上半连续和下半连续教案

函数的上、下半连续性
一、上、下半连续性的定义
设函数()f x 在集合E 上有定义,0x E ∈为E 的一个聚点;()f x 在0x 处连续,用εδ-语言描述,即：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时,有
若将此条件减弱,在不等式()A 中,只使用其中的一个不等式,那么就得到半连续;
定义设()f x 在0x 及其附近有定义,所谓()f x 在0x 处上半连续,是指：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时,恒有()()0f x f x ε<+;
()f x 在0x 处下半连续,是指：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时,恒有()()0f x f x ε>-;
推论()f x 在0x 及其附近有定义,则()f x 在0x 处连续的充要条件是,()f x 在0x 处既上半连续又下半连续;
例1Dirichlet 函数()1,0,\x Q
D x x R Q
⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩
①在有理点处上半连续,但不下半连续; ②在无理点的情况恰恰相反; 例2考虑函数()(),f x xD x x R =∈; ①当0x >时,跟()D x 的结论一样, ②当0x <时,跟()D x 的结论相反,
③当0x =时,既上半连续又下半连续,因而在0x =处连续; 例3Riemann 函数
①在无理点处既上半连续又下半连续;
②在有理点处上半连续,但不下半连续; 二、上、下半连续性的等价描述
定理1设()f x 在集合E 上有定义,0x 为E 的一个聚点且0x E ∈;则如下断言等价：
()1、()f x 在0x 处上半连续即：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时,恒有
()()0f x f x ε<+ ()2、()()0
_____
0lim x x
f x f x →≤ ()3、{}0:,n n n x x E x x ∀∈→,必有()()_____
0lim n x f x f x →∞
≤ 证明：()()()12⇒
明显,因0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时,有 对上式取极限,并注意0ε>的任意性,即得()2;
由()()()0
_____
_____00lim max lim ,n n n n x x n f x f x x E x x x x →→∞⎧⎫=∈→≠⎨⎬⎩⎭
, 直接可得;
()()()31⇒用反证法
设()f x 在0x 处不上半连续,则
0011
0,0,,0n n n n x E x x n n
εδδ∃>∀=
>∃∈<-<=, 使得()()00n f x f x ε≥+;这与已知条件()3矛盾;
当且仅当()f x 集合E 中处处上下半连续时称()f x 在E 中上下半连续;
定理2设E 为闭集,()f x 在E 上有定义,则()f x 在E 中上半连续的充要条件是：(),c ∀∈-∞+∞,集合()(){}:F c x E f x c ≡∈≥为闭集;
证明必要性为了证明()F c 为闭集,即要证明()0,n n x F c x x ∀∈→,必有
()0x F c ∈,此时n x E ∈,而E 为闭集,所以0x E ∈;要证()0x F c ∈,只要证()0f x c ≥;事实上,由()n x F c ∈知()n f x c ≥()1,2,n =⋅⋅⋅,从而有()____
lim n f x c ≥;因()f x 在上半连续,根据定理1有
充分性反证法
若()f x 不在E 中上半连续,则至少存在一点0x E ∈,()f x 在0x 不上半连续,即
010,,,n n x E n εδ∃>∀=∃∈01
n x x n
-<,但()()00n f x f x ε≥+;
取数c ,使()()000f x c f x ε+>>,于是根据()F c 的定义 但0n x x →当n →∞,F 为闭集,应有()0x F c ∈矛盾,证毕;
注1上半连续与下半连续是对偶的概念;一方有什么结论,另一方也有相应的结论;定理2的对偶结论留给学生做为习题;
2定理2给出了半连续的又一等价形式,其中未用εδ-语言,只用了闭集的概念;这为半连续推广到一般拓扑空间,作了准备; 三、上、下半连续的性质 1、运算性质
定理31若在[],a b ,函数()f x ,()g x 上、下半连续,则它们的和
()()f x g x +亦在[],a b 中上、下半连续;
2若在[],a b 上()f x 上下半连续,则-()f x 在[],a b 中为下、上半连续; 3若在[],a b 上,函数()f x 及()g x 0>,且上半连续或()f x 及()g x 0<,且下半连续则它们的积()f x ·()g x 在[],a b 上为上半连续;若()f x 0>上、下半连续,()g x 0<为下上半连续,则()f x ·()g x 下上半连续;
4若在[],a b 上,()f x 0>上下半连续,则
()
1
f x 在[],a b 上为下上半连续; 这里只对1中上半连续的情况进行证明,
证法1利用半连续的定义
因()f x ,()g x 上半连续,[]0,,0,0,x a b εδ∀∈∀>∃>当[]0,,x x x a b δ-<∈时有
()()()()00,22
f x f x
g x g x εε
<+<+
所以()()()()00f x g x f x g x ε+<++ 故()()f x g x +在[],a b 上上半连续;
证法2利用上半连续的等价描述 因()f x ,()g x 在[],a b 中上半连续,[]0,x a b ∀∈有
()()()()0
__________
00lim ,lim x x x x f x f x g x g x →→≤≤定理1
但
故()()f x g x +在[],a b 中上半连续; 2、保号性
上半连续函数有局部保负性即：若()f x 在0x 处上半连续,()0f x 0<,则0δ∃>,使得()00,x x x δδ∈-+时有()f x 0<;同样,下半连续函数有局部保正性,这些由定义直接可得; 3、无介值性
半连续函数,介值定理不成立;例如：
在[]0,1上()f x 是上半连续的,但()()()()0,11,0a f f ∀∈=,无()0,1x ∈使得
()f x =a ;
4、关于()f x 的界
定理4有界闭区间上的上半连续函数,必有上界,且达到上确界,具体来说,若()f x 在[],a b 上上半连续,则
1()f x 在[],a b 上有上界0M ∃>使()f x [],,M x a b ≤∀∈; 2()f x 在[],a b 上达到上确界即[]0,x a b ∃∈使得()[]
()0,sup x a b f x f x ∈=
证明先证明1反证法
若()f x 无界,则[],n x a b ∃∈,使得()()1,2n f x n n >=⋅⋅⋅由致密性原理,在{}n x 中存在收敛的子序列{}k
n x ,使0k
n x x →当k →+∞;因[],a b 为闭的,故
[]0,x a b ∈,但()
k n k f x n >,当k →+∞时,()k n f x →+∞, 所以()0
_____
lim x x
f x →=+∞;
但()f x 在[],a b 上上半连续,应有()()0
_____
0lim x x
f x f x →≤,故()0f x =+∞矛盾;
下证2
因()f x 上有界,()sup x E
f x M ∈=<+∞,若()f x 在[],a b 上达不到上确界,则
[]()(),,,0x a b f x M M f x ∀∈<->所以
()
1
M f x -在[],a b 上上半连续定理3,从
而有上界,即0,M '∃>使[],x a b ∀∈有 即：()1f x M M <-
'
这与()sup x E
M f x ∈=矛盾;
证法2利用有限覆盖定理进行证明;
思考题：对于下半连续相应的定理如何叙述 若把闭区间改为任意的闭集合,结论是否正确;
事实上,上面的定理4可做如下推广;
定理：假定X 为紧集,f 是上半连续的,则f 在X 上必有最大值;
证明：因f 是上半连续的实值函数
故∀X x ∈1,)(x f 必在1x 的某一邻域)(1x N δ内有上界, 故∀X x ∈1,)(x f 必在1x 的某一邻域)(1x N δ内有上确界,
设)(x f 在1x 的邻域)(1x N δ内的上确界为1
x M
构造邻域簇....}3,2,1),({=i x N i δ, 显然)(i i
x N X δ ⊆
而由条件X 为紧集,
故存在自然数k 使得：)(1i k
i x N X δ=⊆
用i
x M 分别表示)(x f 在)(i x N δ中的上确界,其中k i ,...3,2,1=
令}......,max {2
1
k
x x x M M M M =
显然M 必为)(x f 在X 上的最大值;
定理5若函数()f x 在(),a b 内半连续,则必存在内闭区间[](),,a b αβ⊂,使()f x 在[],αβ上保持有界; 证：以下半连续为例进行证明;
设()f x 在(),a b 内下半连续,来证[][],,a b αβ∃⊂使得()f x 在[],αβ上有界,
用反证法,设[](),,a b αβ∀⊂,()f x 总在[],αβ上无上界,于是： 1、()1,x a b ∃∈使得()11f x >,因()f x 下半连续,故10δ∃>不妨令11
2
δ<
,使得[]()11111,,x x a b δδ∆≡-+⊂且1x ∀∈∆有()1f x >
2、因()f x 在任何内闭区间上无上界,所以对1∆,21x ∃∈∆使得()22f x >进而由()f x 的下半连续性,知20δ∃>不妨令221
2
δ<
使得[]222221,x x x δδ∈∆≡-+⊂∆时,有()2f x >;
3、如此继续下去,我们得到一串闭区间：123n ∆⊃∆⊃∆⋅⋅⋅⊃∆⊃,
区间长2
202
n n n δ∆=<
→当n →∞时且在每个区间n ∆上,恒有()f x n >; 4、根据区间套定理()1,2n n ξ∃∈∆=⋅⋅⋅;因此()f ξ=+∞,矛盾;
我们已经知道,连续函数单调序列的极限不一定是连续的;例如
()n n f x x =在[]0,1上连续,当n 增加时单调下降有极限
但极限函数()f x 在[]0,1上不连续;
定理6保半连续性设函数()n f x 在E 上有定义,且上半连续
()()()1,2,n n f x f x =⋅⋅⋅↓,即：
且()()lim
n n f x f x →∞
=;则()f x 在E 上上半连续;
证明我们的任务在于证明：0,0,0x E εδ∀∈∀>∃>,当0,x E x x δ∈-<时有()()0f x f x ε<+
1、0x E ∀∈,因()()00lim n n f x f x →∞
=,所以0ε∀>,0N ∃>,当n N >时有
()()00n f x f x ε<+
2、将n 固定,因()n f x 在E 上上半连续,所以0δ∃>,当0,x E x x δ∈-<时
有()()0n f x f x ε<+;
3、又()()n f x f x ↓,()()n f x f x ≤,故更有 这就证明了()f x 在E 上上半连续;
下面,我们提出相反的问题：是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢 回答是肯定的;
定理7设()f x 在[],a b 上有定义,且上半连续,则存在一个递减的连续函数序列
使得()()lim n n f x f x →∞
=即：上半连续函数,总可用连续函数从上方逼近
证明
首先构造函数序列(){}n f x ,然后证明()n f x 连续,↓,有下界,从而
()()lim n n f x x →∞
存在记为g ,然后证明()()g x f x =;
1、构造()n f x
对于固定的x 与n ,函数n x x '--是x '的连续函数,所以上半连续,已知()f x '是上半连续的,()f x n x x ''--是x '的上半连续函数定理3,从而在[],a b 上有上界,且
达到上确界定理4,即[]*,x a b ∃∈使得
()[]
(){}**,max x a b f x n x x f x n x x '∈''--=-- 1
注意*x 实际与,n x 有关,()**n x x x = 今定义()[]
(){},max n x a b
f x f x n x x '∈''=-- 2 下面证明n f 满足各项要求;
2
证明()n f x 连续由1、2式知
()()()[]*,,n f x f x n x x f x n x x x a b *'''=--≥--∀∈ 3
从而
所以()()n n f x f x n x x ''-≤-
此式对任意的[],,x x a b '∈都成立,x ',x 互换也成立,因而得 此式表明()n f x 在[],a b 上连续; 3、证明n f ↓ 设m n >,则
()()()()**n m m f x f x x n x x x ≥--由式3 ()()()**m m f x x m x x x ≥--因m n >
所以n f ↓;
4、(){}n f x 序列有下界
对任一固定的x ,在3式中令x 'x =,可知()()n f x f x ≥对一切n N ∈成立,故
[],x a b ∀∈,(){}n f x 有下界;
5、由3、4知;()()lim n n g x f x →∞
≡存在且()f x ≥;
6、证明()()g x f x ≤因()f x 上半连续,0,0εδ∀>∃>,当x '[],a b ∈,x x δ'-<时有
()()f x f x ε'<+ 4
又因为()f x 上半连续,所以在[],a b 上上有界,因此对固定的x ,当n →∞时有
*n x x →;这是因为()()()**
n n n f x f x x n x x x ⎡⎤=--⎣⎦
若()*n x x 不收敛于x ,则x ∃的邻域()1,x x δδ-+,使得()*
k
n x x 在此邻域之外这
里(){}*k
n x x 是(){}*n x x 的某一子序列;但()f x 在[],a b 上有上界,即：0M ∃>,
使得()f x M ≤当[],x a b ∈时,因此 这与()()n f x g x →当n →∞时矛盾;
由此可知0N ∃>,当n N >时,()*n x x x δ-<,于是由4式 但()()()()()()***n n n n f x f x x n x x x f x x =--≤
从而更有()()n f x f x ε<+ 令n →∞取极限,得()()g x f x ε≤+ 由0ε>的任意性,知()()g x f x ≤ 再由5的结论可得()()g x f x =;。