辽宁省葫芦岛八中高一下期中数学试卷

2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．750°化成弧度为（）
A．πrad B．πrad C．πrad D．πrad
2．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
3．若向量，向量，则=（）
A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10） D．（﹣6，﹣10）
4．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．
5．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
6．集合M={x|x=k•90°+45°，k∈Z}，N={x|x=k•45°+90°，k∈Z}，则有（）
A．M=N B．N⊊M C．M⊊N D．M∩N=∅
7．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则（）
A．x=﹣1 B．x=3 C．x= D．x=1
8．若O为平行四边形ABCD的中心，，，则3﹣2等于（）
A．B．C．D．
9．若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（）
A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=D．ω=，φ=﹣
10．要得到y=sin（2x﹣）的图象，只要将y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
11．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
12．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）
A．B．C．
D．
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数，若∥，则k=．
14．半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为cm2．
15．化简： [（4﹣3）+﹣（6﹣7）]=．
16．若cosα=﹣，则的值为．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知α∈（0，），β∈（一，0），且coa（α﹣β）=，sinβ=﹣，求α的值．
18．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；
（2）若⊥，求x、y值．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．（1）求C；
（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．
20．（1）已知tanα=﹣，求的值；
（2）求函数y=的定义域．
21．平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点M为直线OP上的一个动点．
（1）当•取得最小值时，求点M的坐标；
（2）在点M满足（1）的条件下，求∠AMB的余弦值．
22．设函数，其中向量，．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当时，﹣4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．
2015-2016学年辽宁省葫芦岛八中高一（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．750°化成弧度为（）
A．πrad B．πrad C．πrad D．πrad
【考点】弧度与角度的互化．
【分析】由180°=π，得1，代入750°=750×得答案．
【解答】解：∵180°=π，∴1，
则750°=750×=πrad．
故选：B．
2．已知α为第三象限角，则所在的象限是（）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
【考点】象限角、轴线角；角的变换、收缩变换．
【分析】α为第三象限角，即k∈Z，表示出，然后再判断即可．
【解答】解：因为α为第三象限角，即k∈Z，
所以，k∈Z当k为奇数时它是第四象限，当k为偶数时它是
第二象限的角．
故选D．
3．若向量，向量，则=（）
A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10） D．（﹣6，﹣10）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】由向量，向量，知，再由，能求出结果．
【解答】解：∵向量，向量，
∴，
∴
=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）
=（﹣2，﹣4）．
故选A．
4．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量的数量积的定义和夹角的概念和范围，即可求得．
【解答】解：由于向量、满足||=1，||=4，且•=2，
则=||•||•cos＜，＞=2，
则有cos＜，＞==，
由于0＜＜，＞＜π，则有与的夹角为．
故选C．
5．△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为（）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】把已知的等式利用正弦定理化简后，得到a2=b2+c2，再利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形．
【解答】解：由正弦定理===2R得：
sinA=，sinB=，sinC=，
∴sin2A=sin2B+sin2C变形得：a2=b2+c2，
则△ABC为直角三角形．
故选A
6．集合M={x|x=k•90°+45°，k∈Z}，N={x|x=k•45°+90°，k∈Z}，则有（）
A．M=N B．N⊊M C．M⊊N D．M∩N=∅
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】在集合N中，k=2n，或k=2n+1，n∈Z，能过说明M的元素都是集合N的元素，而集合N中存在元素不在集合M中，从而便得出M⊊N．
【解答】解：对于集合N，k=2n，或k=2n+1，n∈Z；
k=2n+1时，x=n•90°+45°+90°=（n+1）•90°+45°，n+1∈Z；
又M的元素x=k•90°+45°，k∈Z；
∴M的元素都是N的元素；
而k=2n时，x=k•90°+90°；
∴N中存在元素x∉M；
∴M⊊N．
故选：C．
7．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则（）
A．x=﹣1 B．x=3 C．x= D．x=1
【考点】三点共线．
【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．
【解答】解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，
，，
⇒1×（﹣10）=﹣5（x﹣1）⇒x=3
故选B．
8．若O为平行四边形ABCD的中心，，，则3﹣2等于（）
A．B．C．D．
【考点】向量数乘的运算及其几何意义；向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】将转化为，再利用向量的运算法则进一步化简整理确定
选项．
【解答】解：由于，，
=（）=
==
=
故选B
9．若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（）
A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=D．ω=，φ=﹣
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象知函数f（x）的最小正周期是4π，进而求得w，再根据f（）=1求得φ．
【解答】解：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=．
又当x=时，y=1，
∴sin（×+φ）=1， +φ=2kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=．
故选C
10．要得到y=sin（2x﹣）的图象，只要将y=sin2x的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：将y=sin2x向右平移个单位得：y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），
故答案选：D．
11．已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣
，计算求得结果．
【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．
∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，
故选：B．
12．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】由函数奇偶性的性质排除A，C，然后根据当x取无穷小的正数时，函数小于0得答案．
【解答】解：函数y=﹣xcosx为奇函数，故排除A，C，
又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，
故选：D．
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．向量=（6，2），=（﹣2，k），k为实数，若∥，则k=．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，∴6k﹣2×（﹣2）=0，解得k=﹣．
故答案为：﹣．
14．半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为cm2．
【考点】扇形面积公式．
【分析】先求弧长，再求面积即可．
【解答】解：扇形的弧长是：3×=2π，
则扇形的面积是：×2π×3=3π（cm2）．
故答案为：3π．
15．化简： [（4﹣3）+﹣（6﹣7）]=．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据向量的数乘运算和向量的加减运算法则计算即可．
【解答】解： [（4﹣3）+﹣（6﹣7）]=（4﹣3+﹣+）=（﹣）=﹣，
故答案为：﹣，
16．若cosα=﹣，则的值为．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】原式利用诱导公式化简
【解答】解：∵cosα=﹣，
∴原式==cosα=﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知α∈（0，），β∈（一，0），且coa（α﹣β）=，sinβ=﹣，求α的值．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由题意先求出sin（α﹣β），cosβ，再根据cosα=cos（α﹣β+β）=cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ即可求出答案．
【解答】解：∵α∈（0，），β∈（一，0），
∴α﹣β∈（0，π），
∵coa（α﹣β）=，sinβ=﹣，
∴sin（α﹣β）=，cosβ=，
∴cosα=cos（α﹣β+β）=cos（α﹣β）cosβ﹣sin（α﹣β）sinβ=+=，
∴α=．
18．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；
（2）若⊥，求x、y值．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1），由，能求出y=﹣．
（2）=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），由，y=﹣，能
求出x、y值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），
∴…
∵，
∴x（﹣2+y）=y（4+x）…
∴y=﹣，…
（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），
∴=（x+6，y+1），
=（x﹣2，y﹣3），
∵，
∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，
又∵y=﹣，
解得或．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．（1）求C；
（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．
【分析】（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出C的值即可；
（2）通过余弦定理，以及b=3a，求出a与b的值，然后直接利用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：（1）∵（b﹣2a）cosC+c cosB=0，
∴由正弦定理得（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，
sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC，
∴sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，∴cosC=，
又∵C∈（0，π），∴C=；
（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴解得：a=1，b=3，
∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×=．
20．（1）已知tanα=﹣，求的值；
（2）求函数y=的定义域．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）由函数的定义域可得求得cosx≥，由此求得x的范围，即为函数的定义域．
【解答】解：（1）∵已知tanα=﹣，∴
==
=﹣1．
（2）对于函数y=，由2cosx﹣1≥0，求得cosx≥，∴2kπ﹣≤x≤2kπ+，故函数的定义域为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．
21．平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点M为直线OP上的一个动点．
（1）当•取得最小值时，求点M的坐标；
（2）在点M满足（1）的条件下，求∠AMB的余弦值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）直线OP的方程为：y=x，设M（2m，m），利用数量积运算性质、二次函数
的单调性即可得出．
（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．
【解答】解：（1）直线OP的方程为：y=x，设M（2m，m），
•=（1﹣2m，7﹣m）•（5﹣2m，1﹣m）=（1﹣2m）•（5﹣2m）+（7﹣m）•（1﹣m）=5m2﹣20m+12=5（m﹣2）2﹣8，
当m=2时，•取得最小值﹣8，此时M（4，2）．
（2）在点M满足（1）的条件下，M（4，2）．
=（﹣3，5），=（1，﹣1），•=﹣8，||=，||=，
∴cos∠AMB===﹣．
22．设函数，其中向量，．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当时，﹣4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+）+m+1，由此求得周期，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数的单调增区间，即可得到在[0，π]上的单调递增区
间．
（Ⅱ）当时，求得m+2≤f（x）≤m+3，再由﹣4＜f（x）＜4恒成立，可得m+2＞﹣4且m+3＜4，由此求得实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数=2cos2x+=cos2x++1=2sin
（2x+）+m+1．
故函数f（x）的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．
故在[0，π]上的单调递增区间为[0，]、[，π]．
（Ⅱ）当时，≤2x+≤，故有≤sin（2x+）≤1，故m+2≤f（x）
≤m+3．
再由﹣4＜f（x）＜4恒成立，可得m+2＞﹣4且m+3＜4，解得﹣6＜m＜1，
故实数m的取值范围为（﹣6，1）．
2016年10月12日。