析

山西省晋城市2021届新高考五诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列判断错误的是( )
A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=
B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件
C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,
4B ξ⎛
⎫ ⎪⎝⎭:， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；
对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意；
对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,
4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 则()114
E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；
对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立.
因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意.
故选：D
【点睛】
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题. 2．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB
为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B
C ．2 D
【答案】C
【解析】
【分析】 由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2
b a
c a
=+，再结合,,a b c 关系求解即可 【详解】
因为0FA FB +=u u u r u u u r ，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22
c a a c a
-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C
【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
【详解】
由“l 22og log a b <”，得2211log log a b
<， 得22log 0log 0
a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞， 即011
a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜， 由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，
故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选C ．
【点睛】
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）
A ．6里
B ．12里
C ．24里
D ．48里
【答案】C
【解析】
【分析】 设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列，由题意得1661(1)2378112
a S -==-，求出1192a =（里)，由此能求出该人第四天走的路程．
【详解】
设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12
为公比的等比数列， 由题意得：1661(1)2378112
a S -==-， 解得1192a =（里)，
∴34111()1922428
a a =⨯=⨯=（里)． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
6．i 为虚数单位,则3
2i 1i
-的虚部为（ ） A ．i -
B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】 ()()()
()32122111111i i i i i i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.
7．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）
A ．55
B ．500
C ．505
D ．5050
【答案】C
【解析】
【分析】 因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=，即得解.
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，
又n 阶幻方有n 行（或n 列）， 因此，2
123()n f n n
+++⋅⋅⋅+=， 于是12399100(10)50510
f +++⋅⋅⋅++=
=． 故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
8．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）
A ．118
B ．54
C ．14
D ．18
【答案】D
【解析】
【分析】
设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，作为一个基底，表示向量()1122DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，()3324DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r 5344a b =-+r r ，然后再用数量积公式求解. 【详解】
设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ， 所以()1122DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，()3324DF DE b a ==-u u u r u u u r r r ，()
1324AF AD DF a b a =+=-+-u u u r u u u r u u u r r r r 5344a b =-+r r ， 所以531448AF BC a b b b ⋅=-⋅+⋅=u u u r u u u r r r r r . 故选：D
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
9．设i 是虚数单位，a R ∈，
532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 【答案】C
【分析】 由532ai i a i
+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值.
【详解】 解：532ai i a i
+=-+Q ，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩
，解得：1a =. 故选:C.
【点睛】
本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算. 10．下列说法正确的是（ ）
A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”
B ．在AB
C V 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件
C ．“若tan 1α≠，则4π
α≠”是真命题
D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立
【答案】C
【解析】
【分析】
A ：否命题既否条件又否结论，故A 错.
B ：由正弦定理和边角关系可判断B 错.
C ：可判断其逆否命题的真假，C 正确.
D ：根据幂函数的性质判断D 错.
【详解】
解：A ：“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a ≤，则21a ≤”，故 A 错.
B ：在AB
C V 中，2sin 2sin A B a b R A R B >⇔>⇔>，故“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要充分条件，故B 错.
C ：“若tan 1α≠，则4π
α≠”⇔“若=4
πα，则tan =1α”，故C 正确. D ：由幂函数(0)n y x n =<在()0+∞，
递减，故D 错. 故选：C
考查判断命题的真假，是基础题.
11．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．12
B ．12-
C ．12i
D ．1
2
i - 【答案】A
【解析】
【分析】
由()1i z i +=得1z i
i =
+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】
因为(1)i z i +=, 所以22(1)1111(1)(1)1122
1i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为
12
. 故选A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.
12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴
于点K ，若11||2||
A K
B K =，则直线l 的斜率为 A ．1
B
． C
．D
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =，
又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||
A K AA
B K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠=
==+，
所以sin AFx ∠=，所以直线l
的斜率tan k AFx =∠=C ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知(2x-1)7=a o +a 1x+ a 2x 2+…+a 7x 7，则a 2=____.
【答案】84-
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式即可得结果.
【详解】
解：(2x-1)7的展开式通式为：()
()71721r r r r T C x -+=- 当=5r 时，()()2552672184T C x x =-=-，
则284a =-.
故答案为：84-
【点睛】
本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，则数列{}n S 的前10项的和为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由1n n S a +=得2n ≥时，1n n S a -=，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和．
【详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足1n n S a +=，①
当2n ≥时，1n n S a -=，②
①-②得：1n n n a a a +=-， 整理得：12n n
a a +=（常数）， 故数列{}n a 是以21a =为首项，2为公比的等比数列，
所以212n n a -=⋅（首项不符合通项），
故21122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，
所以：()910121151221S -=+=-，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的公式，属于基础题．
15．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分別为4，5，则输出v的值为______.
【答案】1055
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.
【详解】
模拟执行程序如下：
==
n x
4,5
v i
==，满足0
1,3
i≥，
==，满足0
v i
8,2
i≥，
v i
==，满足0
42,1
i≥，
v i
==，满足0
211,0
i≥，
==-，不满足0
1055,1
v i
i≥，
输出1055v =.
故答案为：1055.
【点睛】
本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.
16．设集合{}1,3A =，{}
2230B x x x =--<，则A B =I ____________. 【答案】{}1
【解析】
【分析】
先解不等式2230x x --<,再求交集的定义求解即可.
【详解】
由题,因为2230x x --<,解得13x -<<,即{}|13B x x =-<<, 则{}1A B =I ,
故答案为:{}1
【点睛】
本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且122 2.AB AD AA BD DC =====，
(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;
(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.
【答案】 (Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ6【解析】
【分析】
(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.。