高一数学余弦定理试题

高一数学余弦定理试题
1.在△中，角所对的边分别为，已知，，．则= .
【答案】
【解析】∵，，，
由余弦定理可得，
∴.
【考点】余弦定理.
2.已知分别为的三个内角的对边，且．
（1）求角的大小；（2）若，为的中点，求的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由条件中的等式进行恒等变形：，，，从而；（2）由（1）结合余弦定理可知：
，从而满足勾股定理的逆定理，有，再由为的中点可知，根
据勾股定理即可得.
试题解析：（1）∵，∴，
又∵，∴，又∵，∴，∴，
∴； 5分
由（1）知，，∴，，
∴，. 5分
【考点】1.三角恒等变形；2.余弦定理解三角形.
3.在△中，角所对的边分别为.若，则( )
A．－B．C．－D．
【答案】B
【解析】由余弦定理及已知得===，∵，∴==，∴
==.
【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系式；诱导公式
4.已知为锐角，，求的值．
【答案】
【解析】解题思路：根据所给角的范围与三角函数值，求已知角的三角函数值，再用表示
，套用两角差的余弦公式.规律总结：涉及三角函数的求值问题，要结合角的范围确定函数值的
符号；在解题中，一定要注意所求角与已知角的关系，尽可能用已知角表示所求角.
试题解析：∵
∴
∴
∴
.
【考点】1.同角函数的基本关系式；2.两角和差的余弦公式.
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，
．
(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．
注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．
试题解析：(1) 由
整理得
即
又
又因为，
所以
(2) 因为，所以
故
由
即，
所以．
即．
因为
故
所以
【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．
6.在锐角△ABC中，边长，则边长c的取值范围是______。

【答案】
【解析】若c是最大边，则cosC＞0．,若b是最大边，必有cosB＞0，,所以.
【考点】余弦定理
7.在钝角三角形ABC中，若，，则边长的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】根据余弦定理有有两种可能
①则根据余弦定理可判断出, 即,此时上式可表示为
,解得．
②则根据余弦定理可判断出即,此时上式可表示为
,解得．．
综上可得．
【考点】余弦定理;解不等式．
8.在△ABC中，，则A等于（）．
A．60°B．120°C．30°D．150°
【答案】B
【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中
．
【考点】余弦定理．
9.已知内角所对边长分别为，面积，且.
（1）求角；
（2）若，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由得；得，两式相除即可.（2）由（1）知，得到，已知条件，再结合余弦定理得到结果.
（1）由且，得， 2分
则，所以； 6分
（2）由，可得，由，可得， 8分
由余弦定理可知，
， 11分
所以 12分
【考点】三角形面积公式；向量的数量积公式；余弦定理.
10.已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
＝(a＋1)n2＋a，某三角形三边之比为a
2
∶a
3
∶a
4
，则该三角
形的最大角为________．
【答案】
【解析】因为{a
n
}为等差数列，所以前n项和中常数项为零，即三角形的最大角的余弦为，因此最大角为
【考点】等差数列前n项和性质，余弦定理
11.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢。

我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时
【答案】
【解析】设小岛为B，则，设护卫舰靠近货轮所需的时间是t小时，则AC=10，
BC=9t,AB=21t.由余弦定理得：解得.
【考点】实际问题中解三角形
12.在中，若，则的形状是．
【答案】钝角三角形
【解析】判断三角形形状，一般利用余弦定理. 因为，所以由正弦定理得：，再由余弦定理得：因此的形状是钝角三角形
【考点】余弦定理
13.设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a, b, c，若△ABC的面积为
S = a2－(b－c)2，则= .
【答案】4
【解析】,可化为，又，代入
可得，所以=.
【考点】余弦定理.
14.在中，三边与面积的关系式为，则角为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，由余弦定理得即，又，
所以可变形为即，而，所以，故选B.【考点】1.余弦定理；2.三角形的面积计算公式.
15.在△ABC中，已知++ab=，则∠C=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】因为，△ABC中，已知++ab=，
所以，，∠C=120°，选C。

【考点】余弦定理的应用
点评：简单题，利用，注意三角形内角的范围。

16.在中，若，则=
【答案】30°
【解析】根据题意，由于，由
于三角形的内角的范围可知=30°，故答案为30°。

【考点】余弦定理
点评：主要是考查了余弦定理的运用，属于基础题。

17.已知船在灯塔北偏东处，且船到灯塔的距离为，船在灯塔北偏西处，
两船间的距离为3，则船到灯塔的距离为；
【答案】
【解析】由题意可知|AC|=，|AB|=3，∠ACB=120°，在△ABC中由余弦定理可得
|AB|2=|AC|2+|BC|2-2|AC||BC|cos∠ACB，∴9=3+ |BC|2+ |BC|，
∴|BC|="-2" (舍)或|BC|= ，故答案为
【考点】本题考查了余弦定理的实际运用
点评：根据题意画出图形，将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解
18.设中，，，则此三角形是三角形.
【答案】等腰或直角
【解析】因为，，所以，，
,C=60°；又，，所以，A=30°或60°，故此三角形
是等腰或直角三角形.
【考点】本题主要考查和差倍半的三角函数公式，三角形的性质。

点评：小综合题，根据已知条件可确定得到角，因此，利用角可判断三角形的形状。

19.在中，内角所对的边分别为，，则其外接圆的半径
【答案】2
【解析】根据已知中的，则可知c
, 那么可知sinC=c/2R，则其外接圆的半径2，
故答案为2.
【考点】正弦定理的应用
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．灵活运用正弦定理，余弦定理，还需要知道它的几个变
形sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA
20.、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且2cos(A+B)=1. 求：(1)角C的度数；
(2)AB的长度。

【答案】解：（1）C＝120；（2）
【解析】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和函数思想，化归思想的应用．
（1）根据三角形内角和可知cosC=cos[π-（A+B）]进而根据题设条件求得cosC，则C可求．（2）根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．
解：（1）C＝120
（2）由题设：
21.在中，若，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：因为
选D
22.△的面积为，边长，则边长为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】解：因为△的面积为，边长，
选C
23.已知的三个内角满足：，则的形状为 ( )
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】因为,所以,
所以为直角三角形.
24.在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求ABC的面积.
【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理，得. ------------5分
（Ⅱ）因为，，所以，-------7分
所以ABC的面积. --------------10分
【解析】本试题主要是考查了解三角形中余弦定理的求解和三角形面积公式的综合运用。

（1）由余弦定理，得
（2）因为，，所以，结合正弦面积公式得到。

25.若三角形三边的长分别为,则三角形的形状一定是 .（填写“锐角、钝角、直角”）
【答案】钝角三角形
【解析】解：因为利用余弦定理可知最大的角为边n+2对的角，可知
,因为n>2，可知恒小于零，因此三角形的形状一定是钝角三角形
26.（本题满分14分）在中，角所对的边是，且满足。

（1）求角的大小；
（2）设，求的最小值。

【答案】（1）；（2）
【解析】本试题主要是考查了解三角形中余弦定理和向量的数量积公式的综合运用。

（1）由于角所对的边是，且满足，结合余弦定理可知角B的值。

（2）根据，那么可以知道，利用三角函数的性质得到最值。

解：（1）∵，∴，…….. 4分
又∵，∴．………………………..6分
（Ⅱ）
……..12分
∵，∴．
∴当时，取得最小值为。

……..14分
27.在△ABC中，边的长是方程的两根，求边c的长。

【答案】
【解析】本试题主要是考查了三角形中边与角的关系，利用余弦定理可知表示得到结论。

因为
，则，再结合余弦定理得到。

解：由题意得：
∴
∴
∴
28.边长为的三角形的最大角与最小角的和是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，
有余弦定理可得，cosθ="(25+64-49)/" (2×5×8) ="1" /2 ，
易得θ=60°，
则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，
故选B．
29.（本题14分）在中，角、、的对边分别是，，，已知．（1）求角的值；（2）若，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】可以化为边或角，本题化为边是：比较简
单；（2）若，求时用余弦定理即可。

解：（1）由，可知，
，
（2）.
30.在中，角、、所对的边分别为、、，，则角的大小是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由余弦定理可知，
31.设分别是三个内角的对边，满足=，
则C=________.
【答案】
【解析】.
32.ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量＝
（a＋b，c），＝（a＋c，b－a），若，则角B的大小为．
【答案】
【解析】解：因为
结合余弦定理，可知cosB=
33.在锐角△ABC中，分别为角A，B，C所对的边，且。

①求角C的大小。

②若C=，且△ABC的面积为，求的值。

【答案】①②
【解析】（1）先根据正弦定理可把,然后再根据C为锐角可得。

（2）在（1）的基础上再根据,然后根据余弦定理
,可求出a+b的值。

解： (1）
△为锐角三角形（5分）
2）（7分）
由余弦定理得到（9分）
34.在中，角A，B,C的对边分别是a,b,c,已知
（1）求的周长（5分）
（2）求值：的值（5分）
【答案】（1）5
（2）
【解析】(1)先根据余弦定理求出c，进而可求出三角形周长。

（2）根据两角差的余弦公式，需要求出角A、C的正余弦。

在第（1）问的基础上，可以进一步求出角A的余弦，然后再借助同角的三角函数关系式求出A、C的正弦。

问题得解。

解：（1）c=2,周长为5
（2），
35.在中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若，
则角B的值为
【答案】
【解析】解：由余弦定理可知
36.(12分)甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
【答案】解:
此时,甲、乙两船相距最近
【解析】略
37.△ABC的三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大的内角为
A．150°B．135°
C．120°D．60
【答案】A
【解析】此题考查余弦定理的应用，所以由余弦定理和已知条件得
，选A
38.在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】略
39.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正弦定理可知，设，
，答案选D．
【考点】正弦定理与余弦定理
40.中，分别为角的对边，，，则．
【答案】
【解析】由得，由正弦定理得，又，所以
或
【考点】同角三角函数基本关系式及正弦定理的应用。