守恒和“不守恒”

守恒和“不守恒”
【关键词】：守恒定律不守恒牛顿第二运动定律动能定理【内容摘要】：在解决高中物理的力学问题时，无论研究对象是个体还是系统，各定律都是大家常见的解决问题的工具。

满足动量守恒定律守恒条件的，可以考虑使用，不满足守恒条件的，也去考虑它的不守恒性，算是另劈蹊径，或从牛顿第二定律的角度去研究；而对于机械能守恒定律、动能定理等，同样研究它的不守恒性。

这篇文章希望给高三复习的同学们在构建知识系统有个小帮助。

所有守恒都意味不守恒。

动量守恒定律的另一层含义是系统外力的总冲量是系统动量变化的量度。

下面由一道解法也挺老套的老题目说开去。

【题】物体A和B用轻线相连，挂在轻弹簧下静止不动，如图（a）所示。

A的质量为 m，B的质量为 M。

当连接 A、B的线突然断开后，物体A上升，经某一位置的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u。

如图（b）所示。

在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为[ ]
A．mv B．mv－Mu
C．mv+Mu D．mv+mu
思路：由题意可知，虽然整个过程所用的时间可以直接求出，但弹簧的弹力是一变力，要求它的冲量只能用动量定理来计算。

以物体A为研究对象，取竖直向上为正方向，
根据动量定理有：IF－mgt=mv；
由同时性，Mgt=Mu，则t=u/g
由两式可得弹力的冲量IF=mv+mu。

所以正确的选项为Ｄ。

有学生提出动量守恒定律的适应与否，则解释为系统外力之和不为零，外力的冲量是系统动量不守恒的原因和量度。

I F－mgt－Mgt=mv-0+（-Mu-0）变形得：
I F－mgt－Mgt= （mv-Mu）-0方程的文字表述为：系统外力的总冲量是系统动量变化的量度。

姑且称之为“动量不守恒定律”。

由“动量不守恒定律”的继续思考，有新的收获。

以动量定理来分析，即力在一段时间内积累效应的规律，而牛顿第二定律描述了力和受力物体加速度的瞬时关系。

在上题中鉴于动量定理和运动学的联系，假设弹簧的弹力取平均值F，则有：Ft－mgt－Mgt=M（-u-0）+m（v-0），设二者加速度
大小分别为a A 、 a B 则有F －mg －Mg=-Ma B +ma A 。

对于上式，文字表述为：系统在某方向所受外力矢量和等于各物体在该方向质量与加速度乘积矢量和。

这就是以质点组为对象牛顿第二定律。

一般性的公式表达.....3322111+++=∑=a m a m a m Fi n
i
注：对于这个结论的推导和理解是这样的：
先以质点组中的每个物体作为研究对象使用牛顿第二定律： ∑F1=m 1a 1，
∑F2=m 2a 2，
……
∑F n =m n a n ，
将以上各式等号左边相加，其中左边所有力中，凡属于系统内力的，因为是相互作用力所以总是成对出现并且大小相等方向相反，其矢量和为零，所以最后得到的是该质点组所受的所有外力之和，即合外力F 。

而对于相对静止的物体组成的系统来说，则有F=（m 1+m 2+m 3+…..）a 。

有意思的是质点的动量定理：某物体所受合外力的冲量等于物体的动量的改变量，这实际上也是牛顿第二定律的公式简单的变形。

也称做为物体的动量不守恒定律。

该结论对处理一些问题时很方便，比如下面的一个例子。

如下图（1）所示，质量为m 和M 的环和箱处于静止，已知小环释放时以恒定加速度a 下滑，则此时地面对木箱的支持力多大？
按常规思路，应该是隔离分析得出二者的力学方程，然后联立得出结果。

这里利用上述结论即可：N-Mg-mg=M*0-ma,解得N= Mg+mg-ma 。

某一方向应用的例子。

如图（2）所示，已知斜面体与小物体的质量分别是M 、m ，它们之间动摩擦因数为u ，斜面倾角为θ，始终相对地面静止。

求小物块m 下滑时地面受到斜面体对它的压力。

解：由受力分析可知
小物块m 的加速度a=mgsin θ，它的竖直分量y a =asin θ=θ2sin mg 则有系统竖直方向牛顿第二定律：N-Mg-mg=M*0-m y a ，
即N-Mg-mg=M*0-θ2sin mg
N=Mg+mg-θ2sin mg
【例】如图所示，m A =1kg ，m B =2kg ，A 、B 间
静摩擦力的最大值是5N ，水平面光滑。

用水平力F
拉B ，当拉力大小分别是F =10N 和F =20N 时，A 、
B 的加速度各多大？
解析：A 、B 刚好发生相对滑动的临界状态。

当A 、B 间的静摩擦力达到5N 时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经发生了相对滑动，A 在滑动摩擦力作用下加速运动。

这时以A 为对象得到 a =5m/s 2；再以A 、B 系统为对象得到 F =（m A +m B ）a =15N
（1）当F =10N<15N 时， A 、B 一定仍相对静止，所以2B A B A 3.3m/s =+==m m F a a
（2）当F=20N>15N 时，A 、B 间一定发生了相对滑动，用系统牛顿第二定律列方程：B B A A a m a m F +=，而aA=5m/s2，于是可以得到aB=7.5m/s2
在一般问题的中，隔离法与整体法各有千秋，往往两种方法交叉运用，有时研究对象的不同，仅仅是繁简不同。

所以，两种方法的取舍并无绝对的界限，简便而行。

无独有偶，在研究机械能守恒时也有类似“不守恒定律”的表达。

机械能守恒定律是高中物理中应用能量方式解决问题的重要知识点之一,在每年的高考中均有不同程度的考查。

但大部分的学生对此知识的理解不透彻，下面从不守恒角度去剖析。

当研究一个物体的机械能守恒时往往根据是否“只有重力做功”来判定，即除重力外其他力做的总功为零；当一个物体的机械能不守恒时，除重力外其他力做的功应该是机械能改变的量度。

由动能定理：G W +G W 除=K E ∆=2K E -1K E
G W =-P E ∆=1P E -2P E
∴G W 除=K E ∆+P E ∆=2K E +2P E -（1K E +1P E ）=机E ∆
这结论在处理如下一类问题时可能要简便些。

【例】 如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，（1）系统机械能是否守恒？
（2）若滑下时斜面体速度大小v ，则斜面体对物体做了多少功？
以二者组成系统为研究对象，在整个过程中系统只有动能和势能两种形式能量出现，故系统机械能守恒。

又由斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，其机械能增加22
1mv ；而系统机械能又是守恒的，故小物体机械能是减小的，其改变量为 ﹣221mv ，则斜面体对物体功W=﹣221mv 。

动能也有类似“不守恒定律”的表达。

动能定理：“合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。

”这是用牛顿第二定律导出的对一个物体的一般运动的描述；而对于几个物体组成的系统即质点组的动能定理：“所有力对质点组（系统）做的功之和等于质点组总动能的增量。

”这里“所有力对质点组做的功”
是说外力和内力做的总功。

这里主要强调内力的作用，系统内力做的总功可以不为零，因为可以改变系统的总动能。

例如，两木板相对运动时摩擦内力做功产生内能，它们的总动能显然比作用前减小了，这是因为内力做的总功是负功。

再例如，炸弹爆炸后，弹片高速飞出，它们的总动能显然比爆炸前增加了。

这是系统内力（火药的推力）做正功的结果。

张三慧主编的大学物理教科书《力学》一书中很明确：“一个不受外界作用的系统叫做封闭系统（或孤立系统）。

对于封闭系统，外力的功当然为零。

如果系统状态发生变化时，有非保守内力做功，它的机械能当然就不守恒了。

”而从能量的角度来说，还是守恒的。

但这里需要特别注意区别的是：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。

所有不守恒都意味着真正意义上的守恒。

【参考文献】张三慧主编的大学物理教科书，第二版第一册《力学》。