山西省晋城市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

山西省晋城市2021届新高考数学第四次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知EF 为圆()()22
111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩
则
ME MF ⋅u u u r u u u r
的取值范围为（ ）
A ．9
,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]4,13
C ．[]4,12
D ．7,122
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
首先将ME MF ⋅u u u r u u u r
转化为2
1MT -u u u r ，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心
(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.
【详解】
作出可行域如图所示
设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r
22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r 2
1MT =-u u u r ,
过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -， 所以2
2
[1(2)](11)13MA =--+--=22
32
2
1(1)TB =
=
+-， 故ME MF ⋅u u u r u u u r 27
1[,12]2
MT =-∈u u u r .
故选：D. 【点睛】
本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.
2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【详解】
由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，2233,1a a ==. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
3．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．4
【答案】A 【解析】 【分析】
224442+=(
)(
)
2
2
22
22
4+=22222+=的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】
最底层正方体的棱长为8，
=
4=，
=，
2=，
=
1=，
2=， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
4．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ）
A B ．
9
8
C ．1
D ．
78
【答案】B 【解析】 【分析】
首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π
=-
，再求出3,24B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，最后根据
sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
求出sin sin A C +的最大值；
【详解】
解：因为cos sin a A b A =， 所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =
2
B π
>
Q
2
A B π
∴=-
022
02A B C ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛
⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩
，3,
24B ππ
⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
，cos 2B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭
sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
cos cos2B B =--
22cos cos 1B B =--+
2
192cos 48B ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭
时()max 9
sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
5
．使得()3n
x n N +⎛∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B 【解析】
二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r
r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5
=2
n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．
6．若双曲线E ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、
B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）
A ．22
154x y -=
B ．22
145x y -=
C ．22
163x y -=
D ．22
136
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】
由题意，直线l 的斜率为06
133
PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，
把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b
-=，可得2222222
()690b a x a x a a b -+--=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2
1222
6a x x a b
+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得222
66a a b
=--，解答22
2b a =，
又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==
所以双曲线的标准方程为22
136
x y -=.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
7．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）
A B ． C ．
12
D ．12
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质和已知可得623
a π=，即可得到9343a a π
+=，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623
a π
=， 9633
24a a a π+=
=∴，
()394sin
sin s si in 333n a a ππππ∴⎛
⎫=+=-= =⎪⎝+⎭
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
8．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12
log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝
⎭
，则a 的取值范围是（ ）
A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,4⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
C ．1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()4,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单
调递增，分析可得()()()1
222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭
，解可得a 的取值范围，即可得答案. 【详解】
将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象，
由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，
即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，得()()2log 2f a f <，
Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得
1
44
a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题.
9．若双曲线E ：22
1x y m n
-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于
（ ）
A B
C ．2
D ．2
【分析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o
，所以
b a =
，由
离心率公式e =即可算出结果.
【详解】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x
轴，又可在y
轴上，所以b a =
3
，2e ∴==
故选：C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.
10．已知12,F F 分别为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、
右两支分别交于,A B 两点，若22
240,5
BF AB BF AF ⋅==u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A
B ．4
C ．2
D
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示
出1AF ，2AF ，用勾股定理得出
,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】
2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒
u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q .又224
5
BF AF =Q ，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，
解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2
2
2
12
12BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =
，c ，∴该双曲线的离心率
13
c
e
a
==.
故选：A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B到焦点的距离都用a表示出来，从而再由勾股定理建立,a c的关系．
11．已知1F，2F是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且21
PF PF
>，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，若112
PF F F
=，则2
1
3
3
e
e
+的最小值为（）
A．623
+B．622
+C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2
1
3
3
e
e
+，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a'，半焦距为c，
则
1
c
e
a
=，
2
c
e
a
=
'
，设
2
PF m
=
由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
12
2
2
m
PF PF a a c
+=⇒=+，
21
2
2
m
PF PF a a c
''
-=⇒=-
则2
1
3
3
e
e
+
33
322
6
3
33
22
m m
c c
a c c c
m m
c a c c
c c
⎛⎫⎛⎫
+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=+=+=++
'⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
3
2
628
3
2
m
c
c
m
c
c
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
≥+⋅=
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
当且仅当7
3
a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.
12．若平面向量,,a b c r r r
，满足||2,||4,4,||a b a b c a b ==⋅=-+=r
r r r
r r r ，则||c b -r
r 的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】C 【解析】 【分析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】 由题意可得：
()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r
，
2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r r
r r r r Q
|2|a b ∴-=r r
2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r
22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r
3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r
55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r
55+…
2555223+=+⨯=Q ，
故选：C 【点睛】
本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，则
22sin sin A B
+=__________．
410 【解析】 【分析】
由题意可知A C π+=，B D π+=，在ABD ∆和BCD ∆中，利用余弦定理建立 方程求cos A ，同理求cos B ，求sin ,sin A B ，代入求值. 【详解】
由圆内接四边形的性质可得180C A ∠=︒-∠,180D B ∠=︒-∠．连接BD ，在ABD ∆中， 有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅．在BCD ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅． 所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-⋅=++⋅,
则2222222265343
cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--=
==⋅+⋅⨯+⨯，所以223210
sin 1cos 1()7A A =-=-=
连接AC ，同理可得2222222263541
cos 2()2(6354)19
AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--=
==⋅+⋅⨯+⨯, 所以221610
sin 1cos 1(
)1919B B =-=-=
．所以22410sin sin 210610A B +=+= 410
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补. 14．若函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围有___________.
【答案】0a =或1
2
a ≥ 【解析】 【分析】
函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-的零点⇔方程224x a x a -+=的根，求出方程的两根为14x a =-，20x =，从而
可得40a -=或42a -≤-，即0a =或12
a ≥. 【详解】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞的零点⇔方程224x a x a -+=在区间(2,)-+∞的根，所以
|2|2||x a x a -=+，解得：14x a =-，20x =，
因为函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，
所以40a -=或42a -≤-，即0a =或12
a ≥. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.
15．若函数()sin 22f x x x =-的图像向左平移
8
π
个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为________.
【答案】【解析】 【分析】
注意平移是针对自变量x ，所以()()8
g x f x π
=+=2sin(2)12
x π
-
，再利用整体换元法求值域（最值）即
可. 【详解】
由已知，()sin 22sin(2)3f x x x x π
=-=-
，()()8
g x f x π
=+=
2sin[2()]2sin(2)8312x x πππ+-=-，又3,88x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，故22[,]1233x πππ-∈-，
2sin(2)[12
x π
-
∈，所以()g x 的最小值为
故答案为：. 【点睛】
本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.
16．已知二面角α﹣l ﹣β为60°，在其内部取点A ，在半平面α，β内分别取点B ，C ．若点A 到棱l 的距
离为1，则△ABC 的周长的最小值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】
作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ，连接MN ，AM ，AN ，DE ，根据对称性三角形ADC 的周长为AB+AC+BC ＝MB+BC+CN ，当四点共线时长度最短，结合对称性和余弦定理求解. 【详解】
作A 关于平面α和β的对称点M ，N ，交α和β与D ，E ， 连接MN ，AM ，AN ，DE ，
根据对称性三角形ABC 的周长为AB+AC+BC ＝MB+BC+CN ，
当M ，B ，C ，N 共线时，周长最小为MN 设平面ADE 交l 于，O ，连接OD ，OE ， 显然OD ⊥l ，OE ⊥l ，
∠DOE ＝60°，∠MOA+∠AON ＝240°,OA ＝1， ∠MON ＝120°，且OM ＝ON ＝OA ＝1，根据余弦定理， 故MN 2＝1+1﹣2×1×1×cos120°＝3， 故MN 3=． 故答案为：3．
【点睛】
此题考查求空间三角形边长的最值，关键在于根据几何性质找出对称关系，结合解三角形知识求解. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直线:l y kx m =+与椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于
,A B 两点.
（I ）求k 与m 的关系式；
（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当1
2
k =-
时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率. 【答案】（Ⅰ）2222m a k b =+（II ）10
e = 【解析】 【分析】
（I ）联立直线与椭圆的方程，根据判别式等于0，即可求出结果；
（Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，可得QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍，再由当1
2
k =-
时，OAB ∆的面积取到最大值2
2
a ，可得OA OB ⊥，进而可得原点O 到直线l 的距离，再由点到直线的距离
公式，以及（I ）的结果，即可求解. 【详解】
（I ）由2222,1
y kx m x y a
b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()22222222
20a k b x a kmx a m b +++-=，
则()
()()
2
2222222240a km
a k
b a m b ∆=-+-=
化简整理，得2222m a k b =+；
（Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.
所以当12k =-时，OAB ∆的面积取到最大值2
2
a ，此时OA OB ⊥，
从而原点O 到直线l 的距离2
d =
， 又2
1
m
d k =+22212m a
k =+. 再由（I ），得22222
12a k b a k +=+，则22
221b k a
=-.
又12k =-，故22
22114b k a =-=，即2238
b a =，
从而222
22518c b e a a ==-=，即e =
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的简单性质，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于中档试题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.
【答案】（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(2
22:3C x y +-=.（2）y =.
【解析】 【分析】
（1）用1cos sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫=<<∈ ⎪⎝
⎭
，代入到1:2cos C ρθ=和2C ：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解. 【详解】
解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩
和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨
=⎩ ()()
22
cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=
故1C ：2cos ρθ=
将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ=
因为2
2
2
,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-=
得2C
的直角坐标方程(2
22:3C x y +-=.
（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R π
θϕϕρ⎛⎫=<<
∈ ⎪⎝
⎭
由2cos θϕ
ρθ
=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，
由θϕρθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得||OB ϕ=
故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛
⎫
+==+ ⎪⎝
⎭
当3
π
ϕ=
时，OA OB +取得最大值
此时直线的极坐标方程为：()3
R π
θρ=∈，
其直角坐标方程为：y =. 【点睛】
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
19．已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .
【答案】（1）11222222n
n n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244
n n n T n +=---
【解析】 【分析】
（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可； （2）利用分组求和法解决. 【详解】
（1）依题意有()
1111
21n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨
-=-+⎩ 又111142a b a b +=-=；.
可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，
由()()1
11112
(1)n n n n n
a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨
-=+⎩ 解得1222
1222n
n n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨
⎪=--
⎪⎩
故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11
222222
n
n n n n n a b =+
+=--；. （2）(
)21
212(1)32
212
4
2
44
n n n
n n n n S n
+-+=++=-++-， (
)21
212(1)32
212
4
2
44
n n n n n n n T n
+-+=
--=----. 【点睛】
本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.
20．已知函数ln ()e x
x
f x a
=-
. （1）若()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的最大值； （2）若01a <<，求证：2ln ()a
f x a
+≥. 【答案】（1）2
1
2e （2）详见解析 【解析】 【分析】 【详解】
（1）1
()e (0)x f x x ax
'=-
>， 在[1,2]上，因为()f x 是减函数，所以1
()e 0x
f x ax
'=-
≤恒成立， 即
1e x x a
≥恒成立，只需max 1
(e )x x a ≥.
令()e x t x x =，[1,2]x ∈，则()e e x x t x x '=+，因为[1,2]x ∈，所以()0t x '
>.
所以()e x t x x =在[1,2]上是增函数，所以2max (e )2e x x =， 所以
212e a
≥，解得2102e a <≤.
所以实数a 的最大值为
2
12e .
（2）ln ()e (0)x
x f x x a =-
>，1
()e x f x ax
'=-. 令1()e (0)x
g x x ax =-
>，则21()e x g x ax
'=+， 根据题意知()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数.
又因为11
()e 10a g a
=->，
当x 从正方向趋近于0时，
1ax
趋近于+∞，e x 趋近于1，所以1()e 0x
g x ax =-<，
所以存在01(0,)x a ∈，使0
00
1()e 0x g x ax =-=， 即0
1
e x ax =
，000ln()ln ln x ax a x =-=--， 所以对任意0(0,)x x ∈，()0<g x ，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上是减函数； 对任意0(,)x x ∈+∞，()0>g x ，即()0f x '>，所以()f x 在0(,)x +∞上是增函数， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .
由于0
1
e x ax =
，00ln ln x x a -=+， 则0
0000ln ln 1
()=x x x a f x e a ax a
+=-
=
+001ln ln 2ln x a a a ax a a a a a ++≥=+=
2ln a a +，当且仅当
001x ax a = ，即01x =时取等号， 所以当01a <<时，2ln ()a
f x a
+≥
． 21．某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l 小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为14，1
6
，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为
12，2
3
，且两人健身时间都不会超过3小时. （1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望()E ξ； （2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额. 【答案】（1）见解析，40元（2）6000元 【解析】 【分析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值. 【详解】
解：（1）由题设知ξ可能取值为0，20，40，60，80，则
()11104624
P ξ==⨯=；
()12111
2043624
P ξ==⨯+⨯=；
()1112115
4046236412P ξ==⨯+⨯+⨯=；
()11121
6026434P ξ==⨯+⨯=；
()111
804624
P ξ==⨯=.
故ξ的分布列为：
所以数学期望()10204060804024412424
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） （2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：1
4030060002
⨯⨯=（元）
【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.
22．在直角坐标系
xOy 中，直线l 的参数方程为2x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
，以O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求l 的普通方程和1C 的直角坐标方程；
（2）把曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变），设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）:20l x y +-=，()2
2:11C x y +-=；（2）5
. 【解析】 【分析】
（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ
得22sin ρρθ=，进而可化简得出曲线1C 的直角坐标方程；
（2）根据变换得出2C 的普通方程为2214
x
y +=，可设点P 的坐标为()2cos ,sin θθ，利用点到直线的距
离公式结合正弦函数的有界性可得出结果. 【详解】
（1
）由2x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
2=-
，化简得20x y +-=， 故直线l
的普通方程为20x y +-=.
由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，又222
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.
所以1C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=；
（2）由（1）得曲线1C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=，向下平移1个单位得到22
1x y +=，
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线2C 的方程为2214
x
y +=，
所以曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
故点P 到直线l
的距离为d ==
， 当4
π
θ=
时，d
. 【点睛】
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数2
()52ln f x x x x =-+. （1）求()f x 的极值；
（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>. 【答案】（1）()f x 极大值为9
2ln 24
--；极小值为62ln 2-+；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）对函数()f x 求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值;
（2）构造函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛⎫
=--∈ ⎪⎝⎭
,求导并判断单调性可得()0F x <,从而()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,再结合110,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,()()()2111f x f x f x =<-,可得到211x x >-,即可证明结论成立. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,2(21)(2)()25(0)x x f x x x x x
'
--=-+
=>, 所以当10,(2,)2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭U 时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<,
则()f x 的单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
和(2,)+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故()f x 的极大值为115
192ln 2ln 224224f ⎛⎫=-+=--
⎪⎝⎭
;()f x 的极小值为(2)4102ln 262ln 2f =-+=-+.
（2）证明:由（1）知1231
022
x x x <<
<<<, 设函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭
, 则
()()()22()52ln 1512ln 1F x x x x x x x ⎡⎤=-+----+-⎣⎦
, 2
(21)(2)(21)(1)2(21)()1(1)
x x x x x F x x x x x ---+-'=+=--,
则()0F x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增,
故1()2F x F ⎛⎫<
⎪⎝⎭
, 又1110222F f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭,则1()()(1)0,0,2F x f x f x x ⎛⎫
=--<∈ ⎪⎝⎭, 即()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立.
因为110,
2x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以()()111f x f x <-, 又()()21f x f x =,则()()211f x f x <-, 因为211,1,22x x ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭,且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减,
所以211x x >-,故121x x +>.
【点睛】
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.。