2020年高考数学一轮复习第二章第2节函数的定义域和值域

2020年高考数学一轮复习第二章第2节函数的定义域和
值域
1.(文)(2018· ( ) A.[－4,1] B.[－4,0) C.(0,1] D.[－4,0)∪(0,1]
解析：求y ＝－x 2－3x ＋4
x 的定义域，
即2340,0.
x x x ⎧--+⎨≠⎩≥⇒[－4,0)∪(0,1].
答案：D
(理)(2018·江西高考)函数y ＝ln(x ＋1)
－x 2－3x ＋4的定义域为 (
) A.(－4，－1) B.(－4,1) C.(－1,1) D.(－1,1]
解析：定义域21>0
34>0x x x +⎧⎨--+⎩⇒－1＜x ＜1.
答案：C
2.假设函数y ＝mx －1
mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，那么实数m 的取值范畴是
( ) A.(0，3
4) B.(－∞，0)∪(0，＋∞) C.(－∞，0]∪[34，＋∞) D.[0，3
4)
解析：依题意，函数的定义域为R ，
即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立.
①当m ＝0时，得3≠0，故m ＝0适合，可排除A 、B.
②当m ≠0时，16m 2－12m <0，
得0<m <34，综上可知0≤m <34，排除C.
答案：D
3.假设函数f (x )的定义域是[0,1]，那么f (x ＋a )·f (x －a )(0＜a ＜1
2)的定义域是 .
解析：∵f (x )的定义域为[0,1]，
∴要使f (x ＋a )·f (x －a )有意义，
须011,01 1.
x a a x a x a a x a +--⎧⎧⇒⎨⎨-+⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤ 且0<a <12，a <1－a ，∴a ≤x ≤1－a . 答案：[a,1－a ]
题组二 函数的值域咨询题
4.假设函数f (x )＝(a 2的取值范畴是( )
A.a ＝－1或3
B.a ＝－1
C.a >3或a <－1
D.－1<a <3
解析：假设a 2－2a －3≠0，那么函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R ，当a 2－2a －3＝0时，得a ＝－1或3，但当a ＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R ，故a ＝－1. 答案：B
5.假设函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，那么函数F (x )＝f (x )＋1f (x )
的值域是 A.[12，3] B.[2，103] C.[52，103] D.[3，103
] 解析：令t ＝f (x )，那么12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12
，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，那么g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，故值域为[2，103
]. 答案：B
6.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝,,<a a b b a b
⎧⎨⎩≥.函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小 值是 ( )
A.0
B.12
C.32
D.3
解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如下图，
由图象可得，其最小值为32
. 答案：C
7.(2018·珠海模拟)假设函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，那么函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 . 解析：∵1≤f (x )≤3，
∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，
∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，
即F (x )的值域为[－5,1].
答案：[－5,1]
8.分不求以下函数的值域：
(1)y ＝2x ＋1x －3
； (2)y ＝－x 2＋2x (x ∈[0,3])；
(3)y ＝x ＋1－x 2；
(4)y ＝1－2x
1＋2x
. 解：(1)分离变量法将原函数变形为
y ＝2x －6＋7x －3＝2＋7x －3
. ∵x ≠3，∴7x －3
≠0. ∴y ≠2，即函数值域为{y |y ∈R 且y ≠2}.
(2)配方法
∵y ＝－(x －1)2＋1，依照二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1].
(3)换元法
先考虑函数定义域，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，设x ＝cos θ(θ∈[0，π])，那么y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)，易知当θ＝π4
时，y 取最大值为2，当θ＝π时，y 取最小值为－1， ∴原函数的值域是[－1，2].
(4)分离常数法
y ＝1221221121212x x x x
x ---+==-++++ ∵1＋2x ＞1，∴0＜212x
+＜2， ∴－1＜－1＋
212x
+＜1，∴所求值域为(－1,1).
题组三 函数定义域和值域的综合咨询题 9.(2018·福建〝四地六校〞联考)设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝1,,22.
x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪∈⎩(1-),假设x 0∈A ，且f [f (x 0)] ∈A ，那么x 0的取值范畴是 ( )
A.(0，1
4] B.[1
4，1
2] C.(1
4，1
2) D.[0，3
8]
解析：∵0≤x 0＜1
2，∴f (x 0)＝x 0＋1
2∈[1
2，1)B ，
∴f [f (x 0)]＝2(1－f (x 0))＝2[1－(x 0＋1
2)]＝2(1
2－x 0).
∵f [f (x 0)]∈A ，∴0≤2(12－x 0)＜1
2.
∴1
4＜x 0≤1
2，又∵0≤x 0＜12，∴14＜x 0＜1
2.
答案：C
10.设f (x )＝2
,2,
,<1,x x x
x ⎧⎪⎨⎪⎩≥假设f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，那么函数y ＝g (x )的值域是 (
) A.(－∞，－1]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C.[0，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析：如图为f (x )的图象，由图象知f (x )的值域为(－1，＋∞)，
假设f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞). 答案：B
11.规定记号〝*〞表示一种运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，1]；
(2)函数f (x )＝k *x 的值域是 .
解析：(1)1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1.
(2)f (x )＝k *x ＝1]x )＋1＋x ≥1.
答案：(1)1 (2)[1，＋∞)
12.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R).
(1)假设函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，
F (x )＝22(1),(0),
(1),(0).x x x x ⎧+>⎪⎨-+<⎪⎩求F (2)＋F (－2)的值；
(2)假设a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b的取值范畴.
解：(1)由c＝1，f(－1)＝a－b＋c＝0，且－b
2a
＝－1，解得a＝1，b＝2. ∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
2
2 (1),(0),
(1),(0). x x
x x
⎧+>
⎪
⎨
-+<
⎪⎩
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]恒成立，即b≤1
x
－x且b≥－1
x
－x
在x∈(0,1]恒成立，
依照单调性可得1
x
－x的最小值为0，
－1
x
－x的最大值为－2，
因此－2≤b≤0.。