费马点与加权费马点讲义及其旋转

费马点与加权费马点
【例题1】．（1）知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝P A．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称
点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
（2）知识迁移
①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的
方法：
如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为△ABC的费马距离．
②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．
（3）知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：
ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；
ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．
②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且P A+PB+PC的最小值为，求正方
形ABCD的
边长．
【练习1】．（1）阅读证明
①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则
称点P为△ABC的费马点，此时P A+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝P A．
（2）知识迁移
根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；
第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+；
第三步：根据（1）①中定义，在图3中找出△ABC的费马点P，线段的长度即为△ABC的费马距离．
（3）知识应用
已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值．
【练习2】．问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．问题提出：如图1，△ABC是边长为1的等边三角形，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求P A+PB+PC的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将△BP A绕点B逆时针旋转60°至△BP'A'，连接PP'、A'C，记A′C与AB交于点D，易知BA'＝BA＝BC＝1，∠A'BC＝∠A'BA+∠ABC＝120°．由BP'＝BP，∠P'BP＝60°，可知△P'BP为正三角形，有PB＝P'P．
故．因此，当A'、P'、P、C共线时，P A+PB+PC 有最小值是．
学以致用：（1）如图3，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，CA＝3，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，则的最小值是．
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，，P为△ABC内部一点，连接P A、PB、PC，求的最小值．
（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接P A、PD、PQ，求P A+PD+PQ的最小值．
【练习3】．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【练习4】．在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得P A+PB+PC之和为最小，并求这个最小值及此时P A、PB、PC的大小．
【练习5】．（1）阅读材料：如图（1），四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M 为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，
①求证：△AMB≌△ENB；
②当M点在何处时，AM+CM的值最小；③当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，
并说明理由；
（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图（2），A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图．
【练习6】．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝．
【练习8】．综合与实践：
发现问题：
如图①，已知：△OAB中，OB＝3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA′B，连接BB′．
则BB′＝．
问题探究：
如图②，已知△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．
（1）求证：△DCQ≌△BCP
（2）求P A+PB+PC的最小值．
实际应用：
如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A、D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道P A、PD、PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？
【思考】
专题—旋转在几何压轴题中的应用
模型一共顶点等线段模型
【例1】数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且P A＝3，PB ＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断
（1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B；
（2）试判断△AP1P的形状，并说明理由；
（3）试判断△BP1P的形状，并说明理由；
（4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝．
【例2】如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若AE＝17，BC＝8，CD＝6，则四边形ABCD的面积为．
【例3】问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：△ABD≌△ACE；
探索：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD2、BD2、CD2之间满足的数量关系，并证明你的结论；
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的长．
模型二费马点
【例4】如图1，点P是等边△ABC内一点，已知P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
分析：要直接求∠A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．
解：如图2，作∠P AD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△P AD是等边三角形．∴＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠P AD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4，＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，P A＝1，PB ＝2，PC＝3，求∠APB的度数．
（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内
部的任意一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最小值为．
【例5】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，AP+BP+CP的最小值是多少？
【例6】问题提出
（1）如图，点M、N是直线l外两点，在直线l上找一点K，使得MK+NK最小．问题探究
（2）在等边三角形ABC内有一点P，且P A＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小．问题解决
（3）如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？
若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由．
模型三半角模型
【例7】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF
的周长为8，则正方形ABCD的面积为（）
A．9B．16C．20D．25
【例8】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝60°．若BM＝2，CN＝3，则MN的长为．。