理科数学-2月大数据精选模拟卷03(新课标Ⅰ卷)(解析版)

2月大数据精选模拟卷03（新课标Ⅰ卷）
理科数学
本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
2
650A x x x =-+≤，{
B x y ==
，A B 等于（ ）
A ．[1,)+∞
B ．[]1,3
C ．(3,5]
D ．[]
3,5
【答案】D 【详解】
由{}
{}2
650|15A x x x x x =-+≤=≤≤，{
{}3B x y x x ==
=≥
所以[]3,5A B =
故选;D
2．复数(2)i i +的实部为（ ） A ．1- B ．1
C ．2-
D ．2
【答案】A 【详解】
(2)12i i i +=-+的实部为1-，
故选：A.
3．已知0.30.3
7log 0.3,0.7,7a b c ===，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】A 【详解】
因为77log 0.3log 10,a =<=
0.3000.70.71,b <=<=
又0.30771c =>=， 则a b c <<．
4．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A 、B 两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如下的茎叶图．记A 、B 两酒店的宗合评分数据的均值为A x ，B x ，方差为2
A S ，2
B S ，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）
A ．因为A
B x x >，22
A B S S >，应选择A 酒店
B ．因为A B x x >，22
B A S S <，应选择A 酒店
C ．因为A B x x <，22
A B S S >，应选择B 酒店
D ．因为A B x x <，22
B A S S <，应选择B 酒店
【答案】B 【详解】
由题意，根据茎叶图中的数据，可得1
(728687899294)6
86.67A x =
=+++++， 1
(737486889495)6
85B x =++++=+，可得>A B x x ，
又由22
221[(7286.67)(8686.67)(9486.67)]065.56A S =-+-++-=，
222
21[(7386.67)(7486.67)(9586.67)]6
76B S =-+-+-=+，可得22B A S S <.
故选：B ．
5．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
【答案】C 【详解】
解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+-
(2)(1)(12)(13)
222
n n n n ----=
+⨯
2
2235335353()157()157232624
n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为53
96
x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314
402
min S ⨯-⨯+==．
故选：C ．
6．如图，在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，AB BD ⊥，M 为AD 的中点，MB BC ⊥，22AD BD ==，则AB MC ⋅=（ ）
A ．1
B ．
52
C ．3
D ．
32
【答案】B 【详解】
因为AB BD ⊥，M 为AD 的中点，22AD BD ==，
所以AB =
=1
12
BM AD =
=，则BMD 为等边三角形， 所以3
MBD π
∠=
，
又MB BC ⊥，所以6
CBD π
∠=
，则2
2
63
ABC π
π
π∠=
+
=， 因为//AB CD ，AB BD ⊥，所以CD BD ⊥，即BCD △为直角三角形，
所以
cos
6
BD BC π
=
=
， 因此()
1122AB MC AB BC A BM BA B B BC D ⎛
⎫⋅=⋅-=⋅-
- ⎪⎝
⎭
211235
3cos 22
322
AB BC AB AB BD π=⋅+
-⋅=-+=. 故选：B.
7．函数()3
313
x
x f x =-的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【详解】
由130x -≠可得0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，
当0x >时，31x
>，所以130x
-<，3
30x >，可得()3
3013
x
x f x =<-，故排除选项AC ， 当0x <时，031x
<<，所以103x ->，3
30x <，可得()3
3013
x
x f x =<-，故排除选项B, 8．执行如图所示的程序框图，运行后输出m 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【详解】
由程序框图当1n =，22m n == 所以输出m 的值为2 故选：A
9．“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：
一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为（ ） A ．
1
2
B ．
59
C ．
67120
D ．
133
240
【答案】D 【详解】
根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有6
6720A =种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶
全错位排列，则5个元素全错位544=D （常用数据知识），当投对两袋时，其他4个元素全错位49D =，
所以概率为12
666
6449399133
=720240
⨯+⨯==C C P A . 10．过抛物线2
2y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，
25
||4
AB =，则m =（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【详解】
∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．
设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2
440y y λ--=．
设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-．
由AF mFB =，得
12y my =-．解得21y y =
=-21y y ==121,x m x m ∴==
．12125
||2,44
AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 11．已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．()1
π2cos 2
3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．不等式()1f x >的解集为π2π,2ππ,3k k k ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭Z
C ．函数()f x 的一个单调递减区间为π7π,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．若将函数()f x 的图象向右平移5π
3
个单位长度后所得图象对应的函数为()g x ，则()g x 是奇函数 【答案】C 【详解】
由图易得2A =，()f x 的最小正周期24433T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2142
ωπ=
=π，所以()22c s 1o f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 的图象上，得1223k π
ϕπ⨯+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+，
k ∈Z ，又2
π
ϕ<
，所以取0k =，得6π
ϕ=-
，所以()12cos 2
6x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；
令()1f x >，得1
1cos 2
62x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得1223263k x k πππππ-<-<+，k ∈Z ，解得443k x k ππππ-<<+，k ∈Z ，
即()1f x >的解集为4,43k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，k ∈Z ，所以B 错误；
由12226k x k ππππ≤
-≤+，k ∈Z ，得74433
k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ，取0k =，得733x ππ
≤≤，所以()f x 的一个单调递减区间为7,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，所以C 正确； 将函数()f x 的图象向右平移
53
π
个单位长度后得()15112cos 2cos 2cos 23622g x x x x π
ππ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫
=-
-=-=-⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎝
⎭⎝⎭⎣⎭⎦
的图象，所以()g x 是偶函数，所以D 错误.
12．已知函数244()ln -⎫⎛
=++ ⎪⎝
⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，
()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为（ ）
A ．[4,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．16,5⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【详解】
解：函数2
44()()x f x k lnx k x
-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．
由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有22
112244
4411k k k k x x x x +
+
--=--， 化为12124
4()()x x k x x k
+=+，
而2
1212(
)2
x x x x +<， 2121244()()()2
x x
x x k k +∴+<+，
化为
12164x x k k
+>
+
对[1k ∈，)+∞都成立， 令4
()g k k k
=+
，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442
g k g ==+
= ∴
6
164
414
k k
=+
，
124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数x ，y 满足约束条件102101x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则32z x y =--的最小值是__________.
【答案】7- 【详解】
画出102101x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
表示的可行域，如图，
将32z x y =--变形为2
33
x z y +=-， 平移直线233
x z y +=
-， 由图可知当直2
33
x z y +=
-经过A 点z 的最小， 由101x y y ++=⎧⎨
=⎩可得2
1x y =-⎧⎨=⎩
，可得()2,1A -，
min 23127z ∴=--⨯-=-，
14．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列{}12:1n F F F ==
，
12(2)n n n F F F n --=+>，若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，
则数列{}n a 的前2021项和为_________. 【答案】1348 【详解】
兔子数列各项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55⋅⋅⋅ 可得此数列被2除后的余数为：1,1,0,1,1,0,1,1,0⋅⋅
由此可知{}n a 是以3为周期的周期数列，可得202021a a == 数列{}n a 的前2021项和为：267321348⨯+=
15．已知点A 是抛物线2
2(0)y px p =>上一点，F 为其焦点，以F 为圆心、FA 为半径的圆交准线于B ，
C 两点，若FBC 为等腰直角三角形，且ABC 的面积是________．
【答案】2
4y x = 【详解】
由题意可知
2
cos 452
DF BF
==
，且DF p =，得BF ， 所以2AF p =
，根据抛物线的定义，可知点A 到准线的距离2d p
=，
11
222
ABC
S
BC d p =
⨯=⨯=()0p >，解得：2p =， 所以抛物线方程2
4y x =
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3
APD BAD π
∠=∠=
，则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________．
【答案】16π． 【详解】
取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，
因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，
又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心． 又2PD =，3
APD π
∠=
，所以
24
cos
3
PA π
=
=，所以2MA MP ==，
所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=． 故答案为：16π．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin 2sin cos 1
sin 22
C A A B B ++=. （1）求角A 的大小；
（2）若a =，且b c +=ABC 的面积.
【详解】
（1）因为2
sin sin 2sin cos
1
sin 22
C A A B B ++=， 所以()1
sin sin sin cos 1sin 2C A A B B +=++，
所以1
sin sin cos sin 2
C A B B =+，
所以()2sin 2sin cos sin A B A B B +=+，
所以()2sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B A B B +=+， 所以2cos sin sin A B B =，
因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2
A =， 又因为0A π<<，所以3
A π
=
.
（2）因为a ，3
A π=，2222cos a b c bc A =+-， 所以
2274b c bc =+-，即()2
734
b c bc +-=，
因为b c +=
1bc =，
所以11sin 122ABC S bc A ==⨯△. 18．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，1111AA A B ==，120BAD ∠=︒，
1AA ⊥平面ABCD .
（1）E 是棱AD 的中点，求证：1//B E 平面11CDD C ；
（2）试问棱AD 上是否存在点M ，使得二面角111M A B D --求点M 的位置；
若不存在，请说明理由. 【详解】
（1）证明：连1DC ，由1B C //AD ，得11B C E //
D =，
故四边形11B EDC 为平行四边形.
11//B E C D =，1
C D ⊂平面11CDD C ，1B E ⊂/平面11CDD C ， 所以1//B E 平面11CDD C ，
（2）假设M 点存在，取BC 中点G ，因为底面ABCD 是菱形，
120BAD ∠=︒，所以AG BC ⊥，AG AD ⊥，又1AA ⊥面ABCD ，
所以AG ，AD ，1AA 两两互相垂直.
以A 为坐标原点，AG ，AD ，1AA 为正方向建立空间直角坐标系A xyz -.
由2AB =，得AG =
(0,,0)M t ，其中[0,2]t ∈.
1(0,0,1)A ，11,122B ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭，
()10,,1A M t =-，1131,022A B ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设()1,,n x y z =为平面11MA B 的一个法向量，则
1111100n A B n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即1022
x y ty z -=⎨⎪-=⎩
可取()
11,3,n =. 易知平面111A B D 一个法向量为()20,0,1n =
由121212
cos ,1n n n n n n ⋅=
=
=
+‖1
2
t =， 故M 为AD 边上靠近A 的四等分点.
19．为了解某市2021届高三学生备考情况，教研所计划在
2020
年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试，第一次质量检测考试（一检）结束后，教研所分析数据，将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图，分数在[)400,540之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图，已知参加考试的理科生有12000人.
（1）如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线，请问一检考试的模拟二本线应该是多少；
（2）若甲同学每次质量检测考试，物理、化学、生物及格的概率分别为
34，12，1
2
，请问甲同学参加三次质量检测考试，物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数X 分布列及期望. 【详解】
（1）540分以上的频率为：
301
36012
=， 要达到60%的二本率，所以，[]460,540之间频率为：130031
60%1236050
⎛⎫-
÷
= ⎪⎝
⎭ 因为[]460,540的频率总和为()0.01250.00750.0052200.6++⨯⨯= 所以模拟二本线应在[]440,460之间，设为x 则()31
4600.010.650
x -⋅+=
解得：458x =； （2）至少2科及格的概率3113115314224228
P ⎛⎫=
⨯⨯⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭ 5~3,8X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3355188k k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫∴==⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，0k =，1，2，3
()388
E X np ==⨯=.
20．已知椭圆22
:142
x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P （点
P 在第一象限），且与x ，y 轴分别交于G ，E 两点，过点P 做直线l 的垂线分别交x ，y 轴于M ，H ，过点1F ，H 的直线交椭圆C 于A ，B 两点．记2ABF ，MOH ，EOG △的面积分别为1S ，2S ，3S ．
（∵）求证：23S S ⋅为定值；
（∵）是否存在点P ，
使得12S =? 如果存在，写出一个点P 的坐标即可；如果不存在，请说明理由． 【详解】
（∵）设()00,P x y ，:l y kx m =+，(0)k < 令0x =可得：y m =，所以()0,E m ， 令0y =可得：m x k =-
，所以,0m G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 由22
24
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214240k x kmx m +++-=， 因为(
)(
)
2
2
2
2
16421240k m k m ∆=-+-=可得2242m k =+，
且024221km x k -=+，所以02221km x k -=+，20022
22121
k m m
y kx m m k k -=+=+=++， 所以直线PH 的方程为：22
122121m km y x k k k ⎛⎫
-=-+ ⎪++⎝⎭
， 令0x = ，解得221m y k -=+，令0y = ，解得2
21
km
x k -=+， 所以20,
21m H k -⎛
⎫ ⎪+⎝⎭，2,021km M k -⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
所以2322111
122221212m km m S S OH OM OE OG m k k k
--⋅=
⋅⨯⋅=⨯⨯⨯⨯⨯++ ()()()()()()
2
2
2
2
2
2
4
22222222424211112221421421421k k k m m m
k k k k k ++=⨯⨯⨯====+++
+，
所以231S S ⋅=为定值；
（∵）设存在点P
，使得12S =，
直线11:AB y k x m =+，()22,A x y ，()33,B x y
，又因为()
1F ，2
0,21m H k -⎛
⎫ ⎪+⎝⎭
，
可得()2
12221m
k k -==+ ，1221m m k -=+， 联立1122
24
y k x m x y =+⎧⎨
+=⎩可得()222
1111214240k x k m x m +++-=， 所以112321421m k x x k -+=+，21232124
21
m x x k -=
+ 所以()2111
231231122
1142222121
m k m y y k x x m m k k -+=++=+=++， ()()()222312113112311231y y k x m k x m k x x k m x x m ⋅=++=+++ 22222
111111
111222
111
2444212121m m k m k k k m m k k k ⎛⎫---=⨯+⨯+= ⎪+++⎝⎭， 所以2
12
12
112231
2
ABF AF F BF F S
S
S
S
F F y
y ==+=
⨯-
1
2
=⨯==
则1S =
=
由（1）知()
222
21
221k m S k =⨯
+
当12S =()22
21
221k m k =⨯+
则
()
()
22
2
4
2
2
2
2
32121k m m k k =
+++得
()
()
()
222
4
2
2
2
3242
242121k k k
k k
+=
++++
所以
()
()
()
222
4
2
2
324292121k k k k
+=
++
则221227k k += 即2
125k = 所以15k =（舍去），15
k =-
所以m =
=
由（1）知02221km x k -=+，20022
22121k m m
y kx m m k k -=+=+=++， 所以P
坐标为99⎛ ⎝⎭
.
21．已知函数()(2)(0)x f x ae x a =-≠． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若函数2
()()2g x f x x x =+-有两个极值点，求实数a 的取值范围．
【详解】
（1）()(1)x
f x ae x '
=-，
若0a >，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1,()x f x >∴的递减区间为(,1)-∞，递增区间为(1,)+∞． 若0a <，由()0f x '<，得1x >；由()0f x '>，得1,()x f x <∴的递减区间为(1,)+∞，递增区间为(,1)-∞．
（2）22
()()2(2)2x g x f x x x ae x x x =+-=-+-，(
)
()(1)22(1)2x
x
g x ae x x x ae '=-+-=-+．
2()(2)2x g x ae x x x ∴=-+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x
g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个
不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，当1x =时，1
(1)20h ae =+≠，即2a e
≠-． ∵∵当0a >时，()20x h x ae =+>，此时无零点； ∵当0a <且2a e
≠-
时，2
()0,()h x ae h x '=<∴为减函数． 又2
ln 2ln 20a h ae a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫
⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∵总存在唯一实数2ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使()0h x =．
综上，()g x 有两个极值点实数a 的取值范围22,,0e e
⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
．
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系下有许多美丽的曲线，如贝努利双纽线2
2
cos 2a ρθ=的形状是一个横8字，和谐、对称、优美．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系下，曲线C 的参数方程2cos ,sin ,
x t y t αα=+⎧⎨=⎩（,,2
k k t π
απ≠
+∈Z 为参数）．
（∵）求曲线C 的普通方程和贝努利双纽线的直角坐标方程； （∵）若2,6
a π
α==
，将曲线C 向左平移2个单位得到曲线C '，曲线C '与贝努利双纽线交于,A B 两点，
求,A B 的极坐标． 【详解】
（∵）直线l 的普通方程为tan (2)(2)y x x α=-≠．
由22
cos 2a ρθ=，得()42
2
222cos sin a
ρρ
θρθ=-，
∵贝努利双纽线的直角坐标方程为()
()2
22
222x y a x y +=-．
（∵）曲线C 向左平移2个单位得到曲线:tan (0)C y x x α'
=≠，当6
π
α=
时，其极坐标方程为
(0)6πθρ=≠，联立24cos 2,
,
6ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得ρ=
,66A B ππ⎫⎛⎫∴⎪ ⎪⎭⎝⎭．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()|2|f x x x a =-+-．
（∵）若()4f x 对于x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围；
（∵）当4a =-时，函数()f x 的最小值为t ，且正实数,m n 满足m n t +=，求
14
m n
+的最小值． 【详解】（∵）()4f x 对于x ∈R 恒成立，等价于
2||4x x a -+-∣∣对于x ∈R 恒成立． |2|||
|2()||2|x x a x x a a -+----=-，
当且仅当()()20x x a --≤时等号成立，
|2|4a ∴-，即24a --或24a -，解得2a -或6a ．
∵实数a 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞．
（∵）当4a =-时，()|2||4|(2)(4)6f x x x x x =-++-++=∣
∣， 当且仅当42x -≤≤时等号成立，即6t =，由此可得6m n +=． 又
,m n 为正实数，
14141413
14526662
m n n m m n m n m n ⎛+⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝． 当且仅当
4n m
m n
=，即4,2n m ==时，等号成立． 14m n ∴
+的最小值为32
．。