南通大学《线性代数》2021-2022第一学期期末试卷

南通大学本科课程期末考试试卷
2021年春季学期 考试科目： 线性代数 学院： 数学科学学院 ___ 试卷类型： B 卷 命题人: 线性代数课题组 审核人：________ _
一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18分)
1. 设(1,1,1)T α=,(1,,0)T k β=，若矩阵T
αβ相似于200010000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则k = 2 .
2. 设二次型123(,,)T
f X X X x Ax =的秩为2，A 中各行元素之和为3，A 中对角元之和
是4，
则f 在正交变换下x Qy =的标准型为___2
3223y y +(特征值:0,3,1) ___ .
3. A 是n 阶不可逆矩阵，A 关于11a 的代数余子式110A ≠，则齐次方程组0A x *=的通 解 至多有1-n 个线形无关的解向量 .
4. 设,A B 为3阶方阵，且12,3,2,A B A B -==+=则1A B -+= 3 .
5. 设方程组123123123
000kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩ 只有零解，则k 应满足的条件是 1≠k 。

6. 从2
R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121αα到基⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,1221ββ的过渡矩阵为__. 若向量α在基21,αα下的坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-11，则α在基21,ββ下的坐标为
________.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10;1113
二、选择题(共 8 题，每题 3分，共 24 分)
1. 设,A B 均为3阶方阵，,A B *
*
分别为,A B 的伴随矩阵，若2,3,A B ==则分块矩阵
00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的伴随矩阵为( D ). A 、3002B A **⎛⎫
⎪⎝⎭ B 、2003B A **⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、2003A B **⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、3002A B **⎛⎫
⎪⎝⎭
2. 设,A P 为3阶方阵，T P 为P 的转置矩阵，且200010001T
P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，若
()()1231233,,,,,P Q ααααααα==+，则T Q AQ 为( C ). A 、200010011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B 、200020011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C 、200021011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 、200020012⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
3. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则下列结论正确的是( A )． A 、 E A -可逆， E A +可逆. B 、 E A -不可逆，E A +可逆. C 、 E A -不可逆，E A +不可逆. D 、 E A -可逆， E A +不可逆.
4. 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，若()0T
A R R A αα
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则线性方程组（ D ）。

A 、Ax α=必有无穷多解 B 、Ax α=有惟一解 C 、00T
A x y αα
⎛⎫⎛⎫
=
⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 D 、00T
A
x y αα
⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
必有非零解
5. 设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵且I AB =，其中I 为m 阶单位矩阵，则（A ）。

A 、m B r A r ==)()( B 、n B r m A r ==)(,)( C 、m B r n A r ==)(,)( D 、n B r A r ==)()(
6. 设
1234123400110,1,1,1αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
c c c c ， 1234c c c c ，，，为任意常数， 则下列向量组线性相关的是（ C ）
A 、123ααα，，
B 、124ααα，，
C 、134ααα，，
D 、234ααα，，
7. 设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =，其中,A B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题： A 、若0Ax =的解均是0Bx =的解，则()()R A R B ≥。

B 、若()()R A R B ≥，则0Ax =的解均是0Bx =的解。

C 、若0Ax =与0Bx =同解，则()=()R A R B 。

D 、若()=()R A R B ，则0Ax =与0Bx =同解。

以上命题正确的是（ AC ）。

8. 设4元线性方程组b Ax =，A 的秩为2，321,,ααα是该方程组的三个线性无关的解，则（ CD ）是线性方程组b Ax =的通解（21,k k 是任意常数） A 、 )()()(13212121αααααα-+-++k k B 、 )(1211ααα-+k
C 、 1221231()()k k ααααα+-+-
D 、 )()()(3
1132121321ααααααα-+-+++k k
三、计算题(共 4题，每题6分，共 24 分)
1.计算
n
n
n
n
n d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
1
1112
()()()n n n n c b d a c b d a c b d a --- 22221111 .
2. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11,1101011a b A λλλ，且0λ<，已知线性方程组b Ax =有无穷多个解，
求 ,a λ 的值.
()⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+---→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----→⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=111
1000
1011111100101111110
101111110
1011,2
2λλλλλλλλλ
λλλ
λλλa a a a b A
所以,方程组有无穷多解
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧<=+-=-≠-0
010
10
12λλλλa 所以,⎩⎨⎧-=-=21a λ
3. 设向量组 1(1,2,5)T α=-，2(3,2,1)T α=-，3(3,10,17)T α=-，4(2,0,2)T
α=，求
该向量
组的一个极大线性无关组，并将其余向量用它们线性表示.
1.⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛
-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000212
102130100001420233121715010222331 21,αα是一个极大线性无关组,2142132
1
21,23αααααα+=+-=
4. 设A 是3阶方阵，且2A =，*
A 为A 的伴随矩阵， 求1**(2)2()A A A ---+.
()()16
27
2324212211111-=-=+-=
+------*
*-A A A A A A A
四、证明题(共2题，共 14 分)
1. 设β是非齐次线性方程组b Ax =的一个解，r αα,,1 是其导出组0=Ax 的基础解
系，证明： r ααβ,,,1 线性无关（8分）
证：设011=+++r r k k k ααβ ()1
则011=+++r r A k A k kA ααβ 由已知得，0,0,1===r A A b A ααβ ，所以
0=kb ，因为0≠b ，所以0=k ，代入()1得：011=++r r k k αα
所以r αα 1是个基础解系，所以r αα 1线形无关，所以0,01==r k k 综上可证：r ααβ,,,1 线性无关。

2.证明：111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
与001002003B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ 相似.(6分)
证：
0I A λ-=即1
11
1
1
101
1
1
λλλ------=---得A 的特征值：3,0（二重根）
B 的特征值也是：3,0（二重根）
111111111000111000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以()1r A =，所以0Ax =基础解系中解向量的个数：2 所以， A 可对角化，同理可分析B 可对角化，
所以300000000A B ⎛⎫
⎪
⎪
⎪⎝⎭
，所以A B 。

五、解方程组（共1题，12分）
设四元齐次线性方程组（I ）1231
234230
20x x x x x x x +-=⎧⎨+++=⎩且已知另一四元齐次线性方程组
（II ）的一个基础解系为()122,1,2,1,(1,2,4,8)T
T a a αα=-+=-+。

（1）求方程组（I ）的一个基础解系。

（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。

.1.2310121112111211231001321211105301320132-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
自由变量取34,x x ，令3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，得125332=,=1001ξξ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即为()I 的一个基础解系。

2．即存在不全为0的1234,,,k k k k ，使得，
12345321321210240118k k k k a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123453213212010240118k k k a k a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
532132
12=010240
1
1
8
a a ----------
得1a =-或15a =-
1a =-时，()1130,071l l -⎛⎫ ⎪ ⎪≠ ⎪- ⎪⎝⎭，15a =-时，()2247
,001l l ⎛⎫
⎪- ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭。

六、化二次型为标准型（共1题，10分）
已知实二次型Ax x x x a x x a x a x x x f T =+++-+-=212
32221321)1(22)1()1(),,(的规范型为
2
221321),,(z z z z z f +=，
求：（1）a 的值；
（2）利用正交变换法，将二次型),,(321x x x f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵。

110110002a a A a a -+⎛⎫
⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭
因为，规范型为22
12z z +，所以，0是A 的特征值，所以0A =，所以0a =
110110002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
()2
1
101
1
200
2
I A λλλλλλ---=--=-=-
12λ=（二重根），20λ=（单根）
()20I A x -=
110110110000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1210=1=001ξξ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
施密特正交后，12101=001ηη⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
， 0Ax =
110110110001002000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,3311=1100ξη--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 所以，正交阵
000
1
0Q ⎪
=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
令x Qy =，得标准型：22
1222y y +。