运筹学Chap线性规划对偶理论及其应用PPT学习教案

max 2u1 u2
u1 u2 5
s.t.6uu11
u2 2u2
0 21
u1
0
u2 0
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模型对比(对称形式)
m a xZ 1 0x1 1 8x2
5 x1 2 x2 1 7 0
2 x1 x1
3 x2 5 x2
100 150
x1 , x2 0
又由于X *是原问题的最优解，故 cT X * cBT B1b
由此得到
c T X * bTY * 可见Y *是对偶问题的最优解。
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3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
x5 1
x j 0, j 1,,5
解: c (5,0,21,0,0)T ,b (2,1)T , A 1 1 6 1 0 1 1 2 0 1
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其对偶问题为
写成分量形式，即
max 2
1
u1 u2
1 1
s.t.
6
1
0
1
5
1 2 0
u1 u2
0
21
0
1
0
（2）无界性
如果原问题（对偶问题）具有无界解， 则其对偶问题（原问题）无可行解。
（3）最优性
如果xˆ j ( j 1, 2, , n)是原问题的可行解
yˆi (i 1, 2, , m)是其对偶问题的可行解
n
m
且有 cj xˆ j bi yˆi
j 1
i 1
则xˆ j ( j 1, 2, , n)是原问题的最优解
无界
关于无界性有如下结论：
m i nW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1 y1
0,
y2 y2
1 0
无可 行解
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已知
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2 2x1 x2 x3 1 x1, x2, x3 0
（1）弱对偶性（可行解的目标函数值之间的关系） 设X、Y分别是原始问题和对偶问题的可行解
f=CTX ≥YTAX ≥YTb=z
min f CT X
AX b
s.t.
X
0
max z bTY ATY C
s.t. Y 0
CT X ATYX Y T AX Y Tb bTY
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已知原问题的最优解为x (1,0,0,0,1)T 试用互补松弛性质找出对偶问题的最优解.
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目录
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
对偶单纯形法
影子价格和灵敏度分析
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定义：
min z cx
Ax b
s.t.
x
0
3.1
x*
x
已知对偶问题的最优解为y
( y1, y2 )T
1 7
,
11 7
试用互补松弛性质求原问题的最优解.
第24页/共51页
解：先写出它的对偶问题
max y1 2 y2 s.t. 3y1 y2 2 y1 2 y2 3 y1 3y2 1 y1, y2 0
将最优解y1, y2的值代入约束条件，得第3个约束为严格 不等式，由互补松弛性得x3 0,又由于y1, y2的值均大于 零，因此原问题的两个约束条件应取等式，故有
max w 25u1 2u2 3u3
u1 u2 u3 1
u1 2u2 2u1 u2
u3 u3
1 1
u1, u2 0
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原问题与对偶问题
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原问题与对偶问题
的关系 原问
对偶问题
题 目标函数 max 目标函数 min
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
m个
≥0
变
≤0
量
无符号限制
e.g. 1 写出(LP)问题 的(LD)问题 max z=2x1+3x2-5x3+x4 s.t. 4x1+x2-3x3+2x4 ≥5
3x1-2x2 +7x4 ≤4 -2x1+3x2+4x3+x4=6
x1 ≤ 0, x2,x3 ≥0 , x4 无符号限制
n个
变
≥0
量
≤0
n个 ≥ ≤
约 min w=5u1+4u2+6u3
yˆi (i 1, 2, , m)是其对偶问题的最优解
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无界性 在一对对偶问 题，若其中一个问题可行 但目标函数无界，则另一 个问题不可行；反之不成 立。这也是对偶问题的无 界性。
如 m axZ 2 x1 x2
：
（原）
x1 x1 x1
x2 x2 0,
x2
Hale Waihona Puke 4 2 0偶问题有n个约束条件。对偶问 题的第一约束第条7页/共件51页 对应的是原问 题中的x1变量，对偶问题的第二
最小化问题的对偶问题的一般步 骤
⑤将原问题约束条件的右端值成 为对偶问题的目标系数；
⑥原问题的目标函数系数成为对 偶问题中的约束条件的右侧值；
⑦目标函数中原问题第i个变量的 系数成为对偶问题中第i个约束 条件的常数项； 第8页/共51页
第12页/共51页
e.g. 3原问题 对偶问题
min Z 2x1 3x2 5x3 x4
x1 x2 3x3 x4 5
2 x1
2x3 4x4 4
x2 x3 x4 6
x1 0, x2、x3 0,x4无约束
maxW 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2 2
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
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原问题
e.g. 4
解：对偶问题
m axZ 2x1 3x2 4x3
2x1 3x2 5x3 2
3xx11
x2 7 x3 4 x2 6x3
3 5
x1, x2 , x3 0
则其对应的对偶变量一定为零。 即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi j 1 n
如果 aij xˆ j bi，则 yˆi 0 j 1 第23页/共51页
例2 给定线性规划问题
min 2x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
对 : minW 2 y1 y2
y1 2 y2 1
y1 y1
y2 2 y2 0
y1, y2 0
试用对偶理论证明原问题无界。
__
解：X =（0,0,0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
个约束条件不能成立（因为y1 , y2 ≥0)。因此，对偶问题 不可行，可知，原问题无界。
原线性规划问题（LP）
min z cx
Ax b
s.t.
x
0
原问题（LP）的对偶问题（LD ）
max w ub
uA c
s.t.
u
0
对偶问题的变量表示 单位资源的价值。
第3页/共51页
例：
求下面问题的对偶
min z 5 x1 21x3
x1 x2 6 x3 x4
2
s.t. x1 x2 2 x3
⑧如原问题的第i个约束条件为等
线性规划问题的对偶问题（非对称）举例
写出下列线性规划 问题的对偶问题：
maxz x1 x2 x3
x1 x2 2x3 25
x1 x1
x1 2x2 x2 x3 , x2 0
x3 3
2
变成第一个约束条件的系数
也可把对偶问题化为 最小化问题：
minw 25u1 2u2 3u3
m inW 2 y1 3 y2 5 y3
2 y1 3 y2 y3 2
3 y1
y2
4 y3 3
5 y1 7 y2 6 y3 4
y1, y2 , y3 无约束
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目录
线性规划的对偶问题
对偶规划的基本性质
对偶单纯形法 影子价格和灵敏度分析
第15页/共51页
束 条
s.t. 4u1+3u2-2u3 ≤ 2
无符号限制
=
件
u1-2u2+3u3 ≥ 3
目标函数的系数 约束条件右端常数
约束条件右端常数 目标函数的系数
系数矩阵 A
系数矩阵 AT
-3u1 +4u3 ≥ -5 2u1+7u2+u3 = 1
第11页/共51页
u1 ≤ 0, u2≥0 , u3无符号限制
e.g. 2 写出(LP)问题的(LD)问题
u1 u2 u3 1
uu211u,1u22uu22
0
u3 u3
1 1
系数变成约束条件右侧值
先化为最小化问题：
min z x1 x2 x3
x1 x2 2x3 25
x1 2x2 x3 2
变成目标函数的系数
x1 x2 x3 3
x1, x2 0
最小化问题的对偶问题：
用对偶单纯形法求解线性规划第33页共51页单纯形算法和对偶单纯形算法之差别单纯形算法和对偶单纯形算法之差别第34页共51页线性规划的对偶问题线性规划的对偶问题对偶规划的基本性质对偶规划的基本性质对偶单纯形法对偶单纯形法影子价格和灵敏度分析影子价格和灵敏度分析第35页共51页约束条件右侧即资源改变1个单位时目标函数即利润的变化量它度量了约束条件对应的那种资源的价值经济学上称为约束条件右侧即资源改变1个单位时目标函数即利润的变化量它度量了约束条件对应的那种资源的价值经济学上称为影子价格
对偶M问题 8 6 1
N现有另一4 工厂2乙，1.因5 生产 P需要。拟2 向甲1厂租0.用5 所有 的机器，则乙厂希望租金 越少越好，当然必须保证 甲厂的利润。显然，如果 甲厂的利润得不到保证， 甲厂是不可能出租的。
m in w 4 8u1 2 0u2 8u3
8u1 4u2 2u3 6 0
(原问题）
m i nW 170y1 100y2 150y3
25yy11
2 y2 3 y2
y3 10 5 y3 18
y1 , y2 , y3 0
（对偶问题）
第6页/共51页
最小化问题的对偶问题的一般步 骤
① 将原问题约束条件“≤” 的不等 式两边乘以-1变为“≥”的不等 式；
② 对偶问题是最大化问题； ③ 当原问题有n个决策变量，则对
u61u11.25uu22
1u3 30 0.5u3 2
0
u1, u2 , u3 0
当如ma果x z原问mi题n时w是，在工资厂金的有决限策的者情认况为下这使两产种量考最虑大有，相则同相结应果的对 ，都偶是问最题优就方是案在！产量有限的情况下使成本最小。
第2页/共51页
对偶问题的一般形式 在实际问题中，对偶问题 的目标函数的系数表示可 利用资源的数量。
机器M、N、P每两天可供使
用的时间分别是48、20、8小
令每天生产A、B、C的产量分别为x1 、x2、x 3
时。这三种产品每两天生产
多少才能使工厂获得最大效
max益z。 60x1 30x2 20x3
8x1 6x2 x3 48
24x1xx,11x2
2x2 1.5x3 2 x2 0.5x3 8 , x3 0
对偶规划的基本性质
1、对偶的对偶就是原始问题
min z=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
对偶的定 义
max y=bTu s.t. ATu≤C
u ≥0
max z’=-CTX s.t. -AX-b
≤
X ≥0
对偶的定 义
min y=-bTu s.t. -ATu≥-C
u ≥0
第16页/共51页
2、对偶定理
3x1x12xx22
x3 1 3x3
2
求解后得到x1 4/7, x2 5 / 7,故原问题的最优解为
x (x1, x2, x3)T (4 / 7,5 / 7, 0)T fmin 23 / 7 第25页/共51页
练习:已知线性规划问题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5 s.t. x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 xj 0, j 1, 2, ,5
第20页/共51页
（4）强对偶性（最优解的目标函数之间的关系） 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
设X*、Y*分别是原始问题和对偶问题的最优解 f=CTX*=Y*TAX*=Y*Tb=z
第21页/共51页
令Y* BTcB,则有ATY* c 这时Y *是对偶问题的可行解，它使 bTY * bT BT cB cBT B1b
运筹学Chap线性规划对偶理论及其应用
会计学
1
目录
线性规划的对偶问题
对偶规划的基本性质 对偶单纯形法 影子价格和灵敏度分析
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对偶问题的提出
产品
机器
A
BC
原问题
某工厂甲生产A、B、C三种
产品。这三种产品的单位利
润分别是60、30、20。生产
这三种单位产品所占用M、
N、P三种机器的时间已知， 令M、N、P的单位时间租金分别为u1、u2、u3
min f x1 2x2 3x3
3x1 2x2 x3 6
4x1 2x2 3x3 5
x1
3x2
x3
9
x1 0, x2 0,, x3符号不限
max z 6y1 5y2 9y3
对偶问题
3y1 4 y2 y3 1
2 y1 2 y2 3y3 2
y1
3 y2
5
y3
3
y1符号不限, y2 0, y3 0