课时作业10：3.3.1 两条直线的交点坐标~3.3.2 两点间的距离

§3.3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标
3．3.2 两点间的距离
一、选择题
1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( )
A ．(4,1)
B ．(1,4) C.⎝⎛⎭⎫43，13 D.⎝⎛⎭
⎫13，43 2．经过两点A (－2,5)，B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫－13，0 B ．(－3,0) C.⎝⎛⎭
⎫13，0 D.()3，0 3．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A ．x －3y ＋7＝0
B ．x －3y ＋13＝0
C ．3x －y ＋7＝0
D ．3x －y －5＝0
4．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭
⎫－32，2 D ．(2，＋∞) 5．设集合A ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
7．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115
二、填空题
8．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．
9．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________.
10．若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________．
11．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________．
三、解答题
12．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l的方程．
13．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
答案精析
1．C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝43，y ＝13，即交点坐标是⎝⎛⎭⎫43，13]
2．A [由两点式得过A ，B 两点的直线方程为y ＋45＋4＝x －1－2－1
，即3x ＋y ＋1＝0.令y ＝0，得x ＝－13
.故直线l 与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，0] 3．B [由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝4，即交点坐标为(－1,4)．因为第一条直线的斜率为－3，所以所求直线的斜率为13
. 由点斜式，得y －4＝13
(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.] 4．C [解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧
3m －63＋m 2＜0，6＋4m 3＋m 2＞0.解得m ∈⎝⎛⎭
⎫－32，2.] 5．C [A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨
⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7＝{(1,2)}，则集合C 是{(1,2)}的子集．又因为集合{(1,2)}的子集有∅，{(1,2)}，共2个，所以集合C 有2个．]
6．B [∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32，
∴三角形为等腰三角形．故选B.]
7．C [直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝
⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，
得|AB |＝135
.] 8．(－4，－1)
解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－5x 0－2·(－1)＝－1，
x 0＋22＋y 0＋52＝1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－4，y 0＝－1. 所以所求对称点的坐标为(－4，－1)．
9．－12
解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－2.又因为点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，所以－1－2k ＝0，k ＝－12
. 10.22
解析 由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝
2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22. 11.⎝⎛⎭
⎫33，＋∞ 解析 由⎩⎨⎧ y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝33＋62＋3k ，
y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33
. 12．解 设直线l 的方程为y ＝6x ＋b .
令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b 6
. 所以直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为⎝⎛⎭
⎫－b 6，0，(0，b )． 这两点间的距离为
⎝⎛⎭⎫－b 6－02＋(0－b )2＝ 3736b 2＝376|b |. 由题意，得
376
|b |＝37. 所以b ＝±6.
所以所求直线l 的方程为y ＝6x ＋6或y ＝6x －6，
即6x －y ＋6＝0或6x －y －6＝0.
13．解 如图建立平面直角坐标系，
则E (30,0)，F (0,20)．
所以线段EF 的方程是x 30＋y 20
＝1(0≤x ≤30)． 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，作PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )．
又因为m 30＋n 20
＝1(0≤m ≤30)， 所以n ＝20⎝⎛⎭
⎫1－m 30， 所以S ＝(100－m )⎝
⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503
(0≤m ≤30)． 于是当m ＝5时，S 有最大值．
这时|EP ||PF |＝30－55＝51
. 故当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且|EP ||PF |
＝5时，草坪的面积最大．。