模具cad 第二章

然而，NURBS也还存在一些缺点： ①需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面； ②权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随 后的曲面结构。 虽然NURBS存在这样一些缺点，但其强大的优点使其已 成为自由型曲线曲面的唯一表示。
4．NURBS曲线的定义
一条 k 次NURBS曲线定义为：
p(u )
WED以边为核心来组织数据 ►两个点指针 ►棱边－－有向线段
其棱边为曲线段，这时必须增添一项指针
指向该曲线边数据
►两个环指针 ►四个指向边的指针
翼边结构
精确B-rep法

早期的B-rep法只支持多面体模型。 现在由于参数曲面和二次面均可统一用 NURBS曲面表示，面可以是平面和曲面，边 可以是曲线，这样使实体造型和曲面造型相统 一，不仅丰富了造型能力，也使得边界表示可 精确地描述形体边界。
r (t ) r ( x(t ), y(t ), z (t ))

参数曲面与此类似。
2.3.2 曲线定义
1. Bezier曲线定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线 上各点坐标的插值公式是：
其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：
注意：约定 0° = 1, 0! = 1
如图所示是一条三次Bezier曲线实例，即 n ＝ 3

对于三次Bezier曲线，其表达式为
Bezier曲线的性质
(1) 曲线端点位置矢量
当t=0时，P(0) = P0 当t=1时，P(1) = Pn 由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。 (2) 端点切矢量为
CSG和B-rep混合表示

以CSG模型表示几何造型的过程及其设计参数； 用B-rep模型维护详细的几何信息和显示、查 询等操作。
2.3 参数曲线与曲面建模
2.3.1自由曲线和曲面的参数表示 2.3.2曲线定义 2.2.3曲面定义 2.3.4曲线曲面生成
2.3.1自由曲线和曲面的参数表示



树根表示定义的形体 树叶为体素或变换量(平 移量，旋转量) 中间结点表示变换方式 或布尔运算的算子
CSG的二叉树结构
CSG法


CSG树表示是无二 义性的，也就是说 一棵CSG树表示能 够完整地确定一个 形体。 但一个复杂形体可 用不同的CSG树来 描述它。
CSG法

常用的体素
CSG法的优点
可以将一段B样条曲线在其中间某一点处被分割为两段， 每一段仍然为一段新的B样条曲线。
3．NURBS方法的提出及优缺点
NURBS—非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline)，这种 方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的 又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。 NURBS方法主要有以下四个特点： ①NURBS不仅可以表示自由曲线曲面，它还可以精确地表示圆锥曲线和 规则曲线，所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的 数学描述方法； ②NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲 线曲面形状。若运用恰当，将更便于设计者实现自己的设计意图； ③NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理 B样条曲线曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线 曲面； ④计算稳定且快速。

① 边界表示法 ② 体素构造表示法
边界表示法 (B-rep表示法)

边界表示法是以形体表 面的细节，即以顶点、 边、面等几何元素及其 相互间的连接关系来表 示形体的。
B-rep表示
Volume V1 S1 f3 f6 f4 f2 Loop Edge f5 e3 e4 v4 v1 e5 f1 v2 v3 e2 Vertex Shell Face
如平面曲线上任一点P可表示为： P(t) = [x(t), y(t)] 如直线：P (t) = P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]
由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计 算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。
参数表示


空间参数曲线可以看作是一个动点在空间的轨 迹，可以用位置矢量连续不断的各瞬间位置描 述，如图2-9所示。 曲线的参数方程—般可写为：
V1 S1 f1 L1 e1 v2 v1 f2 L2 e2 v3 v2 ... ... e3 v4 v3 e4 v1 v4 e5 ... ... ...
e1
边界表示法

重要特点：该方法详细记录了构成形体的所有几何元 素的几何信息及其拓扑关系。
四面体及其层次表示
边界表示的数据结构

翼边结构 WED ( Winged Edge Data Structure )
当t=0时，P’(0) = n(P1-P0)， 当t=1时，P’(1) = n(Pn-Pn-1) 这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条 边及最后一条边的走向一致。
(3) 凸包性
Bezier曲线不会越出控制多边形顶点所形成的凸包（包含所有顶点 的最小凸多边形）的范围。
(4) 几何不变性
B样条曲线的性质
(1)局部性 局部性是B样条曲线最重要的性质之一，这是Bezier曲线所 不具备的。 (2)凸包性 B样条曲线的凸包区域比同一组顶点定义的Bezier曲线凸包 区域要小，具有比Bezier曲线更强的凸包性。B样条恒位于 它的凸包内； (3)几何不变性 B样条曲线的几何特征不随坐标变换而变化。 (4) C 2连续性 由前述曲线基本公式可知，曲线各段之间是以位置、斜率 与曲率连续为条件的，故具有连续性。 (5)可分割性


所谓自由曲线通常指不能用直线、圆弧和二次 圆锥曲线描述的任意形状的曲线。 自由曲线常用的生成方法有：逼近和插值等方 法。 随着计算机技术的发展，自由曲线在机器人轨 迹规划、航空航天、汽车、船舶、模具等流线 型表面设计方面得到了广泛的应用。
曲线和曲面的三种表示方法
1）显式 y=f（x）； z ＝ f（x，y） 2）隐式 f（x，y，z）＝ 0 3）参数表示 x = f(t)，y = f(t)，z=f(t)
2. B样条曲线的定义
Bezier曲线的两点不足：
1） 特征多边形顶点的个数决定了曲线的阶数，当n较 大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的 形状控制减弱 2）由于 Bi,n(t)在0 <= t <= 1 的整个区域都不为0，曲线 不能做局部修改，即改变某个控制点将影响整条曲线
定义
(4)边 边是形体两个相邻面的交界，一条边只能有两个相邻的 面。
(5)顶点 顶点是边的端点，顶点不允许出现在边的内部，也不 允许孤立地存在面内和物体内部或外部。
2. 布尔运算
►常用的布尔运算有交、并 和差。
►在布尔运算中，所有参与 运算的物体必须具有相 同的空间维数。
►在布尔运算中，关键的问 题是表面求交及拓扑信 息的分类处理。

符合欧拉公式的物体称为欧拉物体。
通过一系列增加和删除面、边、点的操作去构 造欧拉物体的过程称为欧拉运算。 现在已有一套欧拉算子供用户使用，保证在每 一步欧拉运算后正在构造中的物体符合欧拉公 式。

2.2 形体的表示模式
如何选择形体表示方法？

首先是该表示方法蕴含信息的完整性，即这种表示方法所 决定的数据结构是否唯一地描述了一个实际形体； 其次是该表示方法所能表达形体的覆盖率，即定义形体范 围的大小。覆盖率越高，造型系统的造型能力越强。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
模具CAD基础
华中科技大学 王义林 主编
第二章 产品零件造型

基本概念 形体的表示模式 参数曲线与曲面建模 参数化设计技术 特征造型技术 同步建模技术 应用实例：基于NX的覆盖件模具设计
2.1 基本概念
1. 形体的信息结构
形体在计算机内通常 采用五层拓扑结构来 定义，如果考虑形体 的外壳，则为六层结 构
t k 1 u t n 1
其中是节点值，T=[t0,t1,…,tn+2k-1] 构成了K阶B样条函数的节点矢量。 节点矢量所含节点数目由控制顶点n和曲线次数k所确定。 均匀B样条函数，其节点值ti－1－ti ＝ 常数； 非均匀B样条函数，即节点值ti－1－ti ≠ 常数。
该定义说明：
① 由空间n十1个控制点生成的k阶B样条曲线是由L ＝n-k+1段B样条曲线逼近而成的，每段曲线段的形 状仅由点列中的k个顺序排列的点所控制； ② 由不同节点矢量构成的均匀B样条函数所描述的 形状相同，可看成是函数的简单平移。
(1)数据结构比较简单，信息量小，易于管理； (2)每个CSG都和一个实际的有效形体相对应； (3)CSG可方便地转换成边界表示； (4)CSG树纪录了形体的生成过程，可修改形体生成的各环节以 改变形体的形状。
CSG法的缺点
(1)对形体的修改操作不能深入到形体的局部，如面、边、点等；
(2)直接基于CSG表达显示形体的效率很低。
四面体及其层次表示边界表示的数据结构wingededgedatastructurewed以边为核心来组织数据两个点指针棱边有向线段其棱边为曲线段这时必须增添一项指针指向该曲线边数据两个环指针四个指向边的指针翼边结构精确brep法现在由于参数曲面和二次面均可统一用nurbs曲面表示面可以是平面和曲面边可以是曲线这样使实体造型和曲面造型相统一不仅丰富了造型能力也使得边界表示可精确地描述形体边界
形体的拓扑结构

形体的拓扑结构
(1)体 体是由封闭表面围成的有效空间。一个形体是欧氏三维 空间 (R3) 中非空、有界的封闭子集，其边界是有限个面的 并集。 (2)面 面是形体表面的一部分，具有方向性，它由一个外环和 若干内环界定其有效范围，一个面可以无内环，但必须有 外环。 (3)环 环是由若干条有向边组成的面的封闭边界。环中各条边 顺序相连不能自交。
d
i 0 n i
n
i
N i,k (u )

i 0
i
N i,k (u )
其中 i ,i 0,1,,n 称为权,与控制顶点相联，其作用类似基 函数，但更直接。 0，n 0 , i 0 ，可防止分母为零、保留 凸包性质及曲线不致退化。 d i ,i 0,1,,n 为控制顶点。 Ni,k (u) 是由节点U u0 ,u1 ,...,unk 1 决定的 k 次（k＋1阶）B样 条基函数。
是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。 Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点的位置 有关，它不依赖坐标系的选择。
（参变量u是t的置换） (5) 可分割性 可以将一段Bezier曲线在其中间某一点处分割为两段， 每一段仍然为一段新的Bezier曲线。因此，Bezier曲线 具有无限可分割性。
对于多面体有以下著名的欧拉公式:
V − E + F ＝ 2B − 2G + L
式中V为顶点数，E为边数，F是面数，B相当于独立 的、不相连接的多面体数，G是贯穿多面体的孔的个 数，L是所有面上末连通的内环数。
例如：
(a) (b) (c) 14—21十9 ＝ 2×1—2×1十2 16—24十11 ＝ 2×1一2×0十1 16—28十13 ＝ 2×1—2集合运算， 它保证两个基本体 素经过运算后所得 结果是有意义的， 并可进一步参与布 尔运算。
图2-2 布尔运算与一般运算的区别 a) A、B两形体 b）一般集合运算 c)布尔运算
3. 欧拉公式

欧拉公式常用于检验几何造型中所产生形体的合法性 及一致性，以保证产生的形体有意义。
B-rep法的缺点
(1)数据结构复杂，需大量存储空间，维护内部数据结构及一 致性的程序较复杂； (2)对形体的修改操作较难实现。
体素构造表示法 (CSG法)

是一种利用一些简单形状的体素，经变换和布 尔运算构成复杂形体的表示模式。 采用二叉树结构（CSG树）来描述体素构成复 杂的形体的关系 。

CSG法
已知n+1个控制点Pi(i=0,1,….,n),也称为特征多边形，K阶B样条 的表达式为：
C (u ) Pi N i ,k (u )
i 0
n
1 若ti u ti 1 N ( u ) i ,1 0 其它 (u ti ) N i ,k 1 (u ) (ti k u ) N i 1,k 1 (u ) N ( u ) i ,k ti k 1 ti ti k ti 1
由于B-rep表示覆盖域大，原则上能表示所有的形体，而且易 于支持形体的特征表示等，Brep表示已成为当前CAD/CAM系 统的主要表示方法。
B-rep法的优点
(1)表示形体的点、线、面等几何元素是显式表示，使得形体 的显示很快．并且很容易确定几何元素之间的连接关系； (2)可对B-rep法的形体进行多种操作和局部修改。 (3)便于在数据结构上附加各种非几何信息，如精度、表面粗 糙度等。