四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

2023～2024 学年度下期高二期末联考
数学
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S11 = 22 ，则a6 =
A. 2
B. 3
C. 10
D. 4
2. 若(x + 1)6 = a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0 ，则a6 − a5 + a4 − a3 + a2 − a1 + a0 =
A. -1
B. 1
C. 64
D. 0
3. 已知在四面体O − ABC中，a = ，N为BC的中点，若MN = xa + yb + ZC ，则x + y + Z =
A. 3
B.
C.
D.
4. 若等比数列{a n }的各项均为正数，且3a5,a7, 2a6 成等差数列，则
A. 3
B. 6
C. 9
D. 18
5. 若函数f(x) = ax + 2b ln x(a > 0, b > 0) 在点1, f 1) 处的切线的斜率为1，则+ 的最小值为
A. B. 2 + 3 2 C. 3 + 2 2 D. 3 2
6. 某市人民政府新招聘进5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为A. 52 B. 60 C. 72 D. 360
7. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》中, 该著作中的“垛积术” 问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列{a n } 的前四项分别为: 2,3,8,17 ，则下列说法错误的是A. a n > 0 B. a11 = 192
C. 数列{a n } 是单调递增数列
D. 数列有最大项
8. 已知直线y = kx 与双曲线 b > a > 0分别相交于A ，B 两个不同的点，P 是双曲线上不同于A, B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为k1 ，k2 ，则当 e ≈2.7取得最小值时，双曲线C 的离心率为
7 5
A. B. 2 C. D. 2
2 3
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 等差数列{a n } 的前n 项和为s n ，a1 > 0 ，a2 + a14 = 0 ，则
A. a8 = 0
B. a n+1 < a n
C. s7 < s9
D. 当s n < 0 时, n 的最小值为16
10. 对于三次函数f x= ax3 + bx2 + Cx + d (a ≠0) ，现给出定义: 设f′x是函数f x的
导数，f′′x是f′x的导数，若方程f′′x= 0 有实数解x0 ，则称点x0, f x0)) 为函数f x= ax3 + bx2 + Cx + d (a ≠0) 的“拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心. 已知函数 f x= x3 + x2 ，则
A. 函数f x有三个零点
B. 函数f x有两个极值点
C. 点−, 是曲线y = f x的对称中心
D. 方程f x−= 0 有三个不同的实数根
11. 已知数列{a n }的通项公式为项积为s n ，则下列说法正确的是
A. 在数列{a n }中，a10是最大项
B. 在数列{a n }中，a9 是最小项
C. 数列{s n }单调递减
D. 使s n 取得最小值的n为9
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 在的展开式中，常数项为
13. 已知数列{a n}满足a1 = 1, a2 = 2, a n+2 = ,
，若s n 为数列{a n}的前n 项
和，则s10 =
14. 已知关于x 的不等式2x < (ax − a e−x x ∈ R) (其中a < 1 ). 的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知等差数列{a n } 的公差为d (d ≠0)，前n 项和为s n ，且满足s5 = 2a4 + 19; a1, a2 , a7 成等比数列.
（1）求数列{a n }的通项公式;
设b n = ，数列的前n项和为T n ，求T n .
16.（15 分）
某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡，“年龄在20 岁到34 岁之间的会员” 为1 号会员，占比20%, “年龄在35 岁到59 岁之间的会员” 为2 号会员，占比50% ，“年龄在60 岁到80 岁之间的会员” 为3 号会员，占比30% ，现对会员进行水果质
量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为，2 号会员对水果质量满意的概率为，3 号会员对水果质量满意的概率为.
（1）随机选取1 名会员，求其对水果质量满意的概率;
（2）从会员中随机抽取2 人，记抽取的2 人中，对水果质量满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
17.（15 分）
如图,在斜三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， O , D 分别是 AB , CC 1 的中点. （1） 证明: OD // 平面 AC 1 B 1 ;
（2）若 AC 丄 OA 1 ，匕BAA 1 = 60O ，且 AB 灬 = AA 1 = 2; AC = BC = 2 ，求直线 B 1 C 1 与平 面AA 1 C 1 所成角θ的正弦值.
18.（17 分）
已知点 P 为椭圆
a >
b > 0 上任一点，椭圆的短轴长为 2 ，离心率为
2 .
2
（1）求椭圆 W 的标准方程;
（2）若点 Q 是抛物线 C : x 2 = 4ay 的准线上的任意一点，以PQ 为直径的圆过原点 O ，
试判断
是否为定值? 若是，请求出这个定值; 若不是，请说明理由.
19.（17 分）
已知函数 f x = e x — ln (x + 1) + x — ln a (a > 0) .
（1）当 a = 1 时，求曲线 y = f x 在点 P 0, f 0))处的切线方程； （2）若 f x ≥ a (x + 1) 恒成立，求 a 的取值范围；
（3）求证: f (tan 1 — 1 + f tan — 1) + f tan — 1) + … + f tan — 1
> ln (n + 1)(n ∈ N *)。