2019年黑龙江省绥化市安达第七中学高三数学文期末试题含解析

2019年黑龙江省绥化市安达第七中学高三数学文期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
2. 某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。

为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）
A、9
B、18
C、27
D、36
参考答案：
B
略
3. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）cm3
A．πB．2πC．3πD．4π
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，即可得出．
【解答】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，
∴此几何体的体积==2π．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图恢复原几何体的体积计算，属于基础题．
4. ，为非零向量，“函数f（x）=（x+）2为偶函数”是“⊥”的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
5. 设，，，则a，b，c的大小关系是（）．
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.
【详解】因为
，故本题选C.
【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.
6. 空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A）6＋2（B）8＋2
参考答案：
C
7. 有下列关于三角函数的命题
P1：?x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；
P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；
P3：?x0∈R，2cosx0=3；
P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）
A．P1，P4 B．P2，P4 C．P2，P3 D．P1，P2
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】阅读型；三角函数的图像与性质；简易逻辑．
【分析】运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P2；由余弦函数的值域，即可判断P3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P4．
【解答】解：对于P1，?x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx
==＞0，则P1为真命题；
对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；
对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，?[﹣1，1]，则P3为假命题；
对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．
故选D．
【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．
8. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是()
参考答案：
C
略
9. 设偶函数上单调递增，则f（a+1）与f（b -2）的大小关系为
A．f（a +1）=f（b -2）B．
C．f（a +1）>f（b -2）D．f（a+1）<f（b -2）
参考答案：
C
10. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据
一组样本数据（x i，y i）（=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为
=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
参考答案：
D
由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知
，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若数列{a n}的前n项和为S n，且3S n﹣2a n=1，则{a n}的通项公式是a n= ．
参考答案：
（﹣2）n﹣1
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：3S n﹣2a n=1，n=1时，3a1﹣2a1=1，解得a1=1．
n≥2时，3S n﹣1﹣2a n﹣1=1，相减可得：a n=﹣2a n﹣1．
∴数列{a n}是等比数列，公比为﹣2．
∴a n=（﹣2）n﹣1．
故答案为：（﹣2）n﹣1．
12. 在平面直角坐标系数xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x﹣y+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是．
参考答案：
[﹣2，2]
【考点】直线的一般式方程．
【分析】设P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|2=|PB|2，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）2=4﹣x2，可得：m=﹣x±，x∈[﹣2，2]．通过三角函数代换即可得出．
【解答】解：设P（x，x+m），
∵2PA=PB，
∴4|PA|2=|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4（x+m）2=（x﹣4）2+（x+m）2，
化为（x+m）2=4﹣x2，
∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，
∴m=﹣x±，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=﹣2cosθ±2sinθ
=±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，
实数m的取值范围是[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
13. 如图的网格纸是小正方形，其上是某个几何体的三视图，此几何体的最长一条棱的长是此棱的主视图，侧视图，俯视图的射影长分别是，a,b,则a+b的
最大值是。

参考答案：
4
14. 给出下列结论：
①函数在区间上有且只有一个零点；
②已知l是直线，是两个不同的平面.若；
③已知表示两条不同直线，表示平面.若；
④在中，已知，在求边c的长时有两解.
其中所有正确结论的序号是：
参考答案：
【知识点】命题的真假判断与应用．A2
①④解析：①由，得，当x∈时f′（x）＞0，
∴f（x）在上为单调增函数，又，
∴函数在区间上有且只有一个零点，①正确；
②由，可得l?β或l∥β或l与β相交，②错误；
③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，③错误；
④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，
则由正弦定理得：，即，则B有一个锐角和一个钝角，对应的边c的长有两解，命题④正确．
∴正确的命题是①④．
故答案为：①④．
【思路点拨】利用导数判断函数f（x）=lnx﹣的单调性，结合函数零点存在性定理判断①；
由空间中的点、线、面的位置关系判断②；利用正弦定理结合已知分析角B的可能情况，从而得到边c的解得情况判断④．
15. 已知△ABC中，，D为边BC上一点，，，则
的值为______.
参考答案：
【分析】
以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，记，再根据同角的平方关系以及数量积的坐标运算求解即可．
【详解】解：以原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，则，
∵，记，
∴，，，
则，，
∵，，
∴，，
∴，，
又为边上一点，
∴，则，即，
又，
∴
∴，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数量积的坐标运算，考查同角的平方关系，考查设而不求思想，属于中档题．
16. 首项为1，公比为2的等比数列的前4项和
参考答案：
15
因为数列是等比数列，所以。

17. 若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则满足条件的实数a构成的集合为．参考答案：
{4}
【考点】集合的表示法．
【分析】由已知得，由此能求出满足条件的实数a构成的集合．
【解答】解：∵集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，
∴，
解得a=4．
∴满足条件的实数a构成的集合为{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 解不等式.
参考答案：
当时，不等式化为，解得
；………………3分
当时，不等式化为，解得
；………………6分
当时，不等式化为，解得
；………………9分
所以原不等式的解集为
.
………………10分
19. （本小题满分14分）
已知函数图象上一点处的切线方程为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围
（其中为自然对数的底，）；
（Ⅲ）令，如果图象与轴交于，中点为，求证：．
参考答案：
（Ⅰ），，．
∴，且．解得a＝2，b＝1． (3)
分
（Ⅱ），令，
则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．
在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；
当x∈时，，∴h(x)是减函数．
则方程在内有两个不等实根的充要条件是
即．……………………8分
由④得，∴．即．即．⑤
令，（0＜t＜1)，则＞0．
∴在0＜t＜1上增函数．，
∴⑤式不成立，与假设矛盾．
∴．……………………14分
20. 选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标
方程为．
（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值．
参考答案：
解：（1）当时，由直线的参数方程消去得，即直线的普通方程为；
因为曲线过极点，由，得，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程代入，得，
由题意知，设，两点对应的参数分别为，，
则，，
∴
．
∵，，，
当，即时，的最小值为．
21. 设函数，其中．
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）讨论函数的极值点的个数，并说明理由．
参考答案：
(1) ；(2) 综上，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点
试题分析：（1）求函数的导数，则时，
∴，解得或，
所以的取值范围是．．．．．．．．．．4分（2）令，
当时，，此时，函数在上递增，无极值点；
当时，，
①当时，，函数在上递增，无极值点；
②当时，，设方程的两个根为（不妨设），因为，所以，由，∴，
所以当，函数递增；
当，函数递减；
考点：1.函数与不等式；2.导数与函数的单调性、极值.
22. （本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示。

（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；
(2)△ABC的内角分别是A，B，C，若f（A）＝1，cosB＝，求sinC的值。

参考答案：
由图象可得的单调减区间为. ……6分。